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教学设计1-集合的含义与表示


§1.1 集合的含义与表示 李宁 陕西师范大学附属中学 710061 【教材版本】北师大版 【教材分析】 1.知识内容与结构分析 集合论是现代数学的一个重要的基础. 在高中数学中, 集合的初步知识与其他内容有着密切 的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础,集合论以及它所反映的数学思想在越来越广 泛的领域中得到应用.课本从学生熟悉的集合(自然数集合、有理数的集合等)出发,结合 实例给出了元素、集合的含义,学生通过对具体实例的抽象、概括发展了逻辑思维能力. 2.知识学习意义分析 通过自主探究的学习过程,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择合适 的语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3.教学建议与学法指导 由于本节新概念、 新符号较多, 虽然内容较为浅显, 但不应讲得过快, 应在讲解概念的同时, 让学生多阅读课本,互相交流,在此基础上理解概念并熟悉新符号的使用.通过问题探究、 自主探索、合作交流、自我总结等形式,调动学生的积极性. 【学情分析】 在初中,学生学习过一些点的集合或轨迹,如:平面内到一个定点的距离等于定长的点 的集合(圆) ;到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合(线段的垂直平分线) .这对学 生学习本节课的知识有一定的帮助,只不过现在我们要把这个“集合”推广,它不仅仅是点 的集合或图形的集合,而是“指定的某些对象的全体” .集合语言是现代数学的基本语言, 使用这种语言,不仅有助于简洁、准确地表达数学内容,还可以用来刻画和解决生活中的许 多问题.学习集合,可以发展同学们用数学语言进行交流的能力. 【教学目标】 1.知识与技能 (1)学生通过自主学习,初步理解集合的概念,理解元素与集合间的关系,了解集合元素 的确定性、互异性,无序性,知道常用数集及其记法; (2)掌握集合的常用表示法——列举法和描述法. 2.过程与方法 通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择合适的语言(如自然语 言、图形语言、集合语言)描述不同的具体问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集 合语言表示数学内容的意识. 3.情态与价值 在掌握基本概念的基础上,能够解决相关问题,获得数学学习的成就感,提高学生分析问题 和解决问题的能力,培养学生的应用意识. 【重点难点】 1.教学重点:集合的基本概念与表示方法. 2.教学难点:选择合适的方法正确表示集合. 【教学环境】 ◆多媒体教室 ◆课件 【教学思路】

通过实例以及学生熟悉的数集,引入集合的概念,进而给出集合的表示方法,学生通过自我 体会、自主学习、自我总结达到掌握本节课内容的目的.教学过程按照“提出问题——学生 讨论——归纳总结——获得新知——自我检测”环节安排. 【教学过程】 一、导入新课 师: 同学们,我们在初中时最开始接触到的有理数的分类大家应该还很熟悉.下面我们来 看一个当时我们常见的很简单的题目: 问题 1: 将下列各数填入相应的图形中:

正整数 生:

负整数

正分数

负分数

正整数 负整数 正分数 负分数 师:在上面的问题中,我们将给定的一些数按“正整数、负整数、正分数、负分数”分类, 具有相同性质的数“集中”在了一起. 我再来说这样一句话: “今天下午所有的女同学留下来. ” 那么谁应该留下来应该很清楚了. 刚 才这两个问题是否让大家想起了一个熟悉的成语呢? 生: “物以类聚,人以群分” . 二、新知探究 (一)集合的含义 “物以类聚,人以群分” ,应该指的是:把指定的所有的“物”聚在一起,或所有的“人” 分在一起.在数学上,我们把它叫做“集合” . 1、集合——指定的某些对象的全体称为集合.集合常用大写字母 A,B,C,D,?标记. 2、元素——集合中的每个对象叫做这个集合的元素.元素常用小写字母 a,b,c,d,?标 记. 例如:在问题 1 中,-3 和-7 组成了负整数的集合,可以记为 A,-3、-7 都是它的元素;小于 10 的素数集合可以记为 B,它的元素为 2、3、5、7. 3、元素与集合的关系:给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了. 若元素 a 在集合 A 中,就说元素 a 属于集合 A,记作 a∈A ; 若元素 a 不在集合 A 中,就说元素 a 不属于集合 A,记作 a(A . 例如:在上述的素数问题中,2∈B,6(B. 4、集合元素的特征 (1)确定性; (2)互异性; (3)无序性. 5、数的集合简称数集.下面是一些常用的数集及其记法: 自然数组成的集合简称自然数集,记作 N ; 正整数组成的集合简称正整数集,记作 N+ ; 整数组成的集合简称整数集,记作 Z ; 有理数组成的集合简称有理数集,记作 Q ; 实数组成的集合简称实数集,记作 R. 例如:0∈N,0.618∈Q, , 等. 6、有限集、无限集、空集 有限集——含有限个元素的集合叫有限集. 无限集——含无限个元素的集合叫无限集.

空集——不含有任何元素的集合叫做空集.记作. (二)集合的常用表示法 1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内的方法. 例如:①小于 10 的素数集合可以记为 B,用列举法可以表示为:B=; ②“中国的直辖市”构成的集合:{北京,天津,上海,重庆}; ③由“maths 中的字母” 构成的集合:{m,a,t,h,s}; ④从 51 到 100 的所有整数组成的集合:{51,52,53,?,100}; ⑤所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,?}. 注意:a 与{a}不同:a 表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素。 2、描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. 例如:①大于 3 小于 10 的实数组成的集合:或; (注:若一个集合中的元素都是实数范围内的,可写成第二种形式) ②“平面直角坐标系中第二象限的点” 组成的集合{(x,y)| x<0 且 y>0}; ③“方程 x2+5x-6=0 的实数解” 组成的集合{x| x2+5x-6=0}; ④“中国的直辖市”构成的集合,写成{为中国的直辖市}; ⑤“maths 中的字母” 构成的集合,写成{为 maths 中的字母}. 注: (1)有的集合可以用列举法表示,也可以用描述法表示。有的集合则不是用两种均可表 示的; (2)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分。如:{直角三角形};{大于 10 的实数}. 三、例题讲解 例 1 用列举法表示下列集合: (1)由大于 3 小于 10 的整数组成的集合; (2)方程的解的集合. 解: (1)由大于 3 小于 10 的整数组成的集合用列举法可表示为: ; (2)方程的解的集合用列举法可表示为: . 例 2 用描述法表示下列集合: (1)小于 10 的所有有理数组成的集合; (2)所有偶数组成的集合; (3) . 解: (1)小于 10 的所有有理数组成的集合用描述法可表示为: ; (2)偶数是能被 2 整除的数,可以写成的形式,因此,偶数的集合用描述法可表示为: ; (3) 这个集合用描述法可表示为: . 四、课堂练习 1、课本练 P5 练习. 2、用描述法表示集合: (1) ; (2)方程组的解. 3、用描述法分别表示: (1) 抛物线 y=x2 上的点; (2) 抛物线 y=x2 上点的横坐标; (3) 抛物线 y=x2 上点的纵坐标. 五、课时小结 1、集合的概念; 2、集合元素与集合间的关系,元素的三要素; 3、常用数集的记法; 4、集合的表示——列举法和描述法. 六、作业布置 1、 P6 A 组题:2、3、4

2、思考:P6 B 组题


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