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龙岗区2010—2011学年第二学期期末高二文科数学试题及答案


龙岗区 2010—2011 学年第二学期期末学业评价试题 高二数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损;考生务必用黑色字迹的钢笔或签 字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考号. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂 的,答案无效. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:附:临界值表
k0

2.072 0.15

2.706 0.10

3.841 0.05

5.024 0.025

6.635 0.010

7.879 0.005

10.828 0.001

P(K ? k0 )
2

参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. ? ?i ?
3

?i是虚数单位? 的值等于
B. i C.-1 D. ?i

A. 1 2.由

7 5 9 8 13 9 b?m b ,…若 a ? b ? 0 且 m ? 0 ,则 与 之间大小关系为 ? , ? , ? 25 21 a?m a 10 8 11 10
B.前者大 C.后者大 D.不确定

A.相等

3.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有有理数根,那么 a、b、 c 中至少有一个偶数时,下列假设正确的是 A.假设 a、b、c 都是偶数 C.假设 a、b、c 至多有一个偶数
高二数学(文科)试题

B.假设 a、b、c 都不是偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数
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4.某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价 20 元,羽毛球每只定价 5 元,该 店制定了两种优惠方法:①买一副球拍赠送一只羽毛球;②按总价的 92%付款.某人计 划购买 4 副球拍和 30 只羽毛球,两种优惠方法中,更省钱的一种是 A.不能确定 B.① ② 同样省钱 C.② 省钱 D.① 省钱 5.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 2 如下, 其中拟合效果最好的模型是 A.模型 1 的相关指数 R 2 为 0.98 B.模型 2 的相关指数 R 2 为 0.80

C.模型 3 的相关指数 R 2 为 0.50 D.模型 4 的相关指数 R 2 为 0.25 ? 1 ? 6.设 n ? ??1, ,1, 2,3? ,则使得 f ?x ? ? x n 为奇函数,且在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减的 n 的个数是 ? 2 ? A.1 B .2 C .3 D.4
? ? 60 ? 90x ? ,下列判 7.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 y

断正确的是 A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 D.劳动生产 率为 1000 元时,工资为 90 元 2?i 8.设 i 是虚数单位,则复数 的实部与虚部之和为 1? i A.2 A. f ?1? ? 25 A. ??1,1? B .1 B. f ?1? ? 25 B. ??1? C.-1 C. f ?1? ? 25 C.φ D.-2 D. f ?1? ? 25 D. ??1,0,1?
开始 输入 a , b

9.函数 f ? x ? ? 4x2 ? mx ? 5 在区间 ? ?2, ?? ? 上是增函数,则 f ?1? 的取值范围是 10.已知集合 A ? ?x ax ? 1 ? 0? , B ? ??1,1? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值的集合

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11~13 题) 11.三个数 0.70.6 , 0.70.7 , log0.7 2 的大小关系为
f ? x ? ? ? 0 ? x ? x ? ? 2 ? x ? .则 f ? 2 ? ?
3

.

12 . 定 义 某 种 运 算 ? , a ? b 的 运 算 原 理 如 右 图 所 示 . 设 . 13.用二分法研究函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 1的零点时,第一次经计 算 f ? 0? ? 0 , f ? 0.5? ? 0 , 可 得 其 中 一 个 零 点 所 在 范 围
x0 ?

a?b




S?b
输出 S 结束

S?a

;第二次应计算

,这时可判断 x0 ?

.

高二数学(文科)试题

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(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.如图,CD 是圆 O 的切线,切点为 C,点 B 在圆 O 上, BC ? 2 ,
?BCD ? 30o ,则圆 O 的面积为



15.在极坐标系中,过圆 ? ? 6cos ? 的圆心,且垂直于极轴的直线的 极坐标方程为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 设集合 A ? x2 ,2x ? 1, ?4 , B ? ?x ? 5,1 ? x,9? ,若 A

?

?

B ? ?9? ,求 A

B.

17. (本小题满分 12 分) 已知复数 z ? lg m2 ? 2m ? 2 ? m2 ? 3m ? 2 i ,求下列条件中实数 m 的值. (1) z 为纯虚数; (2) z 为实数; (3) z 对应的点在复平面内的第二象限内.

?

? ?

?

18. (本小题满分 14 分) 设 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? log 1 x . (1)求当 x ? 0 时, f ? x ? 的解析表达式; (2)解不等式 f ? x ? ? 2 .
2

19. (本小题满分 14 分) 在平面内有 n n ? N * , n ? 2 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,这 n 条直线把平面分成的平面区域个数记为 f ? n ? . (1)求 f ? 2 ? , f ? 3? , f ? 4 ? ; (2)试归纳 f ? n ? 与 f ? n ? 1? 的关系; (3)求 f ? n ? 的表达式.

?

?

高二数学(文科)试题

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20. (本小题满分 14 分) 2011 年 3 月,日本发生了 9.0 级地震,地震引发了海啸及核泄漏. 某国际组织用分层 抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究小组赴日本工 作,有关数据见表 1(单位:人). 核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响,随机选取了 110 只羊进行了 检测,并将有关数据整理为不完整的 2× 2 列联表(表 2). 表 1: 相关人员数 心理专家 核专家 地质专家 表 2: 高度辐射 身体健康 身体不健康 合计 (1)求研究小组的总人数; (2)写出表 2 中 A、B、C、D、E 的值,并判断有多大的把握认为羊受到高度辐射与身 体不健康有关; (3)若从研究小组的心理专家和核专家中随机选 2 人撰写研究报告,求其中恰好有 1 人 为心理专家的概率. 30 B C 轻微辐射 A 10 D 合计 50 60 E 24 48 72 抽取人数

x y
6

21. (本小题满分 14 分) 1? ? 1 ? ? ? x3 ( a ? 0 且 a ? 1 ) 已知 f ? x ? ? ? x ? a ?1 2 ? (1)求函数 f ? x ? 的定义域; (2)讨论 f ? x ? 的奇偶性; (3)若 f ? x ? ? 0 在定义域上恒成立,求 a 的取值范围.

高二数学(文科)试题

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高二文科数学参考答案
一、选择题: BBBDA ACCAD. 二、填空题:11. 0.70.6 ? 0.70.7 ? log0.7 2 ; 12. ?2 ; 13. ?0,0.5? , f ?0.25? , ?0.25,0.5? ; 14. 4 π ; 三、解答题: 16 解:∵ A ? B ? 9 由 2x ? 1 ? 9 ∴ 9?A 此时 A ? ?9,25,?4?, B ? ?0,?4,9?. …………5 分 …………1 分 15. ρ cos θ ? 3 .

得 x?5

? A ? B ? ?9,?4?
由x ?9
2

这与 A ? B ? ?9?条件不符,故舍去. 经检验 x ? 3 不合题意,

得 x ? ?3

? x ? ?3

此时 A ? ?9,?7,?4?, B ? ?? 8,4,9?

…………10 分 …………12 分

因而 A ? B ? ?? 8,?7,?4,4,9? .

?lg( m 2 ? 2m ? 2) ? 0 17 解:(Ⅰ)若 z 为纯虚数,则 ? 2 ? m ? 3m ? 2 ? 0
(Ⅱ)若 z 为实数,则 m ? 3m ? 2 ? 0
2

解得 m=3

…………4 分

解得 m=-1 或 m=-2

…………8 分

?lg( m 2 ? 2m ? 2) ? 0 ? 2 (Ⅲ)若 z 对应的点在复平面内的第二象限内,则 ? m ? 2m ? 2 ? 0 ? m 2 ? 3m ? 2 ? 0 ?
解得 ? 1 ? m ? 1 ? 3 或 1 ? 3 ? m ? 3 18 解:(Ⅰ)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 又 f ( x ) 是奇函数 ? f (? x ) ? ?f ( x ) …………2 分 …………12 分

? f ( x) = ? f (? x) ? ? log1 (?x) = log2 (?x)
2

因而: x ? 0 时, f ( x ) = log2 (? x)

…………6 分

高二数学(文科)试题

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? ? log 1 x , ( x ? 0) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? 2 ? ?log2 (? x ), ( x ? 0)

…………7 分

∵ f ?x ? ? 2
? x?0 ? ?log 1 x ? 2 ? ? 2
x?0 ? ? ?log2 (? x ) ? 2



解得: x ?

1 4

…………10 分



解得: ?4 ? x ? 0

…………13 分

?1 ? 因而不等式 f ?x ? ? 2 的解集为: ?? 4,0? ? ? ,?? ? . ?4 ?

…………14 分

19 解:(Ⅰ)通过动手作图,可知 f ?2? ? 4 , f ?3? ? 7 , f ?4? ? 11 . (Ⅱ)从中可归纳推理,得出 f ?n ? ? f ?n ? 1? ? n . (Ⅲ) 由 f ?n ? ? f ?n ? 1? ? n
f ?n ? 3? ? f ?n ? 4? ? n ? 3 f ?n ? 1? ? f ?n ? 2? ? n ? 1

…………3 分 …………6 分

f ?n ? 2? ? f ?n ? 3? ? n ? 2

…… ……

f ?3? ? f ?2? ? 3 将以上各式累加得:

f ?n ? ? f ?2? ? n ? ?n ? 1? ? ? ? 3 ?
则有 f ?n ? ? f ?2 ? ?

?n ? 2??n ? 3?
2
2

?n ? 2??n ? 3? ? n
2

?n?2 . 2

…………14 分

20 解:(Ⅰ)依题意,

x y 6 , 解得: x ? 2 , y ? 4 ? ? 24 48 72
…………4 分

研究小组的总人数为 2 ? 4 ? 6 ? 12 (人).

(Ⅱ)根据列联表特点得: A ? 20 , B ? 50 , C ? 80 , D ? 30 , E ? 110 …………6 分 假设羊受到高度辐射与身体不健康无关. 可求得 K ?
2

…………7 分

110(30 ?10 ? 50 ? 20) 2 ? 7.486 ? 6.635. 50 ? 60 ? 80 ? 30

由临界值表知, 有 99%的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关. ……9 分 (Ⅲ) 设研究小组中两名心理专家为 a1 , a2 , 四名核专家为 b1 , b2 , b3 , b4 , 从这六人中随机 选 2 人,共有 15 种等可能结果,列举如下:
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a1a2 , a1b1 , a1b2 , a1b3 , a1b4 , a2b1, a2b2 , a2b3 , a2b4 , b1b2 , b1b3 , b1b4 , b2b3 , b2b4 , b3b4 . …12
分 其中恰好有 1 人为心理专家的结果有 8 种:

a1a2 , a1b1, a1b2 , a1b3 , a1b4 , a2b1, a2b2 , a2b3 , a2b4 .
所以恰好有 1 人为心理专家的概率为 P ? 分

8 . 15

…………14

21 解:(Ⅰ)由题意得: a ? 1 ? 0
x

即a ?1
x

?x?0
…………3 分

? f (x) 的定义域为: ?? ?,0? U ?0,???
1? ax 1 ? 1 ? ?(? x )3 ? ?( ? )x 3 (Ⅱ) f (? x ) ? ? ?x x 2 1? a ? a ?1 2 ?

=? (

ax ?1?1 1 3 1 1 ? )x ? ( x ? )x 3 ? f (x ) x 2 a ?1 a ?1 2

? f (x) 是偶函数
(Ⅲ)由(Ⅱ)知在其定义域 ?? ?,0? U ?0,??? 上是偶函数 若 f ?x ? ? 0 在其定义域上恒成立,则只需 x ? 0 时 f ?x ? ? 0 恒成立. 因而当 x ? 0 时 当 a ? 1时 分 当 0 ? a ? 1时
? x ? 0?0 ? a x ? 1

…………7 分

1 1 ? ?0 a ?1 2
x

恒成立

?

…………9 分 …………11

? x ? 0?a x ? 1

? ? 式恒成立

由? 知

x ? 0时
即 分

1 1 ?? a ?1 2
x

1 1 ? x 1? a 2

? 1- a x ? 2

即 a ? ?1
x

不合题意

…………13

高二数学(文科)试题

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?a ?1


因而 a 的取值范围是 ?1,??? .

…………14

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