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2015-2016学年高中数学 模块综合检测(B)新人教A版选修2-1


模块综合检测(B)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1.若命题 p:? x∈R,2x +1>0,则綈 p 是( ) 2 A.? x∈R,2x +1≤0 2 B.? x∈R,2x +1>0 2 C.? x∈R,2x +1<0 2 D.? x∈R,2x +1≤0 2.“a>

;0”是“|a|>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则双 曲线离心率的取值范围是( ) A.e> 2 B.1<e< 2 C.e>2 D.1<e<2 4.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( A. - =1 4 12 C. - =1 10 6

x2 y2 a b

)

x2

y2

B. - =1 12 4 D. - =1 6 10

x2

y2

x2

y2

x2

y2
2

5.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3 外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 2 2 6.过点(2,-2)与双曲线 x -2y =2 有公共渐近线的双曲线方程为( ) A. - =1 2 4

x2

x2 y2 y2 x2

B. - =1 4 2

x2 y2 y2 x2

C. - =1 D. - =1 4 2 2 4 7.已知 a=(cos α ,1,sin α ),b=(sin α ,1,cos α ),则向量 a+b 与 a-b 的 夹角是( ) A.90° B.60° C.30° D.0° 8.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,则该双曲线的离心 率等于( ) A. 3 B.2 C. 5 D. 6 9.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( ) 10 1 A. B. 10 5 3 10 3 D. 10 5 2 2 10.已知椭圆 x +2y =4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( C.

x2 y2 a b

2

)

1

A.3 2

B.2 3
2

C.

30 3

D.

3 6 2

11.命题 p:关于 x 的不等式(x-2) x -3x+2≥0 的解集为{x|x≥2},命题 q:若函 2 数 y=kx -kx-1 的值恒小于 0,则-4<k≤0,那么不 正确的是( ) . A.“綈 p”为假命题 C.“p 或 q”为真命题 12. B.“綈 q”为假命题 D.“p 且 q”为假命题

如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的 正弦值为( ) 6 2 5 A. B. 3 5 C. 15 5 题 号 答 案 D. 1 2 3 4 10 5 5 6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, 且|a|=|b|=4, 那么 b·(2a+b)的值为________. 14.已知双曲线 x - =1,那么它的焦点到渐近线的距离为________. 3 15.给出如下三种说法: ①四个实数 a,b,c,d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc; ②命题“若 x≥3 且 y≥2,则 x-y≥1”为假命题; ③若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中正确说法的序号为________. 16.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为双曲线上一点,且|PF1| =2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 2 2 17.(10 分)已知命题 p:方程 2x -2 6x+3=0 的两根都是实数,q:方程 2x -2 6x +3=0 的两根不相等,试写出由这组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式 的命题,并指出其真假.
2

y2

x2 y2 a b

2

18.(12 分)F1,F2 是椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F1QF2 中的 ∠F1QF2 的外角平分线引垂线,垂足为 P,求点 P 的轨迹.

19.(12 分)若 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x +mx+1>0.已知? x∈R,r(x)为假命题 且 s(x)为真命题,求实数 m 的取值范围.

2

3

x2 y2 2 20.(12 分)已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的一个顶点为 A(0,1), 离心率为 ,过点 B(0, a b 2 -2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2.
(1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积.

21.(12 分)已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,M,N 分别为 AB,PC 的三等分点,且 → PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,求MN的坐标.

4

22.(12 分)

如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=1,AC=AA1= 3,∠ABC=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)求二面角 A—A1C—B 的正切值大小.

模块综合检测(B) 2 1.D [綈 p:? x∈R,2x +1≤0.]
5

2.A [因为|a|>0?a>0 或 a<0,所以 a>0? |a|>0,但|a|>0 ? a>0,所以 a>0 是|a|>0 的充分不必要条件.] 3.C [由题意,以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点,故

c

>a,∴ >2.] 2 a 4.A [由题意知 c=4,焦点在 x 轴上,

c

c a 2 2 2 2 2 ∴b =c -a =4 -2 =12, 2 x y2
又 e= =2,∴a=2,

∴双曲线方程为 - =1.] 4 12 5.C [设椭圆的另一焦点为 F,由椭圆的定义知|BA|+|BF|=2 3,且|CF|+|AC|= 2 3, 所以△ABC 的周长=|BA|+|BC|+|AC| =|BA|+|BF|+|CF|+|AC|=4 3.] 6.D [与双曲线 -y =1 有公共渐近线方程的双曲线方程可设为 -y =λ , 2 2 由过点(2,-2),可解得 λ =-2. 所以所求的双曲线方程为 - =1.] 2 4 2 2 7.A [(a+b)·(a-b)=|a| -|b| 2 2 2 2 =(cos α +1+sin α )-(sin α +1+cos α )=0, ∴a+b 与 a-b 的夹角为 90°.]

x2

2

x2

2

y2 x2

b 2 a b b2 c2-a2 c2 +1± x=0 只有一个实根,∴ 2-4=0,∴ 2 =4,∴ 2=5,∴e= 5.] a a a a
9.C [

8.C [双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x,因为 y=x +1 与渐近线相切,故 x

x2 y2 a b

2

以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB =1,则 AA1=2,依题设有 B(1,1,0),C(0,1,0), D1(0,0,2),E(1,0,1), → ∴BE=(0,-1,1), → CD1=(0,-1,2). 0+1+2 3 10 → → ∴cos〈BE·CD1〉= = .] 10 2· 5 10.C [令直线 l 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 ? ① ?x1+2y1=4 ? 则 2 2 ? ?x2+2y2=4 ② ①-②得:(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0, 即 2(x1-x2)+4(y1-y2)=0, 1 ∴kl=- ,∴l 的方程:x+2y-3=0, 2
6

由?

?x+2y-3=0 ? ?x +2y -4=0 ?
2 2

,得 6y -12y+5=0.

2

5 ∴y1+y2=2,y1y2= . 6 ∴|AB|= 11.D 12.D [

?1+ 12? y -y ? k? 1 2 ? ?

2



30 .] 3

以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直 角坐标系, 则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1). → → → ∴BC1=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),且AC为平面 BB1D1D 的一个法向量.

→ → ∴cos〈BC1,AC〉= = 10 . 5



4 5· 8

∴BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为

10 .] 5

13.0 14. 3 解析 焦点(±2,0),渐近线:y=± 3x, 2 3 焦点到渐近线的距离为 = 3. 2 3 +1 15.①② 解析 对①a,b,c,d 成等比数列,则 ad=bc,反之不一定.故①正确;对②,令 x =5,y=6,则 x-y=-1,所以该命题为假命题,故②正确;对③,p∧q 假时,p,q 至少有一个为假命题,故③错误. 16.(1,3] 解析 设|PF2|=m, 则 2a=||PF1|-|PF2||=m, 2c=|F1F2|≤|PF1|+|PF2|=3m. c 2c ∴e= = ≤3,又 e>1, a 2a ∴离心率的取值范围为(1,3]. 2 17.解 “p 或 q”的形式:方程 2x -2 6x+3=0 的两根都是实数或不相等. 2 “p 且 q”的形式:方程 2x -2 6x+3=0 的两根都是实数且不相等. 2 “非 p”的形式:方程 2x -2 6x+3=0 的两根不都是实数. ∵Δ =24-24=0,∴方程有两相等的实根. ∴p 真,q 假.∴“p 或 q”真,“p 且 q”假,“非 p”假.
7

18.解

x2 y2 a b 是△F1QF2 中的∠F1QF2 的外角平分线(如图), 过 F2 作 F2P⊥QP 于 P 并延长交 F1Q 的延长线于 H, 则 P 是 F2H 的中点,且|F2Q|=|QH|,

设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),F1,F2 是它的两个焦点,Q 为椭圆上任意一点,QP

1 1 因此|PO|= |F1H|= (|F1Q|+|QH|) 2 2 1 = (|F1Q|+|F2Q|)=a, 2 ∴点 P 的轨迹是以原点为圆心,以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与 x 轴的 交点). ? π? 19.解 由于 sin x+cos x= 2sin?x+ ?∈[- 2, 2],? x∈R,r(x)为假命题即 4? ? sin x+cos x>m 恒不成立. ∴m≥ 2.① 又对? x∈R,s(x)为真命题. 2 ∴x +mx+1>0 对 x∈R 恒成立. 2 则 Δ =m -4<0,即-2<m<2.② 故? x∈R,r(x)为假命题,且 s(x)为真命题, 应有 2≤m<2. 20.解 (1)易得椭圆方程为 +y =1. 2 (2)∵F1(-1,0),∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2,

x2

2

y=-2x-2 ? ? 2 由?x 2 +y =1 ? ?2
2

得 9x +16x+6=0.

2

∵Δ =16 -4×9×6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点, 设为 C(x1,y1),D(x2,y2), 16 ? ?x +x =- 9 则? 2 ?x ·x =3 ?
1 2 1 2 2



∴|CD|= 1+ - |x1-x2| 2 = 5· x1+x2 -4x1x2 ?-16?2-4×2=10 2, = 5· ? 9? 3 9 ? ? 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d= 4 5 , 5

1 4 故 S△CDF2= |CD|·d= 10. 2 9 21.解 方法一
8

→ → → ∵PA=AB=AD=1,且 PA⊥面 ABCD,AD⊥AB,∴可设DA=i,AB=j,AP=k,以{i,j, k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. → → → → ∵MN=MA+AP+PN 2→ → 2→ =- AB+AP+ PC 3 3 2→ → 2 → → → =- AB+AP+ (-AP+AD+AB) 3 3 1→ 2→ 1 2 → = AP+ AD= k+ (-DA) 3 3 3 3 2 1 =- i+ k. 3 3 1? → ? 2 ∴MN=?- ,0, ?. 3 3? ? → → → 方法二 设DA=i,AB=j,AP=k,以{i,j,k}为单位正交基底建立如图所示的空间直 角坐标系,过 M 作 AD 的平行线交 CD 于点 E.可知 NE∥PD. → → → → 1→ ∵MN=ME+EN=AD+ DP 3 1 1 → → → =-DA+ (DA+AP)=-i+ (i+k) 3 3 2 1 =- i+ k, 3 3 1? → ? 2 ∴MN=?- ,0, ?. 3? ? 3 22.(1)证明 ∵三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱, ∴AB⊥AA1. 在△ABC 中,AB=1,AC= 3,∠ABC=60°, 由正弦定理得∠ACB=30°, ∴∠BAC=90°,即 AB⊥AC,

如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),A1(0,0, 3), → ∴AB=(1,0,0), → A1C=(0, 3,- 3), → → ∴AB·A1C=1×0+0× 3+0×(- 3)=0, ∴AB⊥A1C. → (2)解 如图,可取 m=AB=(1,0,0)为平面 AA1C 的法向量,设平面 A1BC 的法向量为 n
9

=(l,m,n). → → → 则BC·n=0,A1C·n=0,又BC=(-1, 3,0),

?-l+ 3m=0, ∴? ? 3m- 3n=0,
cos〈m,n〉= =

∴l= 3m,n=m.

不妨取 m=1,则 n=( 3,1,1).

m·n |m|·|n|
2 2 2 2 2

3×1+1×0+1×0
2

3 +1 +1 · 1 +0 +0 设二面角 A—A1C—B 的大小为 θ , 15 10 ∴cos θ =cos〈m,n〉= ,sin θ = . 5 5 从而 tan θ = 6 6 ,即二面角 A—A1C—B 的正切值为 . 3 3



15 . 5

10


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