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第5章 第4讲 数列求和


第五章
一、选择题

第四讲

A 组 基础巩固

1 .数列 1 , (1 + 2) , (1 + 2 + 22) ,?, (1 + 2 + 22 +?+ 2n 1) ,?的前 n 项之和为


导学号 25401310 ( A.2n-1 C.2n 1-n


) B.n· 2n-n D.2n 1-n-2


[答案] D [解析] 记 an=1+2+22+?+2n 1=2n-1,


2· ?2n-1? + ∴Sn= -n=2n 1-2-n. 2-1 2. 若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n· (3n-2), 则 a1+a2+?+a10= 导学号 25401311 ( ) A.15 C.-12 [答案] A [解析] 记 bn=3n-2, 则数列{bn}是以 1 为首项, 3 为公差的等差数列, 所以 a1+a2+? +a9+a10=(-b1)+b2+?+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+?+(b10-b9)=5×3=15. 3 . (2015· 曲靖一模 ) ( ) n+1 A. 2?n+2? 3 1 1 1 C. - ( + ) 4 2 n+1 n+2 [答案] C 1 1 1 11 1 [解析] ∵ = = = ( - ), ?n+1?2-1 n2+2n n?n+2? 2 n n+2 ∴ 1 1 1 1 + + +?+ 22-1 32-1 42-1 ?n+1?2-1 n+1 3 B. - 4 2?n+2? 3 1 1 D. - + 2 n+1 n+2 1 1 1 1 + 2 + 2 +?+ 的值为 导学号 25401312 2 -1 3 -1 4 -1 ?n+1?2-1
2

B.12 D.-15

1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +?+ - ) 2 3 2 4 3 5 n n+2 13 1 1 = ( - - ) 2 2 n+1 n+2 3 1 1 1 = - ( + ). 4 2 n+1 n+2

1 1 4.已知数列{an}满足 an+1= + an-a2 n,且 a1= ,则该数列的前 2 016 项的和等于 2 2 导学号 25401313 ( A.1 509 C.1 512 [答案] C 1 1 1 [解析] 因为 a1= ,又 an+1= + an-a2 n,所以 a2=1,从而 a3= ,a4=1,即得 an= 2 2 2 1 ? ?2,n=2k-1?k∈N*?, 1 ? 故数列的前 2 016 项的和等于 S2 016=1 008×(1+ )=1 512. 2 ? ?1,n=2k?k∈N*?, 5 . (2015· 日照一模 )已知数列 {an}的前 n 项和 Sn= n2- 6n,则 {|an|} 的前 n 项和 Tn= 导学号 25401314 ( A.6n-n2
?6n-n2?1≤n≤3? ? C.? 2 ?n -6n+18?n>3? ?

) B.3 018 D.2 016

) B.n2-6n+18
?6n-n2?1≤n≤3? ? D.? 2 ?n -6n?n>3? ?

[答案] C [解析] 由 Sn=n2-6n 可得,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2n-7. 当 n=1 时,S1=-5=a1,也满足上式, 所以 an=2n-7,n∈N*. ∴n≤3 时,an<0;n>3 时,an>0,
?6n-n2?1≤n≤3?, ? ∴Tn=? 2 ?n -6n+18?n>3?. ?

6.设直线 nx+(n+1)y= 2(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为 Sn,则 S1+S2+?+ S2 017 的值为 导学号 25401315 ( 2 014 A. 2 015 2 016 C. 2 017 [答案] D [解析] 直线与 x 轴交于( 2 2 ,0),与 y 轴交于(0, ), n n+1 ) 2 015 B. 2 016 2 017 D. 2 018

1 2 2 1 1 1 ∴Sn= · · = = - . 2 n n+1 n?n+1? n n+1

1 1 1 1 1 ∴原式=(1- )+( - )+?+( - ) 2 2 3 2 017 2 018 1 2 017 =1- = . 2 018 2 018 二、填空题 1+2+3+?+n 1 7.(2015· 沈阳质量监测)已知数列{an}满足 an= ,则数列{ }的前 n n anan+1 项和为________. 导学号 25401316 [答案] 2n n+2

1+2+3+?+n n+1 [解析] an= = , n 2 1 4 1 1 = =4( - ), anan+1 ?n+1??n+2? n+1 n+2 所求的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 4( - + - +?+ - ) 2 3 3 4 n+1 n+2 1 1 2n =4( - )= . 2 n+2 n+2 8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 导学号 25401317 [答案] 2n 1-2


[解析] ∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =2
n-1

+2

n-2

2-2n +?+2 +2+2= +2=2n-2+2=2n. 1-2
2

2-2n 1 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2


9. (2015· 辽宁五校协作体联考)在数列{an}中, a1=1, an+2+(-1)nan=1, 记 Sn 是数列{an} 的前 n 项和,则 S60=________. 导学号 25401318 [答案] 480 [解析] 依题意得,当 n 是奇数时,an+2-an=1,即数列{an}中的奇数项依次形成首项为 30×29 1、公差为 1 的等差数列,a1+a3+a5+?+a59=30×1+ ×1=465;当 n 是偶数时, 2 an+2+an=1,即数列{an}中的相邻的两个偶数项之和均等于 1,a2+a4+a6+a8+?+a58+a60 =(a2+a4)+(a6+a8)+?+(a58+a60)=15.因此,该数列的前 60 项和 S60=465+15=480.

10 . 设 f(x) =

4x 1 2 2 016 , 若 S = f( ) + f( ) + ? + f( ),则 S= 2 017 2 017 2 017 4 +2
x

________. 导学号 25401319 [答案] 1 008 4 4x 2 [解析] ∵f(x)= x ,∴f(1-x)= 1-x = , 4 +2 4 +2 2+4x ∴f(x)+f(1-x)= S=f( 4x 2 + =1. 4 +2 2+4x
x 1-x

1 2 2 016 )+f( )+?+f( ),① 2 017 2 017 2 017

2 016 2 015 1 S=f( )+f( )+?+f( ),② 2 017 2 017 2 017 ①+②得, 2S = [f( 016, 2 016 ∴S= =1 008. 2 三、解答题 11.(2015· 湖北)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q. 已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. 导学号 25401320 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; an (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn [答案] (1)an=2n-1,bn=2n [解析] a =9, ? ? 1 ? 2 ?d=9. ?
? ?an=2n-1, 故? 或 n-1 ?bn=2 , ?
-1

1 2 016 2 2 015 2 016 1 ) + f( )] + [f( ) + f( )] + ? + [f( ) + f( )] = 2 2 017 2 017 2 017 2 017 2 017 2 017

2n+79 2 - 或 an= ,bn=9· ( )n 1 9 9

2n+3 (2)Tn=6- n-1 2

? ? ? ?10a1+45d=100, ?2a1+9d=20, ?a1=1, (1) 由 题 意 有 , ? 即? 解得? 或 ?a1d=2, ? ?d=2, ? ?a1d=2, ?

?a =9?2n+79?, ? 2 ? ? . ?b =9· 9
n n n-1

1

2n-1 - (2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n 1,故 cn= n-1 ,于是 2 2n-1 3 5 7 9 Tn=1+ + 2+ 3+ 4+?+ n-1 ,① 2 2 2 2 2

2n-1 1 1 3 5 7 9 T = + + + + +?+ n .② 2 n 2 22 23 24 25 2 ①-②可得 2n-1 2n+3 1 1 1 1 T =2+ + 2+?+ n-2- n =3- n , 2 n 2 2 2 2 2 2n+3 故 Tn=6- n-1 . 2 12.(2015· 广东桂城中学、中山一中摸底)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a2 n+an=2Sn. 导学号 25401321 (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项; 1 5 (3)若 bn= 2(n∈N*),Tn=b1+b2+?+bn,求证:Tn< . an 3 [答案] (1)1 (2)an=n (3)略

[解析] (1)解 令 n=1,得 a2 1+a1=2S1=2a1, ∵a1>0,∴a1=1. (2)解 ∵a2 n+an=2Sn,①

∴a2 n+1+an+1=2Sn+1,② ②-①,得(an+1+an)(an+1-an-1)=0, ∵an>0,∴an+1+an>0, ∴an+1-an=1, ∴an=1+1×(n-1)=n. 1 1 5 (3)证明 由(2)知,bn= 2= 2.当 n=1 时,b1=1< ,不等式成立; an n 3 1 1 4 1 1 当 n≥2 时,∵ 2< = 2 =2( - ), n 1 4 n - 1 2 n - 1 2 n +1 n2- 4
n

∴∑ =

k 1

1 1 1 1 1 2 5 <1+2( - +?+ - )<1+ = . k2 3 5 3 3 2n-1 2n+1

5 综上可知 Tn=b1+b2+?+bn< . 3 B 组 能力提升
2 2 1.在数列{an}中,已知对任意 n∈N*,a1+a2+a3+?+an=3n-1,则 a2 1+a2+a3+?

+a2 n等于 导学号 25401322 ( A.(3n-1)2

) 1 B. (9n-1) 2

C.9n-1 [答案] B

1 D. (3n-1) 4

[解析] 因为 a1+a2+?+an=3n-1,所以 a1+a2+?+an-1=3n 1-1(n≥2).则 n≥2


时,an=2· 3n 1.


当 n=1 时,a1=3-1=2,适合上式,所以 an=2· 3n 1(n∈N*).则数列{a2 n}是首项为 4,


公比为 9 的等比数列,故选 B. 2.(2015· 湖北三校联考)已知等比数列的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4a2n-4=102n, 则数列 lga1,2lga2,22lga3,23lga4,?,2n 1lgan,?的前 n 项和 Sn 等于 导学号 25401323 (


)

A.n· 2n C.(n-1)· 2n+1 [答案] C

B.(n-1)· 2n 1-1


D.2n+1

2n [解析] ∵等比数列{an}的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4a2n-4=102n,∴a2 n=10 ,即

an=10n,∴2n 1lgan=2n 1lg10n=n· 2n 1,∴Sn=1+2×2+3×22+?+n· 2n 1,①
- - - -

2Sn=1×2+2×22+3×23+?+n· 2n,② ∴①-②得-Sn=1+2+22+?+2n 1-n· 2 n = 2n - 1 - n· 2n=(1-n)· 2n-1,∴Sn=(n-


1)· 2n+1. 2x-1 3.(2015· 江西南昌调研)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 f(x)= x ,且 f(a2-2)= 2 +1 sin 2 014π 2 015π ,f(a2 014-2)=cos ,则 S2 015=________. 导学号 25401324 3 6 [答案] 4 030 2x-1 2 x-1 1-2x [解析] 因为 f(x)= x , f(-x)= -x = x , 所以 f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x). 2 +1 2 +1 2 +1


2x-1 2 而 f(x)= x =1- x ,所以 f(x)是 R 上的增函数. 2 +1 2 +1 2 014π π π 3 2 015π 又 f(a2-2)=sin =sin(671π+ )=-sin =- ,f(a2 014-2)=cos =cos(336π 3 3 3 2 6 π π 3 - )=cos = ,所以 f(a2-2)=-f(a2 014-2)=f(2-a2 014), 6 6 2 所以 a2-2=2-a2 014,所以 a2+a2 014=4. 2 015?a1+a2 015? 2 015?a2+a2 014? 2 015×4 所以 S2 015= = = =4 030. 2 2 2 4.(2015· 辽宁鞍山二中上学期期中)设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 3 Sn= (bn-1),且 a2=b1,a5=b2. 导学号 25401325 2 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)设 cn=an· bn,Tn 为{cn}的前 n 项和,求 Tn. [答案] (1)an=2n-1,bn=3n (2)Tn=3+(n-1)3n
+1

3 [解析] (1)∵数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (bn-1), 2 3 ∴b1=S1= (b1-1),解得 b1=3. 2 3 3 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1= (bn-1)- (bn-1-1),化为 bn=3bn-1, 2 2 ∴数列{bn}为等比数列,∴bn=3×3n 1=3n.


∵a2=b1=3,a5=b2=9, 设等差数列{an}的公差为 d,
?a1+d=3, ? ∴? 解得 d=2,a1=1,∴an=2n-1. ? ?a1+4d=9,

综上可得,an=2n-1,bn=3n. (2)cn=an· bn=(2n-1)· 3 n, ∴Tn=3+3×32+5×33+?+(2n-3)· 3n 1+(2n-1)· 3n,


3Tn=32+3×33+?+(2n-3)· 3n+(2n-1)· 3n 1,


∴-2Tn=3+2×32+2×33+?+2×3n-(2n-1)· 3n 1=


2×3?3n-1? + -(2n-1)· 3n 1-3= 3-1

(2-2n)· 3n 1-6.


∴Tn=3+(n-1)3n 1.


5.(2015· 浙江宁波第一次模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数列 S2 {bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12,q= . 导学号 25401326 b2 (1)求 an 与 bn; 1 1 1 1 2 (2)证明: ≤ + +?+ < . 3 S1 S 2 Sn 3 [答案] (1)an=3n,bn=3n
-1

(2)略

[解析] (1)解 设数列{an}的公差为 d. q+6+d=12, b +S =12, ? ? ? ? 2 2 因为? S2 所以? 6+d q= , ? ? ? b2 ?q= q . 解得 q=3 或 q=-4(舍),d=3. 故 an=3+3(n-1)=3n,bn=3n 1.


n?3+3n? (2)证明 因为 Sn= , 2

1 2 21 1 所以 = = ( - ). Sn n?3+3n? 3 n n+1 1 1 1 故 + +?+ S1 S2 Sn 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 = [(1- )+( - )+( - )+?+( - )]= (1- ). 3 2 2 3 3 4 n n+1 3 n+1 因为 n≥1,所以 0< 1 1 1 1 ≤ ,所以 ≤1- <1, 2 n+1 2 n+1

1 2 1 2 所以 ≤ (1- )< , 3 3 n+1 3 1 1 1 1 2 即 ≤ + +?+ < . 3 S1 S2 Sn 3


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