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高中数学课件 函数的基本性质(单调性习题课)课件


让更多的孩子得到更好的教育

函数的单调性
习题课

2013-7-22

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复习

1、函数单调性的定义是什么? 对于给定区间D上的函数f(x),若 对于D上的任意两个值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是 D上的增(减)函数,区间D称为f(x) 的增(减)区间。

什 么?
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f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 若 >0,则说明 x1 ? x 2
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2、证明函数单调性的步骤是什么?
第一步:取值
第二步:作差变形 第三步:定号 第四步:判断下结论

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题型一:用定义证明函数的单调性
例1、判断函数f(x)=-x +1在(-∞,0) 上是增函数还是减函数,并证明你的结 论;如果x∈(0,+∞),函数f(x)是 增函数还是减函数?
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例2
在(-1,1)上的

ax 讨论函数f(x) = 2 x ?1 单调性.

解:设 ax1 ax2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

a[( x2 ? x1 )(1 ? x1 x2 )] ? ? ?1 ? x1 ? x2 ? 1, 2 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 ? x2 ? x1 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0 ? ( x12 ? 1)( x2 ? 1) ? 0.
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?当a ? 0时f ( x1 ) ? f ( x2 )
此时f(x)为减函数.

当a>0时,
f(x1)<f(x2),此时f(x)为增函数.

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题型二:图象法

例3:指出下列函数的单调区间:

(1)y ?

x ?1
2

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例4:指出下列函数的单调区间:

(2)y ? ? x 2 ? 2 x ? 3

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题型三:利用已知函数单调性判断
( x ? 2) 例3:判断函数 y ? 2 x ? 4x 在(1,+∞)上的单调性。
2

结论1:y=f(x)(f(x) 恒不为0),与 1 的单调性相反。 y= f(x) 北京四中龙门网络教育技术有限公司
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解: y ? 1 ?

4 ? 2 )2 ? 4 (x

,

? 1 时, u ? ( x ? 2 ) 2 ? 4 而当 x

为正数且增函数,
4 ? 递减,故原函数 ( x + 2 )2 ? 4 在 ( 1 , ?? )上为减函数。 ∞
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例4:设f(x)在定义域A上是减函数,试判断y =3-2f(x)在A上的单调性,并说明理由。 结论2:y=f(x)与y=kf(x) 当k>0时,单调性相同;当k<0时,单调性 相反。 结论3:若f(x)与g(x)在R上是增函数,则 f(x)+g(x)也是增函数。 结论4:若f(x) 在R上是增函数, g(x)在R上 是减函数,则f(x) -g(x)也是增函数
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结论5:若f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增 函数,则 n f ( x ) , f n ( x ) (n ? 1) 也是增函数 结论6:复合函数f[g(x)]由f(x)和g(x)的单调性 共同决定。它们之间有如下关系: f(x)

g(x) f[g(x)]
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练习:求函数

f ( x) ?
答案:

x ? x ? 6 的单调区间。
2

(-∞, -3]单减区间

[2,+∞)单增区间

注意:求单调区间时,一定要先看定义域。
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题型四:函数单调性解题应用
例1:已知函数y=x2-2ax+a2-1在

(-∞,1)上是减函数,求a的取值范围。
解:y ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 的减区间是(- ,a ], ? 显然,(-?, ? 1) (-?,a], 即a ? 1
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练习:如果f(x)=x2-(a-1)x+5在区间 (0.5,1)上是增函数,那么f(2)的 取值范围是什么?
[7,+∞)

解此类由二次函数单调性求参数范围 的题,最好将二次函数的图象画出来, 通过图象进行分析,可以将抽象的问 题形象化。
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例2:已知x∈[0,1],则函数

y ? 2x ? 2 ? 1 ? x
的最大值为_______最小值为_________

解:令 f ( x ) ? 2 x ? 2 g ( x ) ? 1 ? x则 f ( x )是[0,1]上的增函数, g ( x )是[0,1]上的减函数 ? y ? f ( x ) ? g ( x )是[0,1] 上的增函数, ?当x ? 0时, ymin= 2-1 当x ? 1时,ymax ? 2 北京四中龙门网络教育技术有限公司
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利用函数的单调性求函数的值域, 这是求函数值域和最值的又一种方法。

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例3:已知:f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x- 1)<f(x2-1),求x的取值范围。

解:依题意, ( x ? 1) ? f ( x 2 ? 1) f 可转化为不等式组

? ?1? x ?1? 1 ? 0 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? ? 0 ? x ? 2 ?1 ? x ? ? x ? 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 0或x ? 1 ? ?

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注: 在利用函数的单调性解不等式的时候, 一定要注意定义域的限制。保证实施的是等 价转化
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例4:已知f(x)在其定义域R+上为增函数, f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x-2) ≤3

解: f ( xy) ? f ( x ) ? f ( y ) ?

? f ( 4) ? f ( 2) ? f ( 2) ? 2 ? f ( 8) ? f ( 4) ? f ( 2) ? 3 又f ( x ) ? f ( x ? 2) ? f ( x 2 ? 2 x )
由题意有 ( x 2 ? 2 x ) ? f (8) f

? f ( x )为R+上的增函数 ? x?0 ? ?? x ? 2 ? 0 ? x2 ? 2x ? 8 19 2013-7-22 ?

解得x ? (2,? 4
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函数单调性在解题中的妙用

例1:方程 x 3 解的个数有(

? x ? 3 ? 0 在[ ? 2,2 ]上


(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 解:利用数形结合可知解的个数为1个,故 选(B)。 另解:若令

f ( x) ? x ? x ? 3 ,易知
3

f (x)

在[ ? 2,2 ]上是递增函数,因为 f (?2) ? f (2) ? ?7 ? 13 <0 ? 故有且只有一个 x 0 ? [ 2,2]使 f ( x0 ) ? 0 ,故选(B)。 北京四中龙门网络教育技术有限公司
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例2:对任意a [? 4,],不等式 x ? 6 x 5 <a( x-2) 恒成立,求x的取值范围。
2

?

分析;把此不等式整理变形为关于a的一 元一次不等式: a(x-2)-x2+6x>0在a∈ [ ? 4, 5]上恒成立, 由于一次函数是单调的,

若令f(x)= a(x-2)-x2+6x;
只需f(-4)>0且f(5)>0即可, 所以x∈(1, 4);
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例3.求证:2n>2n+1(n为自然数, 且n≥3)。 解:构造函数f(x)=2x -2x; 对任意的x≥3;∵f(x+1)-f(x)= 2x+1-2(x+1)-2x+2x=2x-2, 而x≥3,∴f(x+1)-f(x)>0, 可 知 f(x) ( x≥3 ) 是 递 增 函 数 , ∵f(3)=23-2×3=2>1, 故有2n>2n+1.
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例4:求函数 y ? 2 x ? 5 ? x 的值域;
解:易知函数是单调递增函数,又因 为函数的定义域是x∈( -∞,5]; 所以当x=5时,y最大=10,

故函数的值域为( -∞,10];
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题型五:复合函数单调区间的求法
例1:设y=f(x)的单增区间是(2,6),求函 数y=f(2-x)的单调区间。
解:令t ( x ) ? 2 ? x , 则由已知得 f ( t )在t∈ 2, ( 6)上是增函数, (- 0) 而t ( x ) ? 2 ? x ∈ 2, ? x∈ 4, ( 6) 又t ( x ) ? 2 ? x在x∈ ( ?4,0)上是单减的, 由复合函数单调性可知 ? f (2 ? x )的单减区间是(-, 4 0) f ( 2 ? x ) ? f [t ( x )]在x ∈, 4, 上是单调递减的。 (- 0)
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如何判断函数
16 f ( x ) ? x ? , x ? [2, 10]的单调区间? x
证明: 2 ? x1 ? x 2 ? 4 , 设
16 16 f(x1 )? f(x2 ) ? (x1 ? ) ?(x 2 ? ) x1 x2

16(x2 ? x 1 ) ? (x1 ? x 2 )? x1 x 2
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? 2 ? x1 ? x 2 ? 4 ,
? x1 ? x 2 ? 0 ,

(x1 ? x 2 ) (x1 x 2 ? 16) ? x1 x 2

? 4 ? x 1 x 2 ? 16 ,即x1 x 2 - 16 ? 0 ? f(x1 )? f(x2 ) ? 0 ,即f(x1 ) ? f(x2 ),
16 ? f(x)? x ? 在 [2, 4] 上单调递减。 x 北京四中龙门网络教育技术有限公司
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如何应用函数
16 f(x)? x ? 在[2, 4]和[4 , 10] x
上的单调性求其最大值 ?

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解: f(x)? x ? 16 在[2, 4]上单调递减, ?
x ? f(x)在[2,4]上最大值为f(2 ? 10 ; )
16 ? f(x)? x ? 在[4,10]上单调 递增, x 58 ? f(x)在 [4, 10] 上最大值为f(10) ? . 5

16 ?函数f(x)? x ? , ?[2,10]的最大值 x x
58 为f(10)? . 5
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? f(10) ? f(2) ,

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己 知 a,b,c∈R, 且 a<0,6a+b<0. 设 f(x)=ax2+bx+c,试比较f(3)、与f(π)的大小. 解:由
?a ? 0 b 得? ? 3. ? 2a ?6a ? b ? 0

即抛物线顶点横坐标<3,又开口向下, 所以二次函数f(x)在 ?3 ? ?) 上递增.

? 3, ? ? ?3,??), 且3 ? ? . ? f (3) ? f (? )
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