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2016高考数学专题复习导练测 第六章 数列章末检测 理 新人教A版


2016 高考数学专题复习导练测 第六章 数列章末检测 理 新人教 A 版
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 . (2011· 茂 名 月 考 ) 已 知 等 差 数 列 {an} 中 , a7 + a9 = 16 , a4 = 1 , 则 a12 的 值 是 ) A.15 B.30 C.31

D.64 2 * 2. 各项均不为零的等差数列{an}中, 若 an-an-1-an+1=0 (n∈N , n≥2), 则 S2 010 等( ) A.0 B.2 C.2 009 D.4 020 2 3 . 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn = n - 4n + 2 , 则 |a1| + |a2| + ? + |a10| 等 于 ) A.66 B.65 C.61 D.56 4. (2011·南阳模拟)等比数列{an}中, Tn 表示前 n 项的积, 若 T5=1, 则 ( ) A.a1=1 B.a3=1 C.a4=1 D.a5=1 5.(2010·东北师大附中高三月考)由 a1=1,an+1=

(

(

an
3an+1

给出的数列{an}的第 34 项 ( )

34 1 1 B.100 C. D. 103 100 104 2 6. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n, 第 k 项满足 5<ak<8, 则 k 等于 ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 n 2 -1 321 7. 已知数列{an}的通项公式是 an= n , 其前 n 项和 Sn= , 则项数 n 等于 ( ) 2 64 A.13 B.10 C.9 D.6 8.(2010·福建)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取 最 小 值 时 , n 等 于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数 列 , 那 么 x + y + z 的 值 为 ( ) A.

A.1 B.2 C.3 D.4 10. (2011·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线, 但需要经环保部门审批同意 1 方可投入生产.已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如 2 果年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟 定最长的生产期限是 ( ) A.5 年 B.6 年 C.7 年 D.8 年 11. 在△ABC 中, tan A, tan B, tan C 依次成等差数列, 则 B 的取值范围是 ( )
1

? π ? ?π 2π ? ? π ? ? π 5π ? A.?0, ?∪? , ? B.?0, ?∪? , ? 3? ?2 3 ? 6? ?2 6 ? ? ? π π π π ? ? ? ? C.? , ? D.? , ? ?6 2? ?3 2? 12.(2010·安徽)设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别 为 X , Y , Z , 则 下 列 等 式 中 恒 成 立 的 是 ( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) 2 C.Y =XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 13.数列{an}的通项公式 an= ,若{an}的前 n 项和为 24,则 n=________. n+ n+1 14.(2011·海口调研)在等差数列{an}中,已知 log2(a5+a9)=3,则等差数列{an}的前 13 项的和 S13=________. n-1 15. 将数列{3 }按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: (1), (3,9), (27,81,243), ?, 则第 100 组中的第一个数是________. * 16 .(2010·哈师大附中高三月考 )已知 Sn 是等差数列{an} (n∈N )的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列四个命题:①d<0;②S11>0;③S12<0;④数列{Sn}中的最大项为 S11. 其中正确的命题是________.(将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)(2011·德州模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a4-a2=8, S10=190. (1)求数列{an}的通项公式 an; * (2)设 p,q∈N ,试判断 ap·aq 是否仍为数列{an}中的项并说明理由.

18.(12 分)在等差数列{an}中,若 a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求数列{an}的通项公 式.

19.(12 分)(2011·武汉月考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且向量 a=(n,Sn),b= (4,n+3)共线. (1)求证:数列{an}是等差数列; ? 1 ? (2)求数列? ?的前 n 项和 Tn.
?nan?

20.(12 分)(2011·唐山月考)已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),设 f(a1),f(a2),?, f(an) (n∈N*)是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)设 a 为常数,求证:{an}成等比数列; (2)若 bn=anf(an),{bn}的前 n 项和是 Sn,当 a= 2时,求 Sn.
2

21.(12 分)(2011·周口月考)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项相同,且 a1 2 n-1 * +2a2+2 a3+?+2 an=8n 对任意 n∈N 都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; * (2)是否存在 k∈N ,使得(bk-ak)∈(0,1)?请说明理由.

22.(12 分)为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到 2006 年底,将当 地沙漠绿化了 40%,从 2007 年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的 12%被绿化,即 改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的 8%又被侵蚀为沙漠,问至少经过 几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过 50%?(可参考数据 lg 2=0.3,最后结果精确到 整数)

答案 1.A [由{an}是等差数列知 a7+a9=2a8=16,∴a8=8.又 a4=1,∴a12=2a8-a4 =15.] 2 2.D [an=an-1+an+1=2an,an≠0,∴an=2. ∴Sn=2n,S2 010=2×2 010=4 020.] 3.A [当 n=1 时,a1=S1=-1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2]=2n-5, ∴a2=-1,a3=1,a4=3,?,a10=15, ∴|a1|+|a2|+?+|a10| 8?1+15? =1+1+ =2+64=66.] 2 2 5 4.B [因为{an}是等比数列,所以 a1·a5=a2·a4=a3,代入已知式 T5=1,得 a3=1, 所以 a3=1.] an 1 1 5.C [由 an+1= 知, = +3, 3an+1 an+1 an ?1? ∴? ?是以 1 为首项,公差为 3 的等差数列.
?an?

1 ∴ =1+(n-1)×3=3n-2.

an

1 1 1 ,a34= = .] 3n-2 3×34-2 100 2 6.B [∵Sn=n -9n, ∴n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-10, a1=S1=-8 适合上式, * ∴an=2n-10 (n∈N ), ∴5<2k-10<8,得 7.5<k<9.∴k=8.] 1 7.D [∵an=1- n, 2 ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ∴Sn=?1- ?+?1- ?+?1- ?+?+?1- n? ? 2? ? 4? ? 8? ? 2? ∴an=
3

1? ?1 1 1 =n-? + + +?+ n? 2? ?2 4 8 1 1? ? ?? ?1-?2?n? 2? ? ?? 1 =n- =n-1+ n. 1 2 1- 2 321 1 321 1 ∵Sn= ,∴n-1+ n= =5+ . 64 2 64 64 ∴n=6.] 8.A [设该数列的公差为 d, 则由 a4+a6=-6 得 2a5=-6, ∴a5=-3.又∵a1=-11, ∴-3=-11+4d,∴d=2, n?n-1? 2 2 ∴Sn=-11n+ ×2=n -12n=(n-6) -36,故当 n=6 时 Sn 取最小值.] 2 9.B [由表格知,第三列为首项为 4,第二项为 2 的等比数列,∴x=1. 5 根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为 5, ,故该数列所成等比数列的公比 2 1 1 1 5 3 ? ?3 ? ?4 为 ,∴y=5×? ? = ,同理 z=6×? ? = .故 x+y+z=2.] 2 ?2? 8 ?2? 8 1 10.C [由题意知第一年产量为 a1= ×1×2×3=3;以后各年产量分别为 an=f(n)- 2 1 1 2 f(n-1)= n(n+1)·(2n+1)- n(n-1)(2n-1)=3n2 (n∈N*), 令 3n ≤150, ∴1≤n≤5 2, 2 2 ∴1≤n≤7. 故生产期限最大为 7 年.] 11.D [由已知得 2tan B=tan A+tan C>0(显然 tan B≠0,若 tan B<0,因为 tan A>0 且 tan C>0,tan A+tan C>0,这与 tan B<0 矛盾), tan A+tan C 又 tan B=-tan(A+C)=- 1-tan Atan C 2tan B =- ≠0,所以 tan Atan C=3. 1-tan Atan C 又∵tan A+tan C≥2 tan Atan C=2 3, ∴tan B≥ 3,∵B∈(0,π ) ?π π ? ∴B 的取值范围是? , ?.] ?3 2? 12.D [由题意知 Sn=X,S2n=Y,S3n=Z. 又∵{an}是等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 为等比数列, 即 X,Y-X,Z-Y 为等比数列, 2 ∴(Y-X) =X·(Z-Y), 2 2 即 Y -2XY+X =ZX-XY, 2 2 ∴Y -XY=ZX-X , 即 Y(Y-X)=X(Z-X).] 13.624 1 解析 an= = n+1- n. n+ n+1 ∴( 2-1)+( 3- 2)+?+( n+1- n)=24, ∴ n+1=25,∴n=624.
4

14.52 3 解析 ∵log2(a5+a9)=3,∴a5+a9=2 =8. 13×?a1+a13? 13×?a5+a9? 13×8 ∴S13= = = =52. 2 2 2 4 950 15.3 解析 由“第 n 组有 n 个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以 1 为首项,1 为 ?1+99?×99 公差的等差数列,前 99 组数的个数共有 =4 950 个,故第 100 组中的第 1 个 2 4 950 数是 3 . 16.①② 解析 由 S6>S7 得 a7<0, 由 S6>S5 得 a6>0, 由 S7>S5 得 a6+a7>0. 因为 d=a7-a6,∴d<0; S11=a1+a2+?+a11=(a1+a11)+(a2+a10)+?+a6=11a6>0,S12=a1+a2+?+a12=(a1 +a12)+(a2+a11)+?+(a6+a7)=6(a6+a7)>0; ∵a6>0,a7<0,∴{Sn}中 S6 最大. 故正确的命题为①②. 17.解 (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 2d=8 ? ? ? 10×9 10a1+ d=190 ? 2 ? 分) 解得 a1=1, d=4, ∴an=4n-3.?????????????????????(6 分) (2)apaq=(4p-3)(4q-3)=16pq-12(p+q)+9 =4[4pq-3(p+q)+3]-3, * ∵4pq-3(p+q)+3∈N , ????????????????????????(8 分) ∴ap·aq 为数列{an}中的项.??????????????????????? (10 分) 18.解 ∵a3+a13=2a8,a3+a8+a13=12, ∴a8=4, ???????????????????????????????(2 分) ?a3+a13=8, ? 则由已知得? ?a3a13=7, ? 解得? 分) 由 a3=1,a13=7, a13-a3 7-1 3 可知 d= = = . 13-3 10 5 3 3 4 故 an=a3+(n-3)· = n- ; ???????????????????????(9 5 5 5 分) 由 a3=7,a13=1, a13-a3 1-7 3 可知 d= = =- . 13-3 10 5 ? 3? 故 an=a3+(n-3)·?- ? ? 5?
? ?a3=1, ?a13=7, ?

,???????????????????????? (4

或?

? ?a3=7, ?a13=1. ?

?????????????????????? (7

5

3 44 =- n + . ????????????????????????????? (11 5 5 分) 3 4 3 44 综上可得, an= n- , 或 an=- n+ .?????????????????(12 分) 5 5 5 5 19.(1)证明 ∵a=(n,Sn),b=(4,n+3)共线, n?n+3? ∴n(n+3)-4Sn=0, ∴Sn= .????????????????????(3 4 分) ∴a1=S1=1, ,????????????????????(5 分) 2 n+1 又 a1=1 满足此式, ∴an= .?????????????????????(6 分) 2 1 ∴an+1-an= 为常数, 2 1 ∴数列{an}为首项为 1,公差为 的等差数列.???????????????(7 分) 2 1 1 ? 1 2 ? (2)解 ∵ = =2? - ?,??????????????????? nan n?n+1? ?n n+1? (9 分) 1 1 1 ∴Tn= + +?+ . a1 2a2 nan 1 ? 2n ? 1? ?1 1? ?1 =2?1- ?+2? - ?+?+2? - .??????????????(12 分) ?= 2 2 3 n n + 1? n+1 ? ? ? ? ? 20.(1)证明 f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,????????????????(2 分) 2n+2 即 logaan=2n+2,可得 an=a . 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

n+1

an a2n+2 a2n+2 = 2?n-1?+2= 2n an-1 a a 2 =a (n≥2)为定值.???????????????????????????(4
∴ 分) ∴{an}为以 a 为公比的等比数列.????????????????????(5 分) 2n+2 2n+2 (2)解 bn=anf(an)=a logaa 2n+2 =(2n+2)a .????????????????????????????(7 分) 2n+2 当 a= 2时,bn=(2n+2)( 2) n+2 =(n+1)2 . 3 Sn=2·2 +3·24+4·25+?+(n+1)·2n+2,① 4 5 6 n+2 n+3 2Sn=2·2 +3·2 +4·2 +?+n·2 +(n+1)·2 ,② ①-②,得 3 4 5 n +2 n+ 3 -Sn=2·2 +2 +2 +?+2 -(n+1)·2 ????????????????(9 分) 2 ?1-2 ? n+3 =16+ -(n+1)·2 1-2 n+3 4 n+3 n+3 n+3 =16+2 -2 -n·2 -2 =-n·2 . n+3 ∴Sn=n·2 .????????????????????????????? (12 分) 21.解 (1)已知得 a1+2a2+2 a3+?+2 an * =8n(n∈N ),① 2 n-2 当 n≥2 时,a1+2a2+2 a3+?+2 an-1=8(n-1).②
6
2 4 2

n-1

n-1

由①-②, 得 2 an=8.∴an=2 .????????????????????(3 分) 4-1 在①中,令 n=1,得 a1=8=2 , 4-n * ∴an=2 (n∈N ). 由题意知 b1=8,b2=4,b3=2, ∴b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2. ∴ bn + 1 -bn =- 4 +(n -1)×2= 2n - 6. ??????????????????? (5 分) ∴bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1) =8+(-4)+(-2)+?+(2n-8) 2 * =n -7n+14(n∈N ). ?????????????????????????(7 分) 2 4-k (2)∵bk-ak=k -7k+14-2 , 2 4-k 设 f(k)=k -7k+14-2 , 7 2 7 4-k 当 k≥4 时,f(k)=(k- ) + -2 ,单调递增, 2 4 且 f(4)=1. 2 4-k ∴k≥4 时,f(k)=k -7k+4-2 ≥1.???????????????????(10 分) 又 f(1)=f(2)=f(3)=0,????????????????????????? (11 分) * ∴不存在 k∈N ,使得(bk-ak)∈(0,1).??????????????????(12 分) 2 22. 解 设该地区总面积为 1,2006 年底绿化面积为 a1= , 经过 n 年后绿洲面积为 an+1, 5 设 2006 年底沙漠面积为 b1,经过 n 年后沙漠面积为 bn+1,则 a1+b1=1,an+bn=1.?(3 分) 依题意 an+1 由两部分组成:一部分是原有绿洲 an 减去被侵蚀的部分 8%·an 的剩余面积 92%·an,另一部分是新绿化的 12%·bn, ∴an+1=92%·an+12%(1-an) 4 3 = an+ , ??????????????????????????????(6 分) 5 25 3 4 3 即 an+1- = (an- ). 5 5 5 3 1 4 ∴{an- }是以- 为首项, 为公比的等比数列, 5 5 5 3 1 4 n 则 an+1= - ·( ) .???????????????????????????(9 5 5 5 分) 3 1 4 n 1 ∵an+1>50%,∴ - ·( ) > . 5 5 5 2 4 n 1 lg 2 1 ∴( ) < ,n> log 4 = ≈3.????????????????????(11 5 2 1 - 3lg 2 2
5

n-1

4-n

分) 4 n 1 则当 n≥4 时,不等式( ) < 恒成立. 5 2 ∴至少需要 4 年才能使绿化面积超过 50%.????????????????(12 分)

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