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古典概型的特点及应用


古典概型的特点及应用
古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事 件出现的可能性相等; 古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 ; 总的基本事件个数

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现

的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组 成,且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是 结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)=

1 .若某个事件 A 包含的 n

m . n 例 1.一栋楼房有六个单元,李明和王强住在此楼内,试求他们住在同一单元的概率. 解:李明住在这栋楼的情况也有 6 种,王强住在这栋楼的情况也有 6 种.所以他们同住 在这栋楼的情况共 6×6=36(种) .由于每种情况的出现的可能性相等.设事件 A 表示“李明
和王强住在此楼的同一单元内” ,而事件 A 所含的结果有 6 种.所以 P(A)= 明和王强住在此楼的同一单元的概率为

6 1 ? .所以李 36 6

1 . 6

点评:王强和李明住哪个单元的可能性是一样的,王强住一单元,李明可能住一至六单 元的任何一单元,有 6 种情况;王强住二单元,李明可能住一至六单元任何一单元,依此类 推,共有 36 种情况,即 36 个基本事件,并且每个基本事件的发生都是等可能的,属古典概 型. 例 2.甲,乙两人做出拳游戏(锤子,剪刀,布) . 求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)乙赢的概率. 解:甲有 3 种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的 3 种不同的 出拳方法.一次出拳游戏共有 3×3=9 种不同的结果, 可以认为这 9 种结果是等可能的. 所以 该游戏(试验)是古典概型,它的基本事件总数为 9.平局的含义是两人出法相同,例如都 出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪,甲出剪且乙出布,甲出布且乙出锤这 3 种情况.乙 赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出布且甲出锤这 3 种情况.设平局为事件 A,甲赢为事件 B,乙赢为事件 C.容易得到图. (1)平局含 3 个基本事件(图中的△) ,P(A)= 3 个基本事件(图中的⊙),P(B) = (图中的※) ,P(C)=

3 1 ? . (2)甲赢含 9 3

3 1 ? .(3)乙赢含 3 个基本事件 9 3

3 1 ? . 9 3

点评: 用列举法把古典概型的基本事件一一列举出来, 然后求出其中指定事件包含的基 本事件数,再用公式求出指定事件的概率,注意列举时要不重不漏. 例 3.从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后 不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解析:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即(a1,a2)和, (a1,b2) , (a2,a1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b2,a2) 。其中小括号内左

边的字母表示第 1 次取出的产品, 右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示 “取出的两种中, 恰好有一件次品”这一事件, 则 A=[(a1,b1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b1,a2)], 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 。 6 3

点评: 利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1) 所有的基本事件必须是互斥的; (2) m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。 例 4.现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率。 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样。 解析: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可 3 能,所以试验结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本 事件共有 8×8×8=8 种,因此,P(A)=
3

83 =0.512。 103

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录 (x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9 ×8=720 种. 设事件 B 为 “3 件都是正品” , 则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所 以 P(B)=

336 720

≈0.467。

解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能, z 有 8 种可能, 但 (x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , (z,y,x) ,是相同的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包 含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467。 120

点评:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是 无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错 误。 例5、 (江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)口袋中有质地、 大小完全相同的5个球, 编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果两个编号的和为偶 数算甲赢, 否则算乙赢. (Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 解: (I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为 (1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1) ,共5个. 又甲、乙二人取出的数字共有5×5= 25 ( 个 ) 等 可 能 的 结 果 , 所以 P( A) ?

5 1 ? . 25 5

1 答:编号的和为6的概率为 . 5 (Ⅱ)这种游戏规则不公平. 设“甲胜”为事件B, “乙胜”为事件C, 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个: (1, 1) , (1, 3) , (1, 5) , ( 2, 2) , (2, 4) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (4, 2) , (4, 4) , (5, 1) , (5,3) , (5,5) . 13 13 12 ,从而乙胜的概率P(C)=1- = . 25 25 25 由于P(B)≠P(C) ,所以这种游戏规则不公平. 点评:本题主要考查古典概率的计算及其相关知识,要求学生列举全面,书写规范.尤 其注意此类问题的答题格式:设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答. 例 6.掷两枚骰子,求所得的点数之和为 6 的概率。 错解:掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2,3,4,?,12},故共有 11 种基本事
所以甲胜的概率P(B)= 件,所以概率为 P=

1 ; 11

剖析:以上 11 种基本事件不是等可能的,如点数和 2 只有(1,1),而点数之和为 6 有 (1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共 5 种.事实上,掷两枚骰子共有 36 种基本事 件,且是等可能的,所以“所得点数之和为 6”的概率为 P=

5 。 36

我们经常见的错里还有“投掷两枚硬币的结果” ,划分基本事件“两正、一正一反、两 反” ,其中“一正一反”与“两正” 、 “两反”的机会是不均等。


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