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函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


课时作业(二十一)

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

及三角函数模型的简单应用
一、选择题 1.(2014· 四川)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有 的点( )

1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 答案:A 1? 1 解析:y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到函数 y=sin 2? ?x+2?的图象,即函数 y 2 =sin(2x+1)的图象,故应选 A. 2. (2015· 陕西铜川一模)把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半, π 纵坐标保持不变,再把图象向左平移 个单位,这时对应于这个图象的函数解析式为( 4 A.y=cos 2x π 2x- ? C.y=sin? 4? ? 答案:A 解析: 把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半, 纵坐标保持不变, π? π? π ? 得到 y=sin 2x 的图象, 再把图象向左平移 个单位, 得到 y=sin 2? ?x+4?=sin?2x+2?=cos 2x 4 的图象,故应选 A. 3. (2015· 临沂高三联考)函数 y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图, 设 P 是图象的最高点, A,B 是图象与 x 轴的交点,设∠APB=θ,则 tan θ 的值是( ) B.y=-sin 2x π 2x+ ? D.y=sin? 4? ? )

A.-2 C.8 答案:C

B .6 D.10

解析:容易知道周期 T=2,作 PD⊥x 轴,垂足为 D,那么 PD=1,

1 3 设 α=∠APD,β=∠BPD,tan α= ,tan β= ,∠APB=α+β, 2 2 容易得出 tan∠APB=8. 故应选 C. 4. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的导函数 f′(x)在一个周期内的图象如图所示, 则函数 f(x) 的解析式可以是( )

π? A.y=sin? ?2x+6? π? B.y=sin? ?2x+3? π? C.y=2sin? ?2x+6? π? D.y=2sin? ?2x+3? 答案:A 解析:由函数图象可得 f′(x)的图象的周期为 π,最值为 2, 则 f′(x)=2sin(2x+θ), π π - ,2?代入可得 sin?- +θ?=1, 将? ? 12 ? ? 6 ? π π 2π 令- +θ= 可得 θ= , 6 2 3 2π 2x+ ?, 即得 f′(x)=2sin? 3? ? 则函数 f(x)的解析式可以是 2π? π? ? f(x)=-cos? ?2x+ 3 ?=sin?2x+6?, 故应选 A. π? 1 5.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?ω>0,0<φ<2?,若将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移6个单位长 1 度,得到的图象经过坐标原点;若将 f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不 2 1 变),得到的图象关于直线 x= 对称,则( 6 π A.ω=π,φ= 6 3 π C.ω= π,φ= 4 8 答案:A 1 ? 1? ? 解析:将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 个单位长度得到 g(x)=sin? ?ω?x-6?+φ?的图象, 6 ) π B.ω=2π,φ= 3 π D.ω=3π,φ= 2

? 1? ? ? ω? 由函数图象经过坐标原点可得 g(0)=sin? ?ω?0-6?+φ?=sin?φ- 6 ?=0,
ω 故 φ- =kπ(k∈Z). 6 1 将 f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变), 得到的函数 h(x)=sin(2ωx 2 1 1 π ω π +φ)的图象,由函数图象关于直线 x= 对称可得 2ω× +φ=kπ+ (k∈Z),即 +φ=kπ+ . 6 6 2 3 2

?φ- 6 =0, 当 k=0 时,? ω π ? 3 +φ=2,
故应选 A.

ω

ω=π, ? ? 解得? π φ= , ? ? 6

6.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速 度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

答案:C π π 解析:据点 P0 的坐标可得∠xOP0=- ,故∠xOP=t- .设点 P(x,y),则由三角函数 4 4 π? y y ? π? 的定义,可得 sin∠xOP= ,即 sin? ?t-4?=2,故 y=2sin?t-4?.因此点 P 到 x 轴的距离 d=|y| r

? π?? =2? ?sin?t-4??,根椐解析式可得,C 选项图象符合条件.故应选 C.(另用排除法易选 C)
二、填空题 7.(2015· 德州模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示,则 f(1)+f(2)+ f(3)+…+f(2 011)的值等于________.

答案:2+2 2 π 解析:由图可知 A=2,ω= , 4 πx ? 所以 f(x)=2sin? ? 4 +φ?, π·2 ? 又(2,2)在图象上,所以 2sin? ? 4 +φ?=2, π π 即 +φ= +2kπ,k∈Z.不妨令 φ=0, 2 2 π 所以函数可变为 f(x)=2sin x. 4 又∵f(1)= 2,f(2)=2,f(3)= 2, f(4)=0,f(5)=- 2,f(6)=-2, f(7)=- 2,f(8)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 011)=f(1)+f(2)+f(3)=2+2 2. π? ?π? 8.(2015· 荆州模拟)已知 f(x)=cos(2x+φ),其中 φ∈[0,2π),若 f? ?6?=f?3?,且 f(x)在区 π π? 间? ?6,3?上有最小值,无最大值,则 φ=________. π 答案: 2 π 解析:由题意知,当 x= 时,f(x)取最小值, 4 π ∴2× +φ=π+2kπ,k∈Z, 4 π ∴φ= +2kπ,k∈Z, 2 又 0≤φ<2π, π ∴φ= . 2 5π? π 9 .若将函数 y = sin ? ?ωx+ 6 ? (ω > 0) 的图象向右平移 3 个单位长度后,与函数 y = π? sin? ?ωx+4?的图象重合,则 ω 的最小值为________. 7 答案: 4

5π? ? ? 5π ?? 解析:y=sin? ?ωx+ 6 ?=sin?ω?x+6ω??, π ?? π? ? ? y=sin? ?wx+4?=sin w x+4w .

? ?

??

5π π π 由题意知,当 - = ,ω 最小, 6ω 4w 3 7 解得 ω= . 4

? π π?? 10.设函数 y=sin(ωx+φ)? ?ω>0,φ∈?-2,2??的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x
π = 对称,则在下面四个结论中: 12 π ? ①图象关于点? ?4,0?对称; π ? ②图象关于点? ?3,0?对称; π? ③在? ?0,6?上是增函数; π ? ④在? ?-6,0?上是增函数. 正确结论的编号为________. 答案:②④ 解析:∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为 π, 2π π ∴ω= =2.又其图象关于直线 x= 对称, π 12 π π ∴2× +φ=kπ+ (k∈Z). 12 2 π ∴φ=kπ+ ,k∈Z. 3 π π π - , ?,得 φ= , 由 φ∈? 2 2 ? ? 3 π 2x+ ?. ∴y=sin? 3? ? π 令 2x+ =kπ(k∈Z), 3 kπ π 得 x= - (k∈Z). 2 6 π π 2x+ ?关于点? ,0?对称,故②正确. ∴y=sin? 3? ? ?3 ? π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 2 3 2 kπ- 5π π ≤x≤kπ+ (k∈Z), 12 12

π? 5π π? ? ∴函数 y=sin? ?2x+3?的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12? (k∈Z). π ? ? 5π π? ∵? ?-6,0???kπ-12,kπ+12?(k∈Z), ∴④正确. 三、解答题 11.已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x-1. (1)求 f(x)的周期和单调递增区间; (2)说明 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样变化得到. 解:(1)f(x)=cos 2x+ 3sin 2x =2? π 3 1 ? 2x+ ?, sin 2x+ cos 2x =2sin? 6 ? ? 2 ?2 ?

f(x)最小正周期为 π, π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π 可得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 3 6 π π? 所以,函数 f(x)的单调递增区间为? ?kπ-3,kπ+6? (k∈Z). 1 π (2)将 y=sin x 的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,将所得图象向左平移 个 2 12 单位,再将所得的图象横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍得到 f(x)的图象. 12.(2015· 南通模拟)设 x∈R,函数 f(x)=cos(ωx+φ)

?ω>0,-π<φ<0?的最小正周期为 π,且 f?π?= 3. 2 ? ? ?4? 2
(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象;

(3)若 f(x)>

2 ,求 x 的取值范围. 2

2π 解:(1)∵函数 f(x)的最小正周期 T= =π, ω ∴ω=2, π? 3 π π ? π ? ?π ? ∵f? ?4?=cos?2×4+φ?=cos?2+φ?=-sin φ= 2 ,且-2<φ<0,∴φ=-3. π 2x- ?,列表如下: (2)由(1)知 f(x)=cos? 3? ? π 2x- 3 x f(x) 图象如图: - 0 1 2 π 3 0 π 6 1 π 2 5π 12 0 π 2π 3 -1 3π 2 11π 12 0 5π 3 π 1 2

(3)∵f(x)>

π 2 2 2x- ?> , ,即 cos? 3? 2 ? 2

π π π ∴2kπ- <2x- <2kπ+ ,k∈Z, 4 3 4 π 7π 则 2kπ+ <2x<2kπ+ ,k∈Z, 12 12 π 7π 即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 24 24
? ? π 7π ? ∴x 的取值范围是?x? ?kπ+24<x<kπ+24,k∈Z . ? ?

π? 13.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所示.

(1)求 f(x)的最小正周期及解析式; π? (2)设 g(x)=f(x)-cos 2x,求函数 g(x)在区间? ?0,2?上的最大值和最小值.

T 2π π π 解:(1)由题图可得 A=1, = - = , 2 3 6 2 所以 T=π,所以 ω=2. π 当 x= 时,f(x)=1, 6 π ? 可得 sin? ?2×6+φ?=1, π π 因为|φ|< ,所以 φ= . 2 6 π? 所以 f(x)的解析式为 f(x)=sin? ?2x+6?. (2)g(x)=f(x)-cos 2x π? =sin? ?2x+6?-cos 2x π π =sin 2xcos +cos 2xsin -cos 2x 6 6 = π 3 1 2x- ?. sin 2x- cos 2x=sin? 6? ? 2 2

π 因为 0≤x≤ , 2 π π 5π 所以- ≤2x- ≤ . 6 6 6 π π π 当 2x- = ,即 x= 时,g(x)取最大值为 1; 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,g(x)取最小值为- . 6 6 2


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