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广东省揭阳一中南区学校12-13学年高一上学期期中考试(数学)


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揭阳一中南区学校期中考试 高一级数学试卷
(第一卷) 说明:本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟,考试结束时,只交答题卷。 温馨提示:请把答案填在第二卷答题卷上。 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四

个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 下列四个集合中,空集是( ) A. C.

?x?Rx ?2?0 ?
2

B. ? 0 ? D. ? ? ?

x 或 ? x?8 x?4 ?

2.已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(CuM)∩N= A. ?2 ,3 , 4 ? B. ?3 ? C. ?2 ? )
x ?1? x ? 1, g ( x ) ? x ?1
2

D. ?0 ,1, 2 ,3 , 4 ?

3.下列四组函数中,表示相同函数的一组是( A. f ( x ) ? lg x , g ( x ) ? 2 lg x
2

B. f ( x ) ?

C.

f (x) ? 2

?x

?1? , g (t ) ? ? ? ?2?
2 x

t

D. f ( x ) ? x , g ( x ) ? 1
0

4.函数 f ( x ) ? ln x ? A. (1 , 2 )

的零点所在的大致区间是( B. ? e , ? ? ?
1 e

) D. ( 2, 3) )

C. (1, ) 和 (3, 4 )

5.给定映射 f: ? x , y ? ? ? x ? 2 y , 2 x ? y ? ,在映射 f 下, (3,1)的原像为( A (1,3) B (5,5) C (3,1) D (1,1)

6. 已知集合 A= ? 1 , 2 , 3 ? ,B= ? 2 , 4 ? . 定义集合 A,B 之间的运算 A*B= 等于( ) A. ? 1 , 2 , 3 ? 7.已知函数 f ( x ) ? ? (A)16
第 1 页(共 8 页)

xx A 且 B ,则集合 A*B ? ? , x? ?

B.
?2 x, x ? 0 ?x , x ? 0
2

?2,4?

C. ? 1 , 3 ?

D. ?2 ? ) (D)8或-8
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,则 f [ f ( ? 2 )] ? ( (C)-8

(B)8

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x

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8.函数 f ( x ) ? e ( e 为自然对数的底数)对任意实数 x 、 y ,都有( (A) f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) (C) f ( xy ) ? f ( x ) f ( y )
x

(B) f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) (D) f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y )

9. 函数 y ? a 与 y ? ? lo g a x ( a ? 0, 且 a ? 1) 在同一坐标系中的图像只可能是 y y y

y

1 0

1

x

1 -1 0

1 x 0 1 x

1 0 1 x

A.

B.

C.

D.

10.设偶函数 f ? x ? ? lo g a x ? b 在 ? ? ? , 0 ? 上是增函数,则 f ? a ? 1 ? 与 f ? b ? 2 ? 的 大小关系是( ) B. f ? a ? 1 ? ? f ? b ? 2 ? D. 不能确定

A. f ? a ? 1 ? ? f ? b ? 2 ? C. f ? a ? 1 ? ? f ? b ? 2 ?

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.计算: log
4

3 ? log
2

9

8 ?

. .

12.二次函数 y ? kx ? 4 x ? 8 在区间 [ 5 , 20 ] 上是减函数,则实数 k 的取值范围为 13.函数 f(x)=2 -5 的零点所在区间为[m,m+1](m∈N) ,则 m= 14.给出下列四个命题: ①函数 y ? | x | 与函数 y ? ( x ) 2 表示同一个函数; ②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点;
2 ③函数 y ? 3 x ? 1 的图像可由 y ? 3 x 的图像向上平移 1 个单位得到;
2

x



④若函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 2 ] ,则函数 f ( 2 x ) 的定义域为 [ 0 , 4 ] ; ⑤设函数 f ? x ? 是在区间 ?a , b ? 上图象连续的函数,且 f ? a ? ? f ?b ? ? 0 ,则方程 f ? x ? ? 0 在区间 ?a , b ? 上 至少有一实根;
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其中正确命题的序号是

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. (填上所有正确命题的序号)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 12 分)计算: (1) 集合 A ? { x | 4 ? x ? 8}, 集合 B ? { x | x ? 7 }, 求 A ? B 和 A ? C R B .
20 5 2? 73 o . 5 0 ( ) ? ) ? ? 4 ?e l 2 ?2 ( 2 4 ? lg5 l 5 g 0l n? 0 g (2) 1 6 8
1

16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

1 x ?1
2

.

(1)设 f ( x ) 的定义域为 A,求集合 A; (2)判断函数 f ( x ) 在(1,+ ? )上单调性,并用定义加以证明.

17. (本小题满分 14 分) 某商店如果将进价为 8 元的商品按每件 10 元售出,每天可销售 200 件,现在提高售价以赚取更多利
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润.已知每涨价 0.5 元,该商店的销售量会减少 10 件,问将售价定为多少时,才能使每天的利润最大? 其最大利润为多少?

18.(本题满分 14 分) 已知函数 f (x) 在定义域 (1) 求 f (9), f(27) 的值; (2) 若 f (3) ? f (a - 8) ? 2 , 求实数 a 的取值范围。

?0, ? ?上为增函数,且满足 ?

f (xy) ? f(x) ? f(y), f(3) ? 1.

19. (本小题满分 14 分)
2 2 已知 a ? 0, a ? 1 ,设 P :函数 y ? a 在 R 上单调递减; Q :函数 y ? x ? (2a - 3)x ? a 的图象与 x
x

轴至少有一个交点.如果 P 与 Q 有且只有一个正确,求 a 的取值范围.

20. (本题满分 14 分)集合 A 是由适合以下性质的函数 f?x?构成的:对于定义域内任意两个不相等的实数

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x1 , x 2 ,都有 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f (
2
2

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1

x1 ? x 2 2

)

.

(1)试判断 f?x?? x 及 g?x??log2x 是否在集合 A 中,并说明理由; (2)设 f?x??A 且定义域为?0,???,值域为?0,1?, f ? 1 ? ? 的解析式.
1 2

,试求出一个满足以上条件的函数 f ?x?

高一数学期中答案

一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 D 6 C 7 B 8 A 9 A 10 B

二、填空题: 11.
3 4

12. ( ?? , 0 ) ? ( 0 ,

1 10

]

13.2

14. ③⑤

三、解答题: 15、解: (1) A ? B ? { x | 4 ? x ? 8} ? { x | x ? 7 } ? { x | 7 ? x ? 8} .......................................3 分
C R B ? { x | x ? 7} A ? C R B ? { x | 4 ? x ? 8} ? { x | x ? 7 } ? { x | x ? 8}
?5? (2) 原式 ? ? ? ?4?
2 ? 0 .5

............................................6 分

?3? ?? ? ?2?

3? -

1 3

- 2 ? 5 - 5 ? 2 ? lg 2 - lg 2

.......................................10 分

?

5 4

?

2 3
2

?

23 12 ...............................................12 分

16、解: (1)由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ? 1 , 所以,函数 f ( x ) ? (2)函数 f ( x ) ?
1 x ?1
2

1 x ?1
2

的定义域为 { x ? R | x ? ? 1} ……………………… 4 分

在 (1, ? ? ) 上单调递减. ………………………………6 分

证明:任取 x1 , x 2 ? (1, ? ? ) ,设 x1 ? x 2 , 则 ? x ? x 2 ? x1 ? 0,

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? y ? y 2 ? y1 ? 1 x2 ? 1
2

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( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

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?

1 x1 ? 1
2

?

…………………… 8 分

? x1 ? 1, x 2 ? 1,

? x1 ? 1 ? 0, x 2 ? 1 ? 0, x1 ? x 2 ? 0 .
2 2

又 x1 ? x 2 ,所以 x1 ? x 2 ? 0, 故 ? y ? 0 . 因此,函数 f ( x ) ?
1 x ?1
2

在 (1, ? ? ) 上单调递减. ………………………12 分

17、解:设每件售价定为 10+0.5x 元,则销售件数减少了 10x 件. ………5 分 ∴每天所获利润为: y ? ? 2 ? 0 .5 x ? ? 2 0 0 ? 1 0 x ? ? ? 5 x ? 8 0 x ? 4 0 0
2

? ?5 ? x ? 8 ? ? 720 ,
2

故当 x=8 时,有 ymax=720. 答:售价定为每件 14 元时,可获最大利润,其最大利润为 720 元. 18、解: (1)由原题条件,可得到
f (9) ? f(3 ? 3) ? f 3) f ( 3)? 1 ? 1 ? 2 ........................................3 分 ? f (27) ? f(3 ? 9) ? f(3) ? f(9) ? 1 ? 2 ? 3 ..........................................6 分

(2) f (3) ? f(a - 8) ? f(3a - 24) ,又 f(9) ? 2
? f (3a - 24) ? f(9) ..........................................................................9 分

函数在定义域上位增函数,即有 3a-24<9,
? 3a - 24 ? 9 ?? ......................................................................................12 分 ?a - 8 ? 0

解得 a 的取值范围为 8<a<11................................................................14 分 19、解:函数 y ? a 在 R 上单调递减 ? 0 ? a ? 1 ;
x

函数 y ? x ? (2a - 3)x ? a 的图象与 x 轴至少有一个交点,
2 2
2 即 ? ? ? 2 a - 3 ? - 4 a ? - 12 a ? 9 ≥0,解之得 a ? 2

3 4


3? ? 4?
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(1)若 P 正确,Q 不正确,则 a ? ?a | 0 ? a ? 1? ? ? a | a ?
?
第 6 页(共 8 页)

?

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3 即 a ? ? a | ? a ? 1 ? . ……………………………………… 6 分 ? ? ? 4 ?

(2)若 P 不正确,Q 正确,则 a ? ?a | a ? 1? ? ? a | a ?
?

?

3? ? 4?

即 a ? ? ……………………………………… 12 分
3 综上可知,所求 a 的取值范围是 a ? ? a | ? a ? 1 ? . …………………………… 14 分 ? ? ? 4 ?

20、解: (1) f ( x ) ? A , g ( x ) ? A .

……………………………………… 2 分

对于 f ( x ) ? A 的证明. 任意 x1 , x 2 ? R 且 x1 ? x 2 ,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? 1 4 ( x1 ? x 2 ) ? 0
2

? f(

x1 ? x 2 2

)?

x1 ? x 2
2

2

?(

x1 ? x 2 2

) ?
2

x1 ? 2 x1 x 2 ? x 2
2

2

2

4



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

? f(

x1 ? x 2 2

) . ∴ f ( x) ? A

…………………………… 4 分

对于 g ( x ) ? A ,举反例:当 x1 ? 1 , x 2 ? 2 时,
g ( x1 ) ? g ( x 2 ) 2 x1 ? x 2 2 ? 1 (lo g 2 1 ? lo g 2 2 ) ? ? lo g 2 3 1 2 2 ? 1 2

, , ………………………6 分

g(

不满足

2 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) 2
x

) ? lo g 2

2 1? 2

? g(

2 x1 ? x 2 2

? lo g 2

) . ∴ g (x) ? A .

2 1 ?2? ⑵函数 f ( x ) ? ? ? ,当 x ? (0, ? ? ) 时,值域为 (0 ,1) 且 f (1) ? ? .…… 8 分 3 2 ?3?

任取 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) 且 x1 ? x 2 ,则

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f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? f( x1 ? x 2 2

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? ? ? ? ? ? ?0 ? ?
2

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x1 ? x 2 x1 x2 ? 1 ?? 2 ? ?2? ?2? 2 )? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? 2 ?? 3 ? ?3? ?3? ? x2 x2 ? ?2?2 ? ?? ? ?? 3 ? ?

2 x1 x1 ?? ? 1 ? ?? 2 ? 2 ? ?2?2 ? ? ? ? ? 2 ?? ? 2 ? ?? 3 ? ? ?3? ? ??

?2? ?? ? ?3?

2

? ? ? ?

2

x1 x2 ? ? ? 1 ?? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?? ? ? ?? ? ? ?3? ? 2 ?3? ? ?



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

? f(

x1 ? x 2 2

?2? ) . ∴ f (x) ? ? ? ? A . ?3?

x

…………………14 分

x 说明:本题中 f ( x ) 构造类型 f ( x ) ? a (

1 2

? a ? 1) 或 f ( x ) ?

k x?k

( k ? 1) 为常见.

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