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江苏省无锡市江阴市华士、成化、山观三校联考2015-2016学年高二上学期期中数学试卷


2015-2016 学年江苏省无锡市江阴市华士、成化、山观三校联考高 二(上)期中数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案直接填在答题卡相应位置 上. 1.命题:“?x>0,x﹣2≤0”的否定是__________. 2.椭圆 3x2+4y2=12 的焦距为__________. 3.方程 x2+y2﹣x+y+m=0 表示一个圆,则 m 的取值范围是__________. 4. (理科)已知命题 p:x≠2,命题 q:x2≠4,则 p 是 q 的__________条件. 5.直线 l1:x+ay+6=0 与 l2: (a﹣2)x+3y+2a=0 平行,则 a 的值为__________. 6.右焦点坐标是(2,0) ,且经过点(﹣2,﹣ )的椭圆的标准方程为__________.

7.圆锥的体积为

π,底面积为 π,则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为__________.

8.过点 M(5,2)且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是__________. 9.与圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 外切于原点,且半径为 2 的圆的标准方程为__________.

10.设 α、β、γ 是三个不同的平面,l、m、n 是三条不同的直线,则 m⊥β 的一个充分条件为 __________. ①α⊥β,α∩β=l,m⊥l; ②n⊥α,n⊥β,m⊥α; ③α∩γ=m,α⊥β,γ⊥β; ④m⊥α,α⊥γ,β⊥γ. 11.如图所示,A,B 分别是椭圆的右、上顶点,C 是 AB 的三等分点(靠近点 B) ,F 为椭圆 的右焦点,OC 的延长线交椭圆于点 M,且 MF⊥OA,则椭圆的离心率为__________.

12.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3,底面边长为 __________.

,则这个球的表面积是

13.已知圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 和两点 A(﹣m,0) ,B(m,0) (m>0) ,若圆 C 上 不存在点 P,使得∠APB 为直角,则实数 m 的取值范围是__________. 14.已知圆 C:x2+y2﹣2ax﹣2(a﹣1)y﹣1+2a=0(a≠1)对所有的 a∈R 且 a≠1 总存在直线 l 与圆 C 相切,则直线 l 的方程为__________.

二、解答题(本大题共有 6 小题,满分 90 分.需写出文字说明、推理过程或演算步骤. ) 2 2 15. 14 A={ x y |x + y+1 1} B={ x y | x+y=4m} p A B= ( 分) 已知集合 ( ,) ( )≤ , ( , ) , 命题 : ∩ ?, 命题 q:方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆.

(1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 m 的取值范围. 16. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,PA⊥AC,AB⊥BC.设 D, E 分别为 PA,AC 中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 PBC; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PAB; (Ⅲ)试问在线段 AB 上是否存在点 F,使得过三点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平 面 PBC 平行?若存在,指出点 F 的位置并证明;若不存在,请说明理由.

17. (14 分)已知△ ABC 的顶点 B(﹣1,﹣3) ,AB 边上的高 CE 所在直线的方程为 x﹣3y﹣ 1=0,BC 边上中线 AD 所在直线的方程为 8x+9y﹣3=0.求: (1)点 A 的坐标; (2)直线 AC 的方程. 18. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(2,﹣2) ,B(1,1)两点,且圆 x 2y 2=0 心在直线 ﹣ ﹣ 上. (1)求圆 C 的标准方程; (2) 过圆 C 内一点 P(1, ﹣1) 作两条相互垂直的弦 EF,GH,当 EF=GH 时, 求四边形 EGFH 的面积.

(3)设直线 l 与圆 C 相交于 P,Q 两点,PQ=4,且△ POQ 的面积为 ,求直线 l 的方程.

19. (16 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a,E 为棱 AB 上的一动点. (1)若 E 为棱 AB 的中点, ①求四棱锥 B1﹣BCDE 的体积 ②求证:面 B1DC⊥面 B1DE (2)若 BC1∥面 B1DE,求证:E 为棱 AB 的中点.

20. (16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 过点 M (1,

) ,

离心率 e=

,F1、F2 为椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设圆 T 的圆心 T(0,t)在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 两焦点.点 P 为椭圆 C 上的一 动点,PQ 与圆 T 相切于点 Q. ①当 Q(﹣ ,﹣ )时,求直线 PQ 的方程; ②当 PQ 取得最大值为 时,求圆 T 方程.

2015-2016 学年江苏省无锡市江阴市华士、成化、山观三 校联考高二(上)期中数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案直接填在答题卡相应位置 上. 1.命题:“?x>0,x﹣2≤0”的否定是?x>0,x﹣2>0. 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;转化思想;简易逻辑. 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题:“?x>0,x﹣2≤0”的否定是:?x> 0,x﹣2>0. 故答案为:?x>0,x﹣2>0. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题. 2.椭圆 3x2+4y2=12 的焦距为 2. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】将椭圆 3x2+4y2=12 的方程标准化,即可求得答案. 【解答】解:∵3x2+4y2=12, ∴ + =1,设半焦距为 c,

则 c2=4﹣3=1, ∴c=1,2c=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义,属于简单 题. 3.方程 x2+y2﹣x+y+m=0 表示一个圆,则 m 的取值范围是(﹣∞, ) . 【考点】二元二次方程表示圆的条件. 【专题】直线与圆. 【分析】根据圆的一般方程即可得到结论. 【解答】解:若方程 x2+y2﹣x+y+m=0 表示一个圆, 则满足 1+1﹣4m>0, 即 m< , 故答案为: (﹣∞, ) .

【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用,比较基础.方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条 件是 D2+E2﹣4F>0. 4. (理科)已知命题 p:x≠2,命题 q:x2≠4,则 p 是 q 的必要不充分条件. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】规律型. 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可, 【解答】解:若 x2≠4,则 x≠2 且 x≠﹣2. ∴p 是 q 的必要不充分条件. 故答案为:必要不充分. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,比较基础. 5.直线 l1:x+ay+6=0 与 l2: (a﹣2)x+3y+2a=0 平行,则 a 的值为﹣1. 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由于 l2 的斜率存在,因此 l1∥l2? 【解答】解:∵l1∥l2,∴ , 且截距不等.即可得出.

化为 a2﹣2a﹣3=0, 解得 a=3 或﹣1. 当 a=3 时,l1 与 l2 重合,应舍去. 因此 a=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件,属于基础题.

6.右焦点坐标是(2,0) ,且经过点(﹣2,﹣

)的椭圆的标准方程为

+

=1.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;待定系数法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设椭圆方程为 2,﹣ + =1(a>b>0) ,由题意可得 c=2,结合 a,b,c 的关系和点(﹣

)代入椭圆方程,解方程可得 a,b,进而得到椭圆方程. + =1(a>b>0) ,

【解答】解:设椭圆方程为

由题意可得 c=2,即有 a2﹣b2=4, 代入点(﹣2,﹣ 解得 a=2 ,b=2. + =1. ) ,可得 + =1,

即有椭圆方程为

故答案为:

+

=1.

【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用待定系数法,考查运算能力,属于基础题.

7.圆锥的体积为

π,底面积为 π,则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为



【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】计算题;对应思想;空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】根据已知,求出圆锥的底面半径和母线长,进而可得该圆锥侧面展开图的圆心角大 小. 【解答】解:∵圆锥的底面积为 π, 故圆锥的底面半径 r=1, 又∵圆锥的体积为 故圆锥的高 h=2 故圆锥的母线长 l= , =3, π,

设该圆锥侧面展开图的圆心角大小为 θ, 则 故 θ= = , ,

故答案为: 【点评】本题考查的知识点是旋转体,圆锥的体积公式,圆锥的展开图,难度不大,属于基 础题. 8.过点 M(5,2)且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 2x+y﹣12=0 或 2x﹣5y=0. 【考点】直线的斜截式方程. 【专题】计算题. 【分析】当直线过原点时,可设方程为 y=kx,当直线不过原点时,可设方程为 别代入点 M(5,2) ,可得 k 和 a 的值,进而可得方程. 【解答】解:当直线过原点时,可设方程为 y=kx,代入点 M(5,2) , 可得 k= ,故方程为 y= x,即 2x﹣5y=0; 当直线不过原点时,可设方程为 可得 a=6,故方程为 ,代入点 M(5,2) , ,分

,即 2x+y﹣12=0;

故所求方程为:2x+y﹣12=0 或 2x﹣5y=0, 故答案为:2x+y﹣12=0 或 2x﹣5y=0

【点评】本题考查直线的截距式方程,涉及分类讨论的思想,属基础题. 9.与圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 外切于原点,且半径为 2 的圆的标准方程为(x+2)2+(y﹣4) 2 =20. 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】根据圆和圆的位置关系,求出圆心与半径,即可得到结论. 【解答】解:圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 可化为圆 C: (x﹣1)2+(y+2)2=5, 设所求圆的圆心为 C′(a,b) , ∵圆 C′与圆 C 外切于原点, ∴a<0①, ∵原点与两圆的圆心 C′、C 三点共线, ∴ =﹣2,则 b=﹣2a②, 由|C′C|=3 ,得 =3 ③,

联立①②③解得 a=﹣2, 则圆心为(﹣2,4) , ∴所求圆的方程为: (x+2)2+(y﹣4)2=20. 故答案为: (x+2)2+(y﹣4)2=20. 【点评】本题考查圆的方程,切点与两圆的圆心三点共线是关键,考查方程思想与运算能力, 属于中档题. 10.设 α、β、γ 是三个不同的平面,l、m、n 是三条不同的直线,则 m⊥β 的一个充分条件为 ②③. ①α⊥β,α∩β=l,m⊥l; ②n⊥α,n⊥β,m⊥α; ③α∩γ=m,α⊥β,γ⊥β; ④m⊥α,α⊥γ,β⊥γ. 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】在①中,m 与 β 相交、平行或 m?β;在②中,由线面垂直的性质得 m∥n,再由线 面垂直判定定理得 m⊥β;在③中,由直线与平面垂直判定定理得 m⊥β;在④中 m 与 β 平 行或 m?β. 【解答】解:由 α、β、γ 是三个不同的平面,l、m、n 是三条不同的直线,知: ①∵α⊥β,α∩β=l,m⊥l,∴m 与 β 相交、平行或 m?β,故①错误; ②∵n⊥α,m⊥α,∴m∥n,∵n⊥β,∴m⊥β,故②正确; ③∵α∩γ=m,α⊥β,γ⊥β,∴由直线与平面垂直的判定定理得 m⊥β,故③正确; ④∵m⊥α,α⊥γ,β⊥γ,∴m 与 β 平行或 m?β,故④错误. 故答案为:②③. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意线线、线面、面面 间的位置关系的合理运用.

11.如图所示,A,B 分别是椭圆的右、上顶点,C 是 AB 的三等分点(靠近点 B) ,F 为椭圆 的右焦点,OC 的延长线交椭圆于点 M,且 MF⊥OA,则椭圆的离心率为 .

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 A(a,0) ,B(0,b) ,F(c,0) ,椭圆方程为 + =1(a>b>0) ,求得 C 和

M 的坐标,运用 O,C,M 共线,即有 kOC=kOM,再由离心率公式计算即可得到所求值. 【解答】解:设 A(a,0) ,B(0,b) ,F(c,0) , 椭圆方程为 + =1(a>b>0) ,

令 x=c,可得 y=b

=



即有 M(c,

) ,

由 C 是 AB 的三等分点(靠近点 B) , 可得 C( , ) ,即( , ) ,

由 O,C,M 共线,可得 kOC=kOM, 即为 a= 故答案为: = ,即有 b=2c, = c,则 e= = . .

【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的求法,注意运用直线的有关 知识,考查运算能力,属于中档题. 12.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3,底面边长为 16π. ,则这个球的表面积是

【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;方程思想;数形结合法;立体几何. 【分析】正四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点在同一球面上,则其外接球的球心在它的高 PO1 上, 记为 O,如图.求出 AO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积. 【解答】解:正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上, 记为 O,PO=AO=R,PO1=3,OO1=3﹣R,

在 Rt△ AO1O 中,AO1= ∴球的表面积 S=16π 故答案为:16π.

AC=

,由勾股定理 R2=3+(3﹣R)2 得 R=2,

【点评】本题考查球的表面积,球的内接体问题,解答关键是确定出球心的位置,利用直角 三角形列方程式求解球的半径.需具有良好空间形象能力、计算能力. 13.已知圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 和两点 A(﹣m,0) ,B(m,0) (m>0) ,若圆 C 上 不存在点 P,使得∠APB 为直角,则实数 m 的取值范围是(0,4)∪(6,+∞) . 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;直线与圆. 【分析】C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 的圆心 C(3,4) ,半径 r=1,设 P(a,b)在圆 C 上,则 =(a+m,b) , =(a﹣m,b) ,由已知得 m2=a2+b2=|OP|2,m 的最值即为|OP|的最值,可 得结论. 【解答】解:圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 的圆心 C(3,4) ,半径 r=1, 设 P(a,b)在圆 C 上,则 =(a+m,b) , =(a﹣m,b) , 若∠APB=90°,则 ⊥ , ∴ ? =(a+m) (a﹣m)+b2=0, ∴m2=a2+b2=|OP|2, ∴m 的最大值即为|OP|的最大值,等于|OC|+r=5+1=6.最小值为 5﹣1=4, ∴m 的取值范围是(0,4)∪(6,+∞) . 故答案为: (0,4)∪(6,+∞) . 【点评】本题考查实数的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合 理运用. 14.已知圆 C:x2+y2﹣2ax﹣2(a﹣1)y﹣1+2a=0(a≠1)对所有的 a∈R 且 a≠1 总存在直线 l 与圆 C 相切,则直线 l 的方程为 y=﹣x+1. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;方程思想;直线与圆. 【分析】设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,比较系数得到方程组,求出恒与 圆相切的直线的方程. 【解答】解:圆的圆心坐标为(a,1﹣a) ,半径为: |a﹣1| 显然,满足题意切线一定存在斜率, ∴可设所求切线方程为:y=kx+b,即 kx﹣y+b=0, 则圆心到直线的距离应等于圆的半径,即 = |a﹣1|恒成立,

即 2(1+k2)a2﹣4(1+k2)a+2(1+k2)=(1+k)2a2+2(b﹣1) (k+1)a+(b﹣1)2 恒成立,

比较系数得



解之得 k=﹣1,b=1,所以所求的直线方程为 y=﹣x+1. 故答案为:y=﹣x+1. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查圆系方程的应用,点到直线的距离公式的应用, 考查计算能力. 二、解答题(本大题共有 6 小题,满分 90 分.需写出文字说明、推理过程或演算步骤. ) 2 2 15. y) |x + B={ y) | x+y=4m}, A∩B=?, (14 分) 已知集合 A={ (x, (y+1) ≤1}, (x, 命题 p: 命题 q:方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆.

(1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】分类讨论;综合法;简易逻辑. 【分析】 (1)根据命题 p 是真命题,结合直线和圆的位置关系,求出 m 的范围即可; (2)分 别求出 p,q 为真时的 m 的范围,通过讨论 p,q 的真假,求出 m 的范围即可. 【解答】解: (1)由命题 p 为真命题, 则 d= >1…

解得:m> 或 m<﹣ (2)若命题 q 为真命题,





,解得:0<m<



∵“p∨q”为真,“p∧q”为假∴p,q 一真一假… 若 p 真 q 假,则 m≥ 或 m<﹣ …; 若 p 假 q 真,则 0<m≤ …(13 分)

综上:m 的取值范围为 m≥ 或 m<﹣ ,或 0<m≤ …(14 分) 【点评】本题考查了符合命题的判断,考查直线和圆的位置关系以及椭圆的性质,是一道基 中档题. 16. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,PA⊥AC,AB⊥BC.设 D, E 分别为 PA,AC 中点.

(Ⅰ)求证:DE∥平面 PBC; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PAB; (Ⅲ)试问在线段 AB 上是否存在点 F,使得过三点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平 面 PBC 平行?若存在,指出点 F 的位置并证明;若不存在,请说明理由.

【考点】直线与平面平行的性质;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)证明以 DE∥平面 PBC,只需证明 DE∥PC; (Ⅱ)证明 BC⊥平面 PAB,根据线面垂直的判定定理,只需证明 PA⊥BC,AB⊥BC; (Ⅲ)当点 F 是线段 AB 中点时,证明平面 DEF∥平面 PBC,可得平面 DEF 内的任一条直线 都与平面 PBC 平行. 【解答】解: (Ⅰ)证明:因为点 E 是 AC 中点,点 D 为 PA 的中点,所以 DE∥PC. 又因为 DE?面 PBC,PC?面 PBC, …. 所以 DE∥平面 PBC. PA⊥AC, (Ⅱ) 证明: 因为平面 PAC⊥面 ABC, 平面 PAC∩平面 ABC=AC, 又 PA?平面 PAC, 所以 PA⊥面 ABC, 因为 BC?平面 ABC, 所以 PA⊥BC. 又因为 AB⊥BC,且 PA∩AB=A, …. 所以 BC⊥面 PAB. F AB D E F (Ⅲ)解:当点 是线段 中点时,过点 , , 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平 行. 取 AB 中点 F,连 EF,连 DF. 由(Ⅰ)可知 DE∥平面 PBC. 因为点 E 是 AC 中点,点 F 为 AB 的中点, 所以 EF∥BC. 又因为 EF?平面 PBC,BC?平面 PBC, 所以 EF∥平面 PBC. 又因为 DE∩EF=E, 所以平面 DEF∥平面 PBC, 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行. 故当点 F 是线段 AB 中点时,过点 D,E,F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC 平 …. 行. (14 分)

【点评】本题考查线面平行,考查线面垂直,考查面面平行,考查学生分析解决问题的能力, 掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理是关键. 17. (14 分)已知△ ABC 的顶点 B(﹣1,﹣3) ,AB 边上的高 CE 所在直线的方程为 x﹣3y﹣ 1=0,BC 边上中线 AD 所在直线的方程为 8x+9y﹣3=0.求: (1)点 A 的坐标; (2)直线 AC 的方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)根据垂直关系算出直线 CE 的斜率,利用点斜式给出直线 AB 方程并整理,得 AB 方程为 3x+y+6=0.由 AD 方程与 AB 方程联解,可得 A(﹣3,3) ; (2)结合中点坐标公式解方程组算出 C(4,1) .最后用直线方程的两点式列式,整理即得直 线 AC 的方程. 【解答】解: (1)∵CE⊥AB,且直线 CE 的斜率为 ,∴直线 AB 的斜率为﹣3, ∴直线 AB 的方程为 y+3=﹣3(x+1) ,即 3x+y+6=0… 由 ,解得 ,∴A(﹣3,3)…

(2)设 D(a,b) ,可得 C(2a+1,2b+3) ∴ ,解之得

因此 D( ,﹣1) ,从而可得 C(4,1)… ∴直线 AC 的方程为: ,

化简整理,得 2x+7y﹣15=0,即为直线 AC 的方程…(14 分) 【点评】本题给出三角形的中线和高所在直线方程,求边 AC 所在直线的方程.着重考查了直 线的基本量与基本形式、直线的位置关系和中点坐标公式等知识,属于中档题. 18. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(2,﹣2) ,B(1,1)两点,且圆 心在直线 x﹣2y﹣2=0 上.

(1)求圆 C 的标准方程; (2) 过圆 C 内一点 P(1, ﹣1) 作两条相互垂直的弦 EF,GH,当 EF=GH 时, 求四边形 EGFH 的面积. (3)设直线 l 与圆 C 相交于 P,Q 两点,PQ=4,且△ POQ 的面积为 ,求直线 l 的方程. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】计算题;转化思想;直线与圆. 【分析】 (1)求出线段 AB 的垂直平分线的方程,与直线 x﹣2y﹣2=0 联立,求得圆心坐标, 再求出圆的半径,即可求圆 C 的标准方程; (2)C 到直线 EF,GH 的距离相等,设为 d,求出 d 后,进而求出 EF=GH,进而得到答案. (3)求出 PQ=4,分类讨论,利用坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ,即可求直线 l 的方程 【解答】解: (1)因为 A(2,﹣2) ,B(1,1) , 所以 kAB= =﹣3,AB 的中点为( ,﹣ ) ,

故线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+ = (x﹣ ) ,即 x﹣3y﹣3=0,…



,解得圆心坐标为(0,﹣1) .…

所以半径 r 满足 r2=12+(﹣1﹣1)2=5.… 故圆 C 的标准方程为 x2+(y+1)2=5.… (2)∵EF=GH, ∴C 到直线 EF,GH 的距离相等,设为 d 则 =1,即 d= … =3 … =9…



∴EF=GH=2

∴四边形 EGFH 的面积 S= ×

(3)设坐标原点 O 到直线 l 的距离为 h, 因为△ POQ 的面积 S= ∴h= . ①当直线 l 与 x 轴垂直时,由坐标原点 O 到直线 l 的距离为 知,直线 l 的方程为 x= 或 x= ﹣ , … 经验证,此时 PQ≠4,不适合题意; ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+b, 由坐标原点到直线 l 的距离为 h= = ,得 k2+1=25b2 (*) ,… = ,

又圆心到直线 l 的距离为 c= 即 k2+1=(1+b)2

,所以 PQ=2

=4,

(**) ,…(13 分)

由(*) , (**)解得

.…

综上所述,直线 l 的方程为 3x+4y﹣1=0 或 3x﹣4y+1=0.…(16 分) 【点评】本题考查直线和圆的方程的应用,考查点到直线的距离公式,考查分类讨论的数学 思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19. (16 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a,E 为棱 AB 上的一动点. (1)若 E 为棱 AB 的中点, ①求四棱锥 B1﹣BCDE 的体积 ②求证:面 B1DC⊥面 B1DE (2)若 BC1∥面 B1DE,求证:E 为棱 AB 的中点.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)①四棱锥 B1﹣BCDE 的底面为直角梯形 BEDC,棱锥的高为 B1B,代入体积公 式即可; ②面 B1DC∩面 B1DE=B1D,故只需在平面 B1DE 找到垂直于交线 B1D 的直线即可,由 DE=B1E= a 可易知所找直线为等腰△ EB1D 底边中线;

(2)辅助线同上,由中位线定理可得 OF∥DC,且 OF= DC,从而得出 OF∥EB,由 BC1∥ 面 B1DE 可得 EO∥B1C,故四边形 OEBF 是平行四边形,得出结论. 【解答】证明: (1)①∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1∴B1B 平面 BEDC, ∴V = ?S 梯形 BCDE?B1B= ? (a+ )?a?a= .

②取 B1D 的中点 O,设 BC1∩B1C=F,连接 OF, ∵O,F 分别是 B1D 与 B1C 的中点,∴OF∥DC,且 OF= DC, 又∵E 为 AB 中点,∴EB∥DC,且 EB= DC, ∴OF∥EB,OF=EB,即四边形 OEBF 是平行四边形,

∴OE∥BF, ∵DC⊥平面 BCC1B1,BC1?平面 BCC1B1, ∴BC1⊥DC,∴OE⊥DC. 又 BC1⊥B1C,∴OE⊥B1C, 又∵DC?平面 B1DC,B1C?平面 B1DC,DC∩B1C=C, ∴OE⊥平面 B1DC, 又∵OE?平面 B1DE, ∴平面 B1DC⊥面 B1DE. (2)同上可证得,OF∥DC,且 OF= DC, 又∵EB∥DC,∴OF∥EB, ∴E,B,F,O 四点共面. ∵BC1∥平面 B1DE,B1C?平面 EBFO,平面 EBFO∩平面 B1DE=OE, ∴EO∥B1C, ∴四边形 OEBF 是平行四边形,∴OF=EB= DC∴EB= AB, ∴E 为棱 AB 的中点.

【点评】本题考查了线面平行的性质,线面垂直的判定和几何体体积,根据判定定理作出辅 助线是解题的关键.

20. (16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 过点 M (1,

) ,

离心率 e=

,F1、F2 为椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设圆 T 的圆心 T(0,t)在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 两焦点.点 P 为椭圆 C 上的一 动点,PQ 与圆 T 相切于点 Q. ①当 Q(﹣ ,﹣ )时,求直线 PQ 的方程; ②当 PQ 取得最大值为 时,求圆 T 方程.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线和圆的方程的应用;椭圆的标准方程. 【专题】方程思想;待定系数法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程,解方程可得 a,b,进而得到椭圆方 程; (2)设圆 T 方程为 x2+(y﹣t)2=1+t2,①把 Q 的坐标代入圆的方程,解得 t,由切线的性质, 可得所求直线的斜率,进而得到 PQ 的方程; ②设 P(x0,y0) (﹣1≤y0≤1) ,运用勾股定理求得切线长,讨论 t 的范围,即可得到最大值, 进而得到圆的方程. 【解答】解: (1)∵e= = ∴b= =c, ) , ,即 a= c,

∵椭圆 C 过点 M(1, ∴ ∴a= + =1, ,b=1,

∴椭圆 C 的标准方程为 (2)圆 T 半径 r=

+y2=1; ,圆 T 方程为 x2+(y﹣t)2=1+t2,

∵PQ 与圆 T 相切于点 Q,∴QT⊥PQ, ①把 Q(﹣ ,﹣ )代入圆 T 方程,解得 t= , 求得 kQT=2, ∴直线 PQ 的方程为 y=﹣ x﹣ ; ②设 P(x0,y0) (﹣1≤y0≤1) , ∵QT⊥PQ, ∴PQ2=PT2﹣QT2=x02+(y0﹣t)2﹣(1+t2) , 又 +y02=1,∴PQ2=﹣(y0+1)2+(1+t2) ,

当 t≥1 时,且当 y0=﹣1 时,PQ2 的最大值为 2t,

则 2t=(

)2= ,解得 t= (舍) ,

当 0<t<1 时,且当 y0=t 时, PQ2 的最大值为 1+t2,则 t2+1= 解得 t= (合) 综上 t= ,圆 T 方程为 x2+(y﹣ )2= . 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和圆的位置关系,及圆的方程的求法,注意 圆的性质和勾股定理,考查分类讨论的思想方法,属于中档题.


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