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江西师大附中、鹰潭一中2013届高三数学(理)联考试卷


江西师大附中、鹰潭一中 2013 届高三数学(理)联考试卷
命题人:师大附中(廖涂凡、杨娟娜、汪保民)鹰潭一中(程新忠) 审题人:张延良、闻家君 2013.4 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的. 1 x ?1 1.已知集合 M ? {x | x2 ? 1 ? 0} , N ? {x |

? 2 ? 4, x ? Z } ,则 M ? N ? ( ) 2 A. {?1,0} B. {1} C. {?1,0,1} D. ? 2.在复平面内,复数 5 ? 4i, ?1 ? 2i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应 的复数的模是( ) A. 13 B. 13 C. 2 13 3.下列函数中既是偶函数,又是区间 (?1,0) 上的减函数的是( A. y ? cos x B. y ? ? x ? 1 C. y ? ln D. 2 10 ) D. y ? e x ? e ? x

2? x 2? x

? 2x , x ? 1 4.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f (log 2 7) =( ) ? f ( x ? 1), x ? 1 7 7 7 7 A. B. C. D. 16 8 4 2 5.一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 ..
( ) A. C.
(4 ? ? ) 3 3 (8 ? ? ) 3 3

B.

(8 ? ? ) 3 6

D. (4 ? ? ) 3

?0 ? x ? 8,0 ? y ? 7, ?0 ? x ? y ? 12, ? ? 6.已知实数 x , y 满足条件 ?10 x ? 6 y ? 72, 则使得目标函数 ?0 ? 2 x ? y ? 19, ? ? x, y ? Z ?

z ? 450x ? 350 y 取得最大值的 x, y 的值分别为(
A.0,12 B.12,0 C.8,4

) D.7,5

7. 函数 y ? sin(? x ? ?)(? ? 0) 的部分图象如右图所示,设 P 是图象的最 高点, A, B 是图象与 x 轴的交点,记 ?APB ? ? ,则 sin 2? 的值是( ) 16 63 16 16 A. B. C. ? D. ? 65 65 63 65 A

y

P x O B

1

8.下列命题中:①“ x ? y ”是“ x2 ? y 2 ”的充要条件; ②已知随机变量 X 服从正态分布 N (3,? 2 ) , P( X ? 6) ? 0.72 ,则 P( X ? 0) ? 0.28 ; ③若 n 组数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ???,( xn , yn ) 的散点图都在直线 y ? ?2x ?1上,则这 n 组数据的 相关系数为 r ? ?1 ; 1 1 1 x ④函数 f ( x ) ? ( ) ? x 的所有零点存在区间是 ( , ) .其中正确的个数是( ) 3 2 3 A.1 B.2 C.3 D.4 AB 的长为 x , f ( x) 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓 9. 如右图所示, 单位圆中弧 形(阴影部分)面积的 2 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象是( )

10.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A, B 在此抛物线上,且 ?AFB ? 90? ,弦 AB 的中点
M 在该抛物线准线上的射影为 M ' ,则

| MM ' | 的最大值为( | AB |
D.

)

A. 3

B.

3 2

C.1

2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.下图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与 输出的 y 值相等,则这样的 x 值有________个.

12.一个盒子里有 20 个大小形状相同的小球,其中 5 个红球,5 个黄球,10 个绿球,从盒 子中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是__________. ? 1 ? x 2 , ?1 ? x ? 0 1 5 ? 13.已知二项式 ( x ? 3 ) 展开式中的常数项为 p ,且函数 f ( x) ? ? ,则 p 2 x ? 3x ? ,0 ? x ? 1 10 ?

?

1

?1

f ( x)dx ? ___________.

2

nb ? ma .类比 n?m 上述结论,对于等比数列 {bn } (bn ? 0, n ? N * ) ,若 bm ? c, bn ? d (n ? m ? 2, m, n ? N * ) ,则可以得 到 bm ? n =____________.
14.已知数列 {an } 为等差数列,若 am ? a , an ? b (n ? m ? 1, m, n ? N * ) ,则 am ? n ? 三、 选做题: 请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做, 则按所做的第一题评阅计分, 本题共 5 分. 15.(1) (极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线 l 与圆 ? ? 4 相交 于 A, B 两点,若 | AB |? 4 ,则直线 l 的极坐标方程为____________. (2)(不等式选做题)不等式 | x ? 3| ? | x ? 1|? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范 围是____________. 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) ? ? ? ? ? 1 已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2. 2 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期 T 及单调减区间;

a (2)已知 a, c 分别为 ? ABC 内角 A, , 的对边, b, B C 其中 A 为锐角, ? 2 3 , c ? 4 ,且 f ( A) ? 1 . 求 A,b 的长和 ? ABC 的面积.

? 17.(本小题满分 12 分) 小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、 二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进 入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价 值分别为 1000 元,3000 元,6000 元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概 4 3 2 率依次为 , , ,且每个问题回答正确与否相互独立. 5 4 3 (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用 X 表示小王所获得奖品的价值,写出 X 的概率分布列,并求 X 的数学期望.

3

18.(本小题满分 12 分) 2 各项均为正数的数列 ?an ?前 n 项和为 S n ,且 4 S n ? an ? 2an ? 1, n ? N ? . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 已 知 公 比 为 q(q ? N ? ) 的 等 比 数 列 ?bn ? 满 足 b1 ? a1 , 且 存 在 m ? N ? 满 足

bm ? am , bm?1 ? am?3 ,求数列 ?bn ?的通项公式.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 2 AB , N 是 CC 1 的中点, M 是线段 AB1 上的 动点(与端点不重合) ,且 AM ? ?AB1 . (1)若 ? ?

1 ,求证: MN ? AA1 ; 2 (2)若直线 MN 与平面 ABN 所成角的大小为 ? ,求 sin? 的最大值.

20.(本小题满分 13 分) x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长是短轴长的两倍,焦距为 2 3 . a b (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M 、 N ,且直线 OM 、 MN 、 ON 的斜率依次 成等比数列,求△ OMN 面积的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? kx2 ( k ? R ). (1)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求 k 的值;

?x ? 0 (2) x?[0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的区域内,求 k 的取值范围; ?y ? x ? 0
(3)证明:

? 2i ? 1 ? ln( 2n ? 1) ? 2 , n ? N
i ?1

n

2

?.

江西师大附中、鹰潭一中 2013 届高三数学(理)联考
【参考答案】 一、选择题 1 2 A B 3 D 4 C 5 B
4

6 D

7 A

8 C

9 D

10 D

6.解析:易知 B,C 不在可行域,A,D 选项的 z 分别为 4200,4900,故选 D. 7.解析:①取 x ? ?2, y ?1 时,有 x2 ? y 2 但得不到 x ? y ,故不必要,错误; ②的正态分布的对称轴是 x ? 3 , P( X ? 0) ? P( X ? 6) ?1? P( X ? 6) ? 0.28 ,正确; ③斜率为负数表明负相关,得 r ? 0 ,由于数据均在直线上,故相关程度最强,为 r ? ?1 ,正确; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ④ f ( ) ? ( ) 3 ? ( ) 2 ? 0, f ( ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 0, 得 f ( ) ? f ( ) ? 0 ,且 f ( x) 单调,故正确. 3 2 3 3 3 2 3 2

T 3T 4 ? 1 , tan ?BPQ ? 4 ? 3 , 8.解析:过 P 作 PQ ? x 轴于 Q,则 tan ?APQ ? 1 2 1 2 2 tan ? 16 tan ?APQ ? tan ?BPQ ? . tan? ? tan(?APQ ? ?BPQ) ? ? 8 .则 sin 2? ? 2 1 ? tan ? 65 1 ? tan ?APQ tan ?BPQ ? 另解:由图可知, ? ? ,C、D 是负值根本不可能.则 2? ? ? ,故 sin 2? ? 0 ,故排除 B. 2 9.提示: f (x) ? x ? sin x, f '(x) ?1? cos x .
| MM ' | 2 1 | AF |2 ? | BF |2 | AB |2 2 ? 10.解析: | MM ' |? (| AF | ? | BF |) ? . ? ? | AB | ? | AB | 2 2 2 2 2 二、填空题 2 ? 11.3 12. 13. 2 ? 3 4
14.bm+n= n-m dn nb-ma ..解析: 观察{an}的性质: m+n= a ,则联想 nb-ma 对应等比数列{bn} cm n-m

n-m dn dn 中的 m,而{an}中除以(n-m)对应等比数列中开(n-m)次方,故 bm+n= . c cm 三、选做题 15.(1) ? cos? ? 2 3 . 解析:设极点为 O,由该圆的极坐标方程为 ρ=4,知该圆的半径为 4, 又直线 l 被该圆截得的弦长|AB|为 4,所以∠AOB=60° ,∴极点到直线 l 的距离为 d=4× cos30° =2 3,所以该直线的极坐标方程为 ? cos? ? 2 3 .

?-x?4<-?3, ? (2) a ? ?1 或 a ? 4 .解析:f(x)=|x+3|-|x-1|=?2x+?2-3≤x<?1,x? ?4>. ?

?1画出函数 f(x)的图

象,如图,可以看出函数 f(x)的最大值为 4,故只要 a2-3a≥4 即可,解得 a ? ?1 或 a ? 4 .

四、解答题 16.解析:(1) f ( x ) ? sin(2 x ?

) …………(2 分) 6 ? T ? ? , …………………………(4 分) ? 5? ]( k ? Z ) 单调递减区间是 [ k? ? , k? ? …………(6 分) 3 6

?

(2) f ( A) ? 1 ? A ?

?
3

; …………………………………………8 分)

sin C ?

c sin A ? ? ? 1 ? C ? ? B ? ? b ? 2 …………(10 分) a 2 6
5

1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 . ………………………………(12 分) 2 17.解析:(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为 P1, 2 ?4? ?1+3×1?= 7 . 则 P1=?5? ?4 4 4? …………(4 分) 25 1 4 1 9 (2)X 的取值为 0,1000,3000, 6000,则 P(X=0)= + × = , 5 5 5 25 2 2 2 2 2 4? ?1 3 1? 7 4 3 7 1 2 2 1 P(X=1000)=?5? ?4+4× ?= , P(X=3000)=?5? ?4? ?1-?3? -C2?3? × ?= , 4 25 ? ? 3? 75 ? ? ?? ?? ? ? 2 2 2 2 1 4 3 4 P(X=6000)=?5? ?4? ??3?2+C1?3?2× ?= , 2 ? ? 3? 15 ? ? ? ? ?? ? ∴X 的概率分布列为 S ?ABC ?
X P 0 9 25 1000 7 25 3000 7 75 6000 4 15

…………………(10 分)(错一列扣 2 分,扣完为止)

9 7 7 4 ∴X 的数学期望 EX=0× +1000× +3000× +6000× =2160. ……(12 分) 25 25 75 15
2 2 18.解析:(1)? 4 S n ? an ? 2an ? 1 ,? 4 S n ?1 ? an ?1 ? 2an ?1 ? 1
2 2 两式相减得: 4an ?1 ? an ?1 ? an ? 2an ?1 ? 2an ,…………………………………(2 分)

??an ?为首项为 1,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n ?1………………………(6 分)
n ?1 (2) bn ? q ,依题意得 ?

即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0 ?an?1 ? an ? 2 ,………………………………(4 分)

?q m ?1 ? 2m ? 1 2m ? 5 6 ? ,相除得 q ? ? 1? ? N ? ……(8 分) 2m ?1 2m ?1 ?q m ? 2 m ? 5 ?

?2m ?1 ? 1或2m ?1 ? 3,代入上式得 q=3 或 q=7,…………………………………(10 分)
? bn ? 7 n ?1 或 bn ? 3n ?1 .…………………………………………………………………(12 分)
19.解析:如图,建立空间直角系,则

1 3 B1 (1,0,2), M (? ,0,2? ), B(1,0,0), N ( , ,1), A1 (0,0,2) …(1 分) 2 2 ???? ???? ? 1 1 3 (1)当 ? ? 时, M ( ,0,1) ,此时 MN ? (0, ,0) , AA ? (0,0,2) ,…(3 分) 1 2 2 2? ???? ???? 因为 MN ? AA ? 0 ,所以 MN ? AA1 .………………(5 分) 1
(2)设平面 ABN 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ?

?n ? AB ? 0 ? ?n ? AN ? 0 ?



?x ? 0 1 3 ? 即? 3 ,取 n ? (0,2, 3 ) 。而 MN ? ( ? ? , ,1 ? 2? ) ,………………(7 分) 2 2 y?z ?0 ? ? 2
? sin ? ? cos? MN , n? ?
2 3? 7 ? 5? ? 5? ? 2
2

?

2 3 ?1? ?1? 7 ? 5 ? 5? ? ? 2? ? ??? ???
2

………………(9

分)

6

?0 ? ? ? 1 ,?

1

?

? 1,故 sin ? ?

2 3 ?1? ?1? 7 ? 5 ? 5? ? ? 2? ? ??? ???
2

?

4 6 105

?

4 630 ………(11 分) 105

当且仅当

1

?

?

5 4 ,即 ? ? 时,等号成立. …………………………………………(12 分) 4 5

? 2a ? 2 ? 2b ? ?a ? 2 x2 3 ? c ? ? ? y 2 ? 1 ? (4 分) 20.解析:(1)由已知得 ? ∴ C 方程: ? b ?1 4 ? ? 2a 2 2 2 c ? a ?b ? ? (2)由题意可设直线 l 的方程为: y ? kx ? m (k ? 0, m ? 0) ? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y 并整理,得: (1? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ?1) ? 0 2 ? ? y ?1 ?4 则△ ? 64k 2m2 ?16(1? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(4k 2 ? m2 ?1) ? 0 , 8km 4(m 2 ? 1) , x1 x2 ? 此时设 M ( x1, y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ∴ x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 2 于是 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ………………(7 分) 又直线 OM 、 MN 、 ON 的斜率依次成等比数列, y y k 2 x1 x1 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 8k 2 m 2 ? k2 ? ? ? m2 ? 0 ∴ 1? 2 ? x1 x2 x1 x2 1 ? 4k 2 1 1 ? k ? ? .又由△ ? 0 得: 0 ? m2 ? 2 由 m ? 0 得: k 2 ? 4 2 2 显然 m ? 1 (否则: x1 x2 ? 0 ,则 x1 , x2 中至少有一个为 0,直线 OM 、 ON 中至少有
一个斜率不存在,矛盾! ) ……………………………(10 分) 设原点 O 到直线 l 的距离为 d ,则 m 1 1 1 S? OMN ? MN d ? ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? m ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ?(m2 ? 1)2 ? 1 2 2 1? k 2 2 故由 m 得取值范围可得△ OMN 面积的取值范围为 (0,1) …………(13 分)

1 1 ? 2kx ,由 f ' (1) ? 0得k ? ? 经检验符合题意……(3 分) 1? x 4 (2) 依 题 意 知 , 不 等 式 x ? ln(x ?1) ? kx2 ? 0 在 x ? ?0,?? ? 恒 成 立 . 令 g( x) ? x ? ln(x ?1) ? kx2 ,
21.解析:(1) f ( x) ?
'

当 k≤0 时,取 x=1,有 g (1) ? 1 ? ln 2 ? k ? 0 ,故 k≤0 不合.…………………………(4 分) x ? x[2kx ? 1 ? 2k ] 当 k>0 时, g′(x)= -2kx= . x+1 x ?1 1-2k 令 g′(x)=0,得 x1=0,x2= >-1. ……………………………(5 分) 2k 1-2k 1 ①当 k≥ 时, ≤0,g′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,因此 g(x)在[0,+∞)上单调递减, 2 2k 1 从而对任意的 x∈[0,+∞),总有 g(x)≤g(0)=0,故 k≥ 符合题意.…………(6 分) 2

7

1-2k 1-2k? 1 ②当 0<k< 时, >0, 对于 x∈?0, ,g′(x)>0, 2 2k 2k ? ? 1-2k? 1-2k? 故 g(x)在?0, 内单调递增,因此当取 x0∈?0, 时,g(x0)>g(0)=0,不合. 2k ? 2k ? ? ? 1 综上, k ? . …………………………(8 分) 2 (3)证明:当 n=1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立.……………(9 分)

x 1 当 n≥2 时,在(2)中取 k= ,得 x ? ln( x ? 1) ? ……………(10 分) 2 2
2 2 2 2 2 取 x= 代入上式得: -ln(1+ )≤ < ………(12 分) 2i-1 2i-1 2i-1 2?i-?12 (2i ? 3)(2i ? 1)
n n 2 ?? 2 ? 2 ? ? ?2i-1-ln?1+2i-1??≤2-ln3+ ? ? ? i=1 i=2 (2i ? 3)(2i ? 1)

2

-ln(2n+1)≤2-ln3+1- <2. ? 2n-1 i=1 2i-1 综上, ?
i=1 n

n

2

1

2 -ln(2n+1)<2, n ? N ? 2i-1

……………………………… (14 分)

8


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