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正弦定理余弦定理应用二学案


正弦定理余弦定理应用举例(二) 编制人 :向爱梅 审核人:牛晓蕾 学习目标: 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量角度的实际问题‘能够熟 练计算三角形面积及证明三级爱哦恒等式;了解常用的测量相关术语,把一些简单的实 际问题转化为数学问题,培养数学应用意识; 2. 通过独立思考,合作探究,学会运用正弦定理、余弦定理解决一些与测量角度有关的问 题。 3. 应用

解三角形有关的知识解决实际问题,体会数学建模的基本思想,能够从阅读理解、 信息迁移、 数学化方法、 创造性思维等方面多角度培养学生分析问题和解决问题的能力。 通过解决现实生活中行行色色的问题,培养学生热爱生活、热爱自然的高尚情怀,激发 学生学生学习数学的兴趣。 重点: (1)综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题; (2)求三角形面积及证明三角恒等式 难点: (1)根据提议建立数学模型,画出示意图; (2)三角恒等式的证明 预习案 一、 相关知识 1. 利用正弦定理课解决两类三角形问题: (1)__________(2)________ 2. 利用余弦定理也解决两类解三角形问题: (1)_________(2)__________ 3. 如何利用正弦定理解决测量距离问题? 4. 如何利用正(余)弦定理解决测量高度问题? 二、教材助读 1. △ ABC 中 , BC=a,AB=c,AC=b, 若 已 知 两 边 及 其 夹 角 , 则 S ? ABC =__________=______=___________用文字叙述为:三角形的面积等于 _________ 与其__________的积的一半。 2. 阅读教材例 6,回答下列问题: (1) 本题给出哪些已知条件? (2) 本题所要求的结论是什么? (3) 在△ABC 中如何求 AC?如何求∠CAB? 三、预习自测 1. 已知两座灯塔 A 和 B 到海洋观察站 C 的 距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A 北偏东 10° B 北偏西 10° C 南偏东 10° D 南偏西 10° 2. 在△ABC 中,A=60°,AB=2,AC=1,则 S ? ABC =_________ 探究案 导入新课 在航海中, 经常遇到轮船遇险需要救援的问题, 你能算出救援船如何以最佳的角度赶到出 事地点吗? 在一些三角形中常遇到根据已知的边角求三角形的面积问题, 判断三角形的形状问题, 以 及证明三角形中的恒等式问题。 你能迅速给出正确的解答吗?

今天我们就利用所学习的正弦定理、余弦定理对以上问题进行研究。 一 学始于疑——我思考,我收获 1.什么是方位角? 2.三角形的面积公式如何推导?有哪些变形? 二、质疑探究 (一)基础知识探究 探究点 方位角与三角形的 面积公式 问题 1:什么是方位角? 问题 2:三角形的面积公式如何推导?我们学过的常见的三角形面积公式有哪些?

归纳总结 1. 在解决航海类实际应用题时,常用到______的概念 2. S ? ABC =___________=_________=____________ (二)知识综合应用探究 探究点一 解决有关测量角度问题 例 1 太湖中有一小岛 C,沿太湖有一条南北方向的公路,一辆汽车在 A 处测得小岛在 南偏西 15°的方向上,汽车行驶 1km 后到达 B,测得小岛在南偏西 75°的方向上,则小 岛离公路的距离是多少? 探究点二 解决有关三角形的面积问题(重点) 例 2 在△ABC 中已知 A=30°,C=45°,a=2cm,求 S ? ABC 拓展提升 半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA-2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为 一边作等边三角形 ABC,问点 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大? 思考 1:四边形 OACB 的面积受哪些因素的影响,如何设元来建立一个面积函数? 思考 2:怎样求 S ? ABC ? 思考 3:要求 S ? ABC ,应先求什么?如何求? Ⅲ 我的知识网络图 ——归纳总结,串联整合 Ⅳ 当堂检测 1. 在某次测量中,设点 A 在点 B 的南偏东 34°27′,则点 B 在点 A 的( ) A 北偏西 34°27 ′ B 北偏东 55°33′ C 北偏西 55°33′ D 南偏西 55°33′ 2. 在△ABC 中,A=60°,AB=2,S ? ABC =

3 ,则 AC=________ 2

训练案 一、 基础巩固题——把简单的事做好就叫不简单! 1. 在△ABC 中,若 a=7,b=3,c=8,则△ABC 的面积等于( ) A 12 B

21 2

C

28

D 6 3

2. △ABC 中,若△ABC 中 A 直角三角形

a b c ? ? ,则三角形是( ) cos A cos B cos C
C 钝角三角形 D 等腰直角三角形

B 等边三角形

3.某人从 A 地出发,沿北偏东 60°方向行走 3 3 km 到 B 处,再沿正东方向走 2km 到 C 处,则 A,C 两地的距离是_______km 二、综合应用题------挑战高手,我能行! 4. △ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 的对边,且 cos2B+cosB+cos(A-C)=1 A b =ac
2

B 2b=a+c

C c =ba

2

D 2c=b+a

5.一船以 15km/h 的速度向东航行,船在 A 处看到一灯塔 M 在被偏东 60°方向,行驶 4h 后, 船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为________km. 6. △ABC 中,A=60°,b=1, S? ABC = 3 ,则

a?c 的值为__________ sin A ? sin C

三、拓展探究题——战胜自我,成就自我! 7. △ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长


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