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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编:平面向量的平行与垂直(教师版)


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编:平面向量的平行与垂直
一、选择题 1 .(江西省上高二中 2012 届高三第五次月考(数学理))已知 A(2,-2)、B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)

??

且 p / / AB ,则 k 的值为 A. ?

? ?

??? ?





9 10

B. D.

9 10

C. ?

19 10

D.

19 10

【答案】 2

.( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

? ? ? ? ? ? a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? ( k , 3), 若a ? 2b与c垂直, 则k ?
A.—3
【答案】A

( D.-l



B.—2

C.l

( ) c c c 【解析】 因为 a ? 2b与c 垂直,所以有 a ? 2b ? =0 ,即 a ? ? 2b? =0 ,所以 3k ? 3 ? 2 3 ? 0 ,解得

?

? ?

?

? ?

? ?

??

k ? ?3 ,选 A.
3 (山东省莱芜五中 2013 届高三 4 月模拟数学 . (理) 试题) 已知向量 m ? (? x ? 1, 2), n ? (3, 2 y ? 1), 若 m ? n ,

??

?

??

?

则8 ? (
x

1 y ) 的最小值为 16
B.4 C. 2 2 D. 4 2





A.2
【答案】C

4 .(2013 辽宁高考数学(文))已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB 同方向的单位向量为

??? ?





A. ? ,- ?
【答案】A

?3 ?5

4? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

??? ? ??? ? ? 3 4 1 ??? AB ? (3, ?4) ,所以 | AB |? 5 ,这样同方向的单位向量是 AB ? ( , ? ) 5 5 5 ??? ???? ???? ???? ? 5 .在四边形 ABCD 中, AB ? DC , 且 AC ?AD ? 0 ,则四边形 ABCD 是
A.矩形
【答案】B 6 . ?ABC 的重心 G 作一直线分别交 AB 、AC 于 D 、E ,若 AD ? 过





B.菱形

C.直角梯形

D.等腰梯形

1 1 x AB, AE ? y AC, xy ? 0 ,则 ? 的 x y
( )

值为 A.1
【答案】

B.2 C.3 C.错误人数 40/94
2 3 1 3 1 1 3 x

D.4
1 1 1 AE) ? AD ? AE ,由点 D, G, E 共线可 y 3x 3y

提示:设 BC 的中点为 F , AG ? AF ? ( AB ? AC) ? ( AD ?



1 1 1 1 ? ?1? ? ? 3 3x 3 y x y

7 . 山东省滨州市 2013 届高三第一次 月) ( (3 模拟考试数学 (理) 试题) 已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x, 6) ,且 a ∥ b ,

则 x 的值为 A.1

( B.2 C.3 D.4 (



【答案】C 因为 a ∥ b ,所以 1? 6 ? 2 x ? 0 ,解得 x ? 3 ,选 C. 8 .(2013 陕西高考数学(文))已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于



A. ? 2
【答案】

B. 2

C. ? 2 或 2

D.0

C 解:? a ? (1, m), b ? (m,2), 且a // b,?1 ? 2 ? m ? m ? m ? ? 2 . ,所以选 C

9 . (2012 年 广 西 北 海 市 高 中 毕 业 班 第 一 次 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 及 答 案 ) 给 定 两 个 向 量

a ? (3,4) , b ? (2,1) ,若 (a ? xb) //(a ? b) ,则 x 的值等于
A.

( D. ?



3 2

B. ? 1

C. 1

3 2
( )

【答案】A. 10.(2013 辽宁高考数学(理))已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为

??? ?

A. ? ,- ?
【答案】

?3 ?5

4? 5?
??? ?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?
??? ?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

? 3 4 1 ??? AB ? ( , ? ) 5 5 5 ? ? ? ? a b 11. (2012 年高考(四川理))设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? 成立的充分条件是 |a| |b|
A 解: AB ? (3, ?4) ,所以 | AB |? 5 ,这样同方向的单位向量是 ( )

? ? A. a ? ?b
【答案】

? ? B. a // b

? ? C. a ? 2b

? ? ? ? D. a // b 且 | a |?| b |

[答案]D D.

? ? a b [解析]若使 ? ? ? 成立,则 a与b方向相同, 选项中只有 D 能保证,故选 |a| |b|

[点评]本题考查的是向量相等条件 ? 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其 模为 0 且方向任意. 12. (山东省菏泽市 2013 届高三 5 月份模拟考试数学(理)试题)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若 ? 为实数,且 (b ? ? a) ? c ,则 ? = A. ? ( C. )

3 11

B. ?

11 3

1 2

D.

3 5

【答案】A

13.(2011 年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷)若向量 a ? ? 2, 0 ? , b ? ?1,1? ,则下列结论正确的是

?

?





? ? A. a ? b ? 1
【 答 案 】

? ? B. a ? b

? ? ? C. a ? b ? b

?

?

? ? D. a // b
? ? ? 2 , 则 a ? b ,B 不 正

【 解 】 a ? b ? 2 ,A 不 正 确 ; a ? 2 , b ?

? ?
?

?

确 ; a ? b ? ?1, ?1? , a ? b ? b ? ?1, ?1? ? ?1,1? ? 0 , 所 以 a ? b ? b ,C 正 确 ; 不 存 在 实 数 ? , 使

?

?

?? ?

?

?? ?

?

?

? ? a ? ?b ,D 不正确.故选

C.

14. (山东省莱钢高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 ) 已知向量 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? ,若向量 a ? kb

与 a ? b 垂直,则 k 的值为 A.

( C. ?



23 3

B.7

11 5
?

D. ?

23 3

【答案】A 15 . (2013 大纲版高考数学(理))已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? =

??

?

??

?

? ?

?? ?


?



A. ?4

【答案】B. m ? n ? m ? n ?| m | ? | n | ? 0 ? (? ? 1) ? 1 ? [(? ? 2) ? 4] ? ? ? ?3
2 2 2 2

?

?? ?

B. ?3

? ?

?? ?

?

??

?

C. ?2

D. -1

16. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 OB ? a5 OA ? a6 OC ( O 为坐标原点),且 A, B, C 三点共线(该

??? ?

??? ?

????

直线不过点 O ),则 S10 等于 A.4
【答案】

( C.6 D.10



B.5

B.提示:依题意有 a5 ? a6 ? 1 ,故 S10 ?

(a1 ? a10 ) ? 10 ? 5(a5 ? a6 ) ? 5 2

17. (山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学 (理) 试题) 设向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (3sin ? ,1) ,

且 a // b ,则 cos 2? 等于 A. ?





? 3

B

? . 3 ?

C

? .3

D

? .3

【答案】D 二、填空题 18 . 山 东 省 2013 届 高 三 高 考 模 拟 卷 ( 一 ) 理 科 数 学 ) 已 知 向 量 a ? ( 2,3) , b ? (1,2) , 且 a, b 满 足 (

(a ? ? b) ? (a ? b) ,则实数 ? ? _______.
【答案】

?

5 【 解 析 】 由 a ? ( 2,3) , b ? (1,2) , 得 a ? ? b ? (2 ? ? ,3 ? 2? ) , a ? b ? (1,1) , 因 为 3

5 (a ? ? b) ? (a ? b) ,所以 (a ? ? b) ? (a ? b) ? 0 ,即 (2 ? ? ) ?1 ? (3 ? 2? ) ?1 ? 0 ,解得 ? ? ? . 3 ? ? ? ? 19. (山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题)已知向量 a ? ? ?1,1? , b ? ? 2, k ? ,且 a / / b ,
则实数 k ? ____________
【答案】 ?2

【解析】因为 a / / b ,所以 ? k ? 1? 2 ? 0 ,解得 k ? ?2 .

?

?

20.(2013 山东高考数学(文))在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? ( ?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90 ,
o

??? ?

??? ?

则实数 t 的值为______
【答案】答案:

??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? t 2) 5 . 解 析 :∵ OA ? ( ? 1 ,) , OB ? (2 , ,∴ AB ? OB ? OA ? (2 , 2)
, 又 ∵

?(? 1 , t ) ? (3 , 2 ? t )

?ABO ? 90 ,∴ AB ? OB ,∴
?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? AB ? OB ? 2 ? 3 ? 2 ? (2 ? t ) ? 0 ,解得 t ? 5 .
? ?

21 . (2012 年 石 景 山 区 高 三 数 学 一 模 理 科 ) 设 向 量 a ? (cos? ,1), b ? (1,3 cos? ) , 且

? ? a // b , 则

cos2? =________. 1 【答案】 ? 3
?

22.(2012 年高考(安徽文))设向量 a ? (1, 2m), b ? (m ? 1,1), c ? (2, m) ,若 (a ? c) ⊥ b ,则 a ? _____ .

?

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? 1 a ? c ? (3,3m),(a ? c)? ? 3(m ? 1) ? 3m ? 0 ? m ? ? ? a ? 2 b 2 ??? ? ??? ? 23. 已知 O 是坐标原点, A, B 是坐标平面上的两点,且向量 OA ? (?1, 2) , OB ? (3, m) .若△ AOB 是直角三
【答案】 【解析】 a ?

2

角形,则 m ? _________.
【答案】

3 或4; 2
?

24.(2013 上海春季数学(理))已知向量 a 【答案】

? ? ? k ? (1, ) , b ? (9, ? 6) .若 a // b ,则实数 k ? __________ k

?

3 4

25.(山西省实验中学仿真演练试卷理) e1 、e2 是互相垂直的两个单位向量,且向量 2e1 ? e2 与 e1 ? ke2 也相

??

?? ?

?? ?? ?

??

?? ?

互垂直,则 k ? _____________.
【答案】 2 三、解答题 26.四边形 ABCD 中, AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? (?2,?3)

(1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ? BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积.

D

C

A

B

【答案】解: BC ? ( x, y )

DA ? ? AD ? ?( AB ? BC ? CD) ? ?( x ? 4, y ? 2) ? (? x ? 4,? y ? 2)

(1)? BC // DA 化简得: x ? 2 y ? 0

则有 x ? (? y ? 2) ? y ? (? x ? 4) ? 0

(2) AC ? AB ? BC ? ( x ? 6, y ? 1)

BD ? BC ? CD ? ( x ? 2, y ? 3)
又 AC ? BD
2 2

则 ( x ? 6) ? ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? ( y ? 3) ? 0

化简有: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 15 ? 0 联立 ?

?x ? 2 y ? 0 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 15 ? 0 ? x ? ?6 ? y?3
或?

解得 ?

?x?2 ? y ? ?1

? BC // DA AC ? BD 则四边形 ABCD 为对角线互相垂直的梯形
当?

? x ? ?6 ? y?3

AC ? (0,4) BD ? (?8,0)

此时 S ABCD ? 当?

1 ? AC ? BD ? 16 2
AC ? (8,0) BD ? (0,?4)

?x?2 ? y ? ?1

此时 S ABCD ?

1 ? AC ? BD ? 16 2

27.已知向量 a = (1,2) , b = (?3,2) .

⑴求 | a ? b | 与 | a ? b | ; ⑵ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直? ⑶ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向?

【答案】因为 a ? (1,2), b ? (?3,2) 所以 | a | ? 5 , | b |? 13 , a ? b ? 1 ,
2

(1) | a ? b |?

a ? 2a ? b ? b ? 2 5 , | a ? b |? a ? 2a ? b ? b ? 4 ;
2

2

2

2

2

(2)当向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直时,则有 (k a ? b) ? (a ? 3b) ? 0 , k a ? (3k ? 1)a ? b ? 3b ? 0 ,即

5k ? (3k ? 1) ? 39 ? 0 解得 k ? ?5 所以当 k ? ?5 时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直;
(3)当向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行时,则存在 ? 使 k a ? b ? ? (a ? 3b) 成立,于是 ?

?k ? ? 1 解得 k ? ,当 3 ?3? ? 1

k?

1 1 1 1 时, k a ? b ? a ? b ? (a ? 3b) ,所以 k ? 时向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行且它们同向. 3 3 3 3


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