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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:空间点、直线、平面之间的位置关系


空间点、直线、平面之间的位置关系
(时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身 1.平面 α∩β=l,直线 m?α ,直线 n?β ,则 m,n 的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.无法确定 2.[2013· 济南一模] 平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的 条数为( ) A.3 B .4 C .5

D.6 3.下列说法正确的是( ) A.若 a?α ,b?β ,则 a 与 b 是异面直线 B.若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面 C.若 a,b 不同在平面 α 内,则 a 与 b 异面 D.若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面 4.[2013· 四川卷] l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3 ? l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面

能力提升 5.下列命题:(1)公理 1 可结合符号叙述为:若 A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α,则必有 l∈α; (2)四边形的两条对角线必相交于一点; (3)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作 为平面的边界线; (4)梯形是平面图形. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B .2 C .3 D.4 6.[2013· 济宁一模] 已知空间中有三条线段 AB,BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD,那么直 线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A.AB∥CD B.AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 7.在空间四边形 ABCD 中,M,N 分别是 AB,CD 的中点,设 BC+AD=2a,则 MN 与 a 的大小关系是( ) A.MN>a B.MN=a C.MN<a D.不能确定 8.[2013· 太原二模] 已知 a,b,c,d 是空间四条直线,如果 a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d, 那么( )

A.a∥b 且 c∥d B.a,b,c,d 中任意两条可能都不平行 C.a∥b 或 c∥d D.a,b,c,d 中至多有一对直线互相平行 9.已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 α∩β=c,那么直线 c 一定( ) A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 10.在空间,与边长均为 3 cm 的△ABC 的三个顶点距离均为 1 cm 的平面共有________. 11.[2013· 杭州一模] 已知 a,b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a,b 在 α 上的 射影可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外 一点,则在上面的结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号). 12.在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点,这些几何 体是________.(写出所有正确结论的编号) ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三 角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. 13. 一个正方体纸盒展开后如图 K39-1 所示, 在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°;③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正 确命题的序号是________.

图 K39-1 14.(10 分)如图 K39-2,已知平面 α,β,且 α∩β=l.设梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AB ?α ,CD?β .求证:AB,CD,l 共点(相交于一点).

图 K39-2

15.(13 分)已知平面 α,β,γ 两两相交于直线 l1,l2,l3,且 l1 与 l2 相交于点 P,求证:l1, l2,l3 三线共点.

难点突破 16.(12 分)[2013· 成都一模] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E,F 分别为 AB,AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小.

【基础热身】 1.D [解析] 如图,可知三种关系都有可能.

2.C [解析] 如图,与 AB 共面也与 CC1 共面的棱有 CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共 5 条.

3.D [解析] 由异面直线的定义可知选 D. 4.B [解析] 对于 A,直线 l1 与 l3 可能异面;对于 C,直线 l1,l2,l3 构成三棱柱三条侧 棱所在直线时不共面;对于 D,直线 l1,l2,l3 相交于同一个点时不一定共面. 所以选 B. 【能力提升】 5.A [解析] 对于(1)注意到直线是点集,平面也是点集,当直线在平面上时,直线是平 面的真子集,应表示为 l?α ,而不应表示成 l∈α,所以(1)不正确; 对于(2),当四边形是平面图形时,两条对角线必相交于一点,当四边形的四个顶点不共 面时,两条对角线是不能相交的,所以(2)不正确; 对于(3),平面是可以无限延伸的,用平行四边形表示的平面同样是无限延伸的,平行四 边形的边并不表示平面的边界,所以(3)不正确; 对于(4),梯形的两底是两条平行线,它们可唯一确定一个平面,由于腰的两个端点均在 该平面上,故腰也在这个平面上,即梯形的四边共面,所以梯形是平面图形,所以(4)正确. 6.D [解析] 若三条线段共面,如果 AB,BC,CD 构成等腰三角形,则直线 AB 与 CD 相交,否则直线 AB∥CD;若不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直线,故选 D. 1 1 7.C [解析] 取 AC 中点 E,则 ME∥BC,且 ME= BC, NE∥AD,且 NE= AD,∴BC 2 2 +AD=2(ME+NE)=2a,在△MNE 中,MN<ME+NE=a.故选 C. 8. C [解析] 若 a 与 b 不平行, 则存在平面 β, 使得 a∥β 且 b∥β, 由 a⊥c, b⊥c, 知 c⊥β, 同理 d⊥β,所以 c∥d.若 a∥b,则 c 与 d 可能平行,也可能不平行.结合各选项知选 C. 9.C [解析] 若 c 与 a,b 都不相交,则 c 与 a,b 都平行.根据公理 4,则 a∥b,与 a, b 异面矛盾. 10.8 个 [解析] 适合条件的平面分两类:第一类,点 A,B,C 在平面的同侧,有 2 个; 第二类,点 A,B,C 在平面的异侧(平面过△ABC 的中位线),有 6 个,共有 8 个. 11.①②④ [解析] ①、②、④对应的情况如下: 用反证法证明③不可能.

12.①③④⑤ [解析] 分两种情况:4 个顶点共面时,几何体一定是矩形;4 个顶点不共 面时,③④⑤都有可能. 13.①③ [解析] 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示,则 AB⊥EF, EF 与 MN 为异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.

14.证明:∵梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∴AB,CD 是梯形 ABCD 的两腰, ∴AB,CD 必定相交于一点. 设 AB∩CD=M, 又∵AB?α ,CD?β ,∴M∈α,且 M∈β, ∴M∈α ∩β . 又∵α∩β=l,∴M∈l, 即 AB,CD,l 共点. 15.证明:如图所示,

∵l1∩l2=P, ∴P∈l1 且 P∈l2. 又 α∩γ=l1,∴l1?γ ,∴P∈γ. 又 α∩β=l2, ∴l2?β ,∴P∈β. ∵β ∩γ =l3,∴P∈l3. ∴l1,l2,l3 共点于点 P. 【难点突破】 16.解:(1)如图所示,连接 AB1,B1C,由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,易知 A1D∥B1C, 从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. ∵AB1=AC=B1C,∴∠B1CA=60°. 即 A1D 与 AC 所成的角为 60°.

(2)如图所示,连接 AC,BD.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AC⊥BD,AC∥A1C1,∵E,F 分别为 AB,AD 的中点, ∴EF∥BD,∴EF⊥AC,∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°.


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