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2.2.1用样本的频率分布估计总体分布


§ 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 学习目标 (1) 通过实例体会分布的意义和作用。 (2)在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率 折线图和茎叶图。 (3)通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰 当地选择上述方法分析样本的分布,准确地做出总体估计。 重点难点 重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布 学法指导 通过对现实生活的探究, 感知应用数学知识解决问题的方法,理解数形结合 的数学思想和逻辑推理的数学方法。 知识链接 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样常用方法及其操作步骤。 问题探究 一、情景设置: 在NBA的 2004 赛季中,甲、乙两 名篮球运动员每场比赛得分的原始记 录如下﹕ 甲运动员得分﹕12,15,20,25, 31, 31, 36 , 36,37,39, 44 , 49 , 50 乙运动员得分﹕ 8 ,13 ,14 ,16 , 23, 26, 28 , 38,39,51, 31 , 29 , 33 请问从上面的数据中你能否看出 甲,乙两名运动员哪一位发挥比较稳 定? 如何根据这些数据作出正确的判 断呢?这就是我们这堂课要研究、学 习的主要内容——用样本的频率分布 估计总体分布。 二、探究新知: 知识探究(一) :频率分布表 问题:我国是世界上严重缺水的国家 之一,城市缺水问题较为突出,某市 政府为了节约生活用水,计划在本市 试行居民生活用水定额管理,即确定 一个居民月用水量标准 a, 用水量不超 过 a 的部分按平价收费, 超出 a 的部分
1

按议价收费.通过抽样调查,获得 100 位居民 2007 年的月均用水量如下表 (单位:t) : 分 组 频数累计 频数 频率

[0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5] 合计

3.1 2.5 2.0 3.4 2.6 2.2 3.2 2.7 2.3

2.0 2.2 2.1

1.5 1.0 1.6 1.8

1.9

1.6 0.4 3.8

1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5

3.3 2.8 2.3 3.2 2.9 2.4 3.0 2.9 2.4 2.5 2.8 2.3 2.6 2.7 2.4 2.5 2.6 2.3 2.8 2.5 2.2

2.2 2.3 2.4 2.3 2.1 2.1 2.0

1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6

4.1 4.3 2.0 2.3 2.4 2.4 2.2

这里体现了一种什么统计思想? 思考 6: 如果市政府希望 85%左右的居 民每月的用水量不超过标准,根据上 述频率分布表,你对制定居民月用水 量标准(即 a 的取值)有何建议? 思考 7:在实际中,取 a=3t 一定能保 证 85%以上的居民用水不超标吗?哪 些环节可能会导致结论出现偏差? 思考 8:对样本数据进行分组,其组数 是由哪些因素确定的? 思考 9:当样本容量不超过 100 时,按 照数据的多少,常分成 5~12 组.若以 0.1 或 1.5 为组距对上述 100 个样本数 据分组合适吗? 思考 10:一般地,列出一组样本数据 的频率分布表可以分 哪几个步骤进 行?

思考 1: 上述 100 个数据中的最大值和 最小值分别是什么?由此说明样本数 据的变化范围是什么? 思考 2: 样本数据中的最大值和最小值 的差称为极差.如果将上述 100 个数据 按组距为 0.5 进行分组, 那么这些数据 共分为多少组? 思考 3:以组距为 0.5 进行分组,上述 100 个数据共分为 9 组, 各组数据的取 值范围可以如何设定? 思考 4: 如何统计上述 100 个数据在各 组中的频数?如何计算样本数据在各 组中的频率?你能将这些数据用表格 反映出来吗?

知识探究(二) :频率分布直方图 为了直观反映样本数据在各组中 的分布情况,我们将上述频率分布表 中的有关信息用下面的频率分布直方 图(参考课本 67 页图 2.2-1)表示。 思考 1: 频率分布直方图中各小长方形 的和高度在数量上有何特点? 思考 2: 频率分布直方图中各小长方形 的面积表示什么?各小长方形的面积
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思考 5: 上表称为样本数据的频率分布 表,由此可以推测该市全体居民月均 用水量分布的大致情况,给市政府确 定居民月用水量标准提供参考依据,

之和为多少? 思考 3: 频率分布直方图非常直观地表 明了样本数据的分布情况,使我们能 够看到频率分布表中看不太清楚的数 据模式,但原始数据不能在图中表示 出来.你能根据上述频率分布直方图指 出 居 民月均用水量的 一些数据特点 吗?

思考 4: 样本数据的频率分布直方图是 根据频率分布表画出来的,一般地, 频率分布直方图的作图步骤如何? 探究(三) :频率分布折线图与总体密 度曲线 思考 1: 在城市居民月均用水量样本数 据的频率分布直方图中,各组数据的 平均值大致是哪些数? 思考 2:在频率分布直方图中,依次连 接各小长方形上端的中点,就得到一 条折线,这条折线称为频率分布折线 图 . 你认为频率分布折线图能大致反 映样本数据的频率分布吗?(参考课本 69 页图 2.2-2,并在学案上画出此图)

思考 5:对一组给定的样本数据,频率 分布直方图的外观形状与哪些因素有 关?在居民月均用水量样本中,请你 以 0.1 和 1 为组距画频率分布直方图, 然后谈谈你对图的印象?

例 某地区为了了解知识分子的年龄 结构, 随机抽样 50 名,其年龄分别如下:
42,38,29,36,41,43,54,43,34,44, 40,59,39,42,44,50,37,44,45,29, 48,45,53,48,37,28,46,50,37,44, 42,39,51,52,62,47,59,46,45,67, 53,49,65,47,54,63,57,43,46,58.

(1)列出样本频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计年龄在 32~52 岁的知识分子所 占的比例约是多少.

思考 3:当总体中的个体数很多时(如 抽样调查全国城市居民月均用水量) , 随着样本容量的增加,作图时所分的 组数增多,组距减少,你能想象出相 应的频率分布折线图会发生什么变化 吗?(参考课本 69 页图 2.2-3)

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思考 4:在上述背景下,相应的频率分 布 折 线图越来越接近 于一条光滑曲 线,统计中称这条光滑曲线为总体密 度曲线.那么图中阴影部分的面积有何 实际意义?

思考 1: 你能理解这个图是如何记录这 些数据的吗?你能通过该图说明哪个 运动员的发挥更稳定吗? 思考 2:在统计中,上图叫做茎叶图, 它也是表示样本数据分布情况的一种 方法,其中“茎”指的是哪些数, “叶” 指的是哪些数?

思考 5: 当总体中的个体数比较少或样 本数据不密集时,是否存在总体密度 曲线?为什么?

思考 6:对于一个总体,如果存在总体 密度曲线,这条曲线是否惟一?能否 通过样本数据准确地画出总体密度曲 线?

思考 3:对于样本数据:3.1,2.5,2.0, 0.8,1.5,1.0,4.3,2.7,3.1,3.5,用 茎叶图如何表示?


探究(四) :茎叶图 频率分布表、频率分布直方图和 折线图的主要作用是表示样本数据的 分布情况,此外,我们还可以用茎叶 图来表示样本数据的分布情况. 【问题】 某赛季甲、乙两名篮球运动 员每场比赛的得分情况如下: 甲运动员得分:13,51,23,8, 26,38,16,33,14,28,39; 乙运动员得分: 49 ,24 ,12 , 31, 50, 31 , 44,36,15, 37 , 25 , 36,39. 助教在比赛中将这些数据记录为 如下形式: 甲 8 4 6 3 3 6 8 3 8 9 1 乙 0 1 2 3 4 5 2 5 1 7 4 0 5 4 6 9 9 思考 7:对任意一组样本数据,是否都 适合用茎叶图表示?为什么? 思考 4:一般地,画出一组样本数据的 茎叶图的步骤如何?

思考 5: 用茎叶图表示数据的分布情况 是一种好方法,你认为茎叶图有哪些 优点?

思考 6:比较茎叶图和频率分布表,茎 叶图中“茎”和“叶”的数目分别与 频率分布表中哪些数目相当?

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