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直线和圆的方程(教师)


直线与圆的方程
1 直角坐标平面内的两点间距离公式: P 1P 2 ?
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( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

2 直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点 按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角
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当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0° 倾斜角范围是 ? ??0, ? ?
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3 直线的斜率:倾斜角 ? 不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示,即 k=tan ? ( ? ≠90°) 倾斜角是 90° 的直线没有斜率;倾斜角不是 90° 的直线都有 斜率,其取值范围是(- ∞, +∞) 求直线斜率的方法①定义法:已知直线的倾斜角为 ? ,且 ? ≠90°,则斜率 k=tan ?
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②公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,且 x1≠x2,则斜率 k=

y 2 ? y1 x 2 ? x1

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③方向向量法:若 a =(m,n)为直线的方向向量,则直线的斜率 k=
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?

n m

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④曲线上任意一点处的切线斜率为对应函数在该点的导数 平面直角坐标系内,每一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都有斜率
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4 直线的方向向量:
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设 F1(x1,y1) 、F2(x2,y2)是直线上不同的两点,则向量 F1 F2 =

(x2-x1,y2-y1)称为直线的方向向量 向量
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y ? y1 1 )=(1,k)也是 F1 F2 =(1, 2 x 2 ? x1 x 2 ? x1

该直线的方向向量,k 是直线的斜率 特别地,垂直于 x 轴的直线的一个方向向量为 a =(0,1) 5 确定直线的方法、直线方程的五种形式及其局限性 ①点:两点;②方向:方向向量与斜率;③点和方向;④方向与截距;⑤直线系 6 直线系方程:(一次函数图象是直线,直线不都表示一次函数图象)
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①过已知定点 ? x0 , y0 ? 的直线系方程为 A? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? 0 ; (向量法) ②与已知直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为 Ax ? By ? C? ? 0 ( C ? ? C) ; ③与已知直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为 Bx ? Ay ? C? ? 0 ; ④若两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 有交点,则过 l1 与 l 2 交点 的直线系方程为 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) + ? ( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 (不含 l 2 ,λ 为常数)或

( A2 x ? B2 y ? C 2 ) + ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? 0 (不含 l1 ,λ 为常数)
7.两直线的平行与垂直:

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⑴若 l1 : y ? k1 x ? b , l2 : y ? k2 x ? b 则 l1 // l 2 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k 1 ?k2 ? ?1

l1 与 l 2 相交 ? k 1 ? k 2 ; l1 与 l 2 重合 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b2 ;
1

⑵若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( A 1与 B 1 , A2 与 B2 不同时为 0)

? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ; 则① l1 与 l 2 相交 ? A 1 B2 ? A2 B 1 交点是方程组的解; l1
② l1 ∥ l 2

?

A1 B1 C1 ( A1 B1C1 ? 0, A2 B2C2 ? 0) 或 ? A1B2 ? A2 B1 且 AC ? ? 1 2 ? A2C1 A2 B2 C2

?或B1C2 ? B2C1 ? ;③ l1 与 l 2 重合 ? A1B2 ? A2 B1 且 AC 1 2 ? A2C1 ?或B 1C2 ? B2C 1? .
8.点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

9.两条平行线直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 之间的距离为

d?

C1 ? C 2
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A ?B
2

学案

2

10 圆的标准方程圆心为(a,b) ,半径为 r 的圆的标准方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2
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11 圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) ,
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半径是 r ?

D 2 ? E 2 ? 4F E? ? D ,圆心坐标是 ? ? , ? ? 2? 2 ? 2

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若二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是: ①A=C≠0, ②B=0, ③D2+E2 -4AF>0
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12 线段 AB 为直径的圆的方程: 若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的方
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程是 ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (向量法)
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13 经过两个圆 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的圆系
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2

2

2

2

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方程是: x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0
2 2 2 2

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在过两圆公共点的曲线方程中,若 λ=-1,可得两圆公共弦或公切线所在的直线方程
2 2 14 经过直线 l:Ax ? By ? C ? 0 与圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程是:
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x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0
15 研究圆与直线的位置关系最常用的方法:
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①判别式法;②几何法:考查圆心到直线的距离与半径的大小关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与
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2 2 2 圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种,若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则

2

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0
16 两圆位置关系的判定方法
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设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

① d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线② d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ③ r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线④ d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ⑤0?d ? r 1 ?r 2 ?内含 ? 无公切线

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

内含 0 r1-r2 内切

相交 r1+r2 外切

相离

d

1.(1995 上海,8)下列四个命题中的真命题是(B ) A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示; B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)· (x2-x1) =(x-x1) (y2-y1)表示; C.不经过原点的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示; a b

D.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示. 解析:A 中过点 P0(x0,y0)与 x 轴垂直的直线 x=x0 不能用 y-y0=k(x-x0)表示,因为其 斜率 k 不存在;C 中不过原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y=b(b≠0)或 x=a(a≠0)不能 用方程

x y ? =1 表示;D 中过 A(0,b)的直线 x=0 不能用方程 y=kx+b 表示. a b
.

评述:本题考查直线方程的知识,应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 过点 P ?1, 2 ? 且与点 A? 2,3?、B ? 4,5? 距离相等的直线方程为

4 x ? y ? 6 ? 0 或 3x ? 2 y ? 7 ? 0 .(一般式、斜截式+距离公式或数形结合,一条与直线 AB
平行且过 P;另 一条过 P 及线段 AB 的中点.) 3.光线由点 A(3, 4) 射出,到 x 轴上的 B 点后,被 x 轴反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反 射,此时反射光线经过 D ?1,6? ,求直线 BC 的方程 (利用对称或夹角 5x ? 2 y ? 7 ? 0 ) .
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4.过点 A(2,1),且在 x,y 轴上截距相等的直线方程是
3

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(x+y=3 或 y=x/2) 强调:截距式的使用范围 5.过点(1,2)且与圆 x2+y2=1 相切的直线方程为 (x=1 或 3x─4y+5=0);注意点斜式的使用范围. 6.P(3,0)为圆 C:x2+y2─8x─2y+12=0 内一点,过 P 点的最短弦所在的直线方程是 ( x+y─3=0 ) 用勾股定理推导出所求直线垂直于 CP(提问是哪条直线即可,然后立即给出答案)
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(2012 浙江理 3) .设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y +4=0 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线 l1 与 直线 l2 平行,则有:
a 2 ,解得:a=1 或 a=﹣2.为充分不必要条件. 【答案】A ? 1 a ?1

7. 求证:不论 m 为什么实数,直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都通过一定点. 证法一:取 m =1,得直线方程 y =-4;再取 m =

1 ,得直线方程为 x=9 2 从而得两条直线的交点为(9,-4) ,又当 x =9, y =-4时,有

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9(m ? 1) ? (?4)(2m ? 1) y ? m ? 5
即点(9,-4)在直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 上, 故直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都通过定点(9,-4). 证法二:∵ (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 ,∴ m (x+2 y -1)-(x+ y -5)=0, 则直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都通过直线 x +2 y -1=0 与 x + y -5=0 的交点 由方程组 ?
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?x ? 2 y ? 1 ? 0 ,解得 x =9, y =-4,即过点(9,-4) ?x ? y ? 5 ? 0
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所以直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 经过定点(9,-4)

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证法三:∵( (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 ,∴ m ( x +2 y -1)= x + y -5 由 m 为任意实数,知关于 m 的一元一次方程 m ( x +2 y -1)= x + y -5 的解集为 R, ∴?

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ,解得 x =9, y =-4 ?x ? y ? 5 ? 0
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所以直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都通过定点(9,-4)
2 2

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8.(2012 年陕西卷文) 6.已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 ,l 过点 P(3, 0) 的直线,则(



4

A. l 与 C 相交

B. l 与 C 相切

C. l 与 C 相离

D.以上三个选项均有可能

【解析】点 P(3, 0) 在圆内,则 l 必与 C 相交,故选 A. 9.(05 津)将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆

x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相切,则实数 ? 的值为
A.-3 或 7 B.-2 或 8



) D.1 或 11

C.0 或 10

解:由题意可知:直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位后的直线 l 为:

2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 .已知圆的圆心为 O(?1, 2) ,半径为 5 .直线与圆相切,则圆心到直线
的距离等于圆的半径,因而有

| 2 ? (?1 ? 1) ? 2 ? ? | ? 5 ,得 ? ? ?3 或 7. 答案:A. 5

10. (2010 宁夏 15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程 为 .

解: (∵AB 的中垂线经过圆心, 所以圆心横坐标为 3) 设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,

? ?(4 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ?a?3 ? ? ? 2 2 2 则根据已知条件得 ?(2 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ? b ? 0 . 【答案】 (x ? 3)2 ? y 2 ? 2 . ? ?r 2 ? 2 a ? b ?1 ? ? ?r ? 2 ?
(02 京理 16)已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的 两条切线,A、B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为 2 2 . 解法一∵点 P 在直线 3x+4y+8=0 上.∴设 P(x, ?2 ?

3 x) , 4

C 点坐标为(1,1) ,S |AP|

四边形 PACB

=2S△ PAC=2· · |AP|· |AC|=|AP|· |AC|=

1 2

∵|AP|2=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1 ∴当|PC|最小时,|AP|最小,四边形 PACB 的面积最小.

5 3 ? 25 2 5 ? x ? x ? 10 ? ( x ? 1) 2 ? 9 ∴|PC| = ?1 ? x ? ? ?1 ? 2 ? x ? ? 2 4 4 ? 16 ?
2

2

2

∴|PC|min=3

∴四边形 PACB 面积的最小值为 2 2 .

解法二:由法一知需求|PC|最小值,即求 C 到直线 3x+4y+8=0 的距离,
5

∵C(1,1) ,∴|PC|=

|3? 4 ?8| =3,SPACD= 2 2 . 5

11.(08 北京 7)过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5)2 ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1,l2 ,当直 线 l1,l2 关于 y ? x 对称时,它们之间的夹角为( A. 30
?

) D. 90
?

B. 45

?

C. 60

?

解:过圆心 M 作直线 l : y ? x 的垂线交于 N 点,过 N 点作圆的切线能够满足条件,不难 求出夹角为 60 .明白 N 点后,用图象法解之也很方便【标准答案】: C . 12.(2011 重庆 8)在圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E ? 0,1? 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 (A) 5 2 (B) 10 2 (C) 15 2 (D) 20 2
0

解 析 : 选 B , 由 题 意 , AC 为 直 径 , 设 圆 心 为 F , 则 F E ? B D, 圆 的 标 准 方 程 为

? x ? 1?

2

? ? y ? 3? ? 10 ,故 F ?1,3? ,由此,易得: AC ? 2 10 ,又 k EF ?
2

3 ?1 ? 2 ,所 1? 0

1 ? ?1? 3 1 2 ? 5, 以直线 BD 的方程为 y ? ? x ? 1 , F 到 BD 的距离为 由此得,BD ? 2 5 2 5 2
所以四边形 ABCD 的面积为

1 1 AC ?BD ? ? 2 5 ? 2 10 ? 10 2 2 2

13.(2012 江苏)12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线

y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大
值是 ▲ . 解析: 圆 C 的圆心为 (4, 0) , 半径为 1; 由题意, 直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) , 以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点;故存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立, 即 ACmin ? 2 ;而 ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 得0 ? k ?

4k ? 2 k 2 ?1

,故

4k ? 2 k 2 ?1

? 2 ,解

4 4 ,即 k 的最大值是 . 3 3 14. 自 点 A(-3,3) 发出的光线 l 射 到 x 轴上 , 被 x 轴反 射 , 其 反射光线所 在的直 线与圆

x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在的直线方程

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6

解:由已知可得圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于 x 轴对称的圆 C?的方程为
2 2

? x ? 2?

2

? ? y ? 2 ? ? 1 ,其圆心 C?(2,-2) ,则 l 与圆 C?相切,
2

y
A 3 2 1 C

设 l : y-3=k(x+3), ?

5k ? 5 1? k
2

?1,

-3

-2 -1

o

1

2 C'

3

x

3 4 或k ? ? , 4 3 3 4 所以所求直线方程为 y-3= ? (x+3)或 y-3= ? (x+3),即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 4 3
整理得 12k2+ 25k+12=0, 解得 k ? ?
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点评: 关于求切线问题 ,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件 ,是求圆的切线方程 的常用方法 若本题由“ ? ? 0 ”求切线方程也可,但过程要复杂些
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2 15.若直线 y ? x ? k 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则k 的取值范围是

(

)

A. k ? ? 2 B.

? 2,???? ?? ?,? 2 ? C. ??

2 , 2 D. k ? ? 2 或(-1,1]

?

[思路分析] 数形结合的思想, y ? x ? k
2 表示一组斜率为 1 的平行直线, x ? 1 ? y

表示 y 轴的右半圆.如图可知,选(D) [简要评述] 数形结合思想的灵活运用,此题
2 可以进一步拓展, x ? ? 1 ? y , y ? ? 1 ? x 2 等.

16. 直线 y=k(x-3)+4 与曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 有一个交点,求实数 k 的取值范围 解:直线 y=k(x-3)+4 过定点 P(3,4) ,曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 化为 x2+(y-1)2=4 ( y ? 1) ,因为 A(2,1),B(-2,1) 所以可得 k PA ? 3, k PB ? 由

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3 ,又设 lPC: y-4=k(x-3)即 kx-y+4-3k=0, 5

? ? ?1? ? 4 ? 3k k 2 ?1

? 2得k ?

15 ? 2 30 15 ? 2 30 或k ? (舍) 5 5
k? 15 ? 2 30 3 或 ?k ?3 5 5

综上所述,所求实数 k 的取值范围是: 17. (08 全Ⅰ)若直线

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A. a 2 ? b2 ≤1

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) ,则( a b 1 1 B. a 2 ? b2 ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 a b



D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

7

解:由题意知直线

x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1有交点,则 a b 1 1 a b

1 1 1 ? a 2 b2

≤ 1,

1 1 ? ≥1 . a 2 b2

另解:设向量 m = (cos ? ,sin ? ), n = ( , ) ,由题意知 由 m ? n ≤ m n 可得 1 ?

cos ? sin ? ? ?1 a b

cos ? sin ? 1 1 ? ≤ ? , 选 D. a b a 2 b2

18. (06 湘) 若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 A. ? , ? ?12 4 ?

?? ? ?

B. ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

C. ? , ? 6 3

?? ? ? ? ?

D. ? 0, ? 2

? ?? ? ?

解:圆为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,∴圆心坐标为(2,2),半径为 3 2 ,要求圆上至少 有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则圆心到直线距离应小于等于 2 , ∴

| 2a ? 2b |
2 2

a 2 a a a ∴ ( ) ? 4( ) ? 1 ? 0 , ∴ ?2 ? 3 ? ( ) ? ?2 ? 3 ,k ? ? ( ) , ? 2, b b b b a ?b

∴ 2 ? 3 ? k ? 2 ? 3 ,直线 l 的倾斜角的取值范围是 ?

? ? 5? ? , ,选 B. ?12 12 ? ?

19.若圆(x─3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x─3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的取值 范围是 提示: 圆心 P(3,─5)到直线 4x─3y=2 的距离等于 5,由|5─r|<1 得 4<r<6 20. ( 06 江西)已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题: (A) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; (B) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C) 对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 (D)对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 解:圆心坐标为(-cos?,sin?)d=
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|-k cos ?-sin ? | 1+k 2



1+k 2 |sin (?+?) | (D) =|sin (?+?) | ? 1 故选(B) 1+k 2
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21.函数 y= x 2 ? 9 + x 2 ? 8x ? 41 的最小值是 y= x2 ? 2x ? 10 +

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x2 ? 4 x ? 5 (5)

解:因为 y= ( x ? 0) 2 ? (0 ? 3) 2 + ( x ? 4) 2 ? (0 ? 5) 2 , 所以函数 y 是 x 轴上的点 P(x,0)与两定点 A(0,3) 、B(4,3)距离之和 y 的最小 值就是|PA|+|PB|的最小值 由平面几何知识可知,若 A 关于 x 轴的对称点为 A ′(0,-3) ,
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8

则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|,即 (4 ? 0) 2 ? (5 ? 3) 2 =4 5 所以 ymin=4 5
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22.(07 安徽卷) 已知直线

x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且 a b
) D.78 条

公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( A.60 条 B.66 条 C.72 条

解: 可知直线的横、 纵截距都不为零, 即与坐标轴不垂直, 不过坐标原点, 而圆 x2 ? y 2 ? 100 上的整数点共有 12 个,分别为 ? 6, ?8? , ? ?6, ?8? , ?8, ?6? , ? ?8, ?6? , ? ?10,0? , ? 0, ?10? ,前
2 8 个点中,过任意一点的圆的切线满足,有 8 条;12 个点中过任意两点,构成 C12 ? 66 条

直线, 其中有 4 条直线垂直 x 轴, 有 4 条直线垂直 y 轴, 还有 6 条过原点 (圆上点的对称性) , 故满足题设的直线有 52 条.综上可知满足题设的直线共有 52 ? 8 ? 60 条,选 A. 23.一直线经过点 P ? ?3, ? ? 被圆 x ? y ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程
2 2

? ?

3? 2?

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解 : (1) 当 斜 率 k 不 存 在 时 , 过 点 P 的 直 线 方 程 为 x ? ?3 , 代 入 x 2 ? y 2 ? 25 , 得

y1 ? 4, y2 ? ?4 ?
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弦长为 y1 ? y2 ? 8 ,符合题意

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(2)当斜率 k 存在时,设所求方程为 y ?

3 3 ? k ? x ? 3? ,即 kx ? y ? 3k ? ? 0 2 2

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k ? 0 ? 0 ? 3k ?
由已知,弦心距 OM ? 5 ? 4 ? 3 ?
2 2

3 2

k ?1
2

? 3 ,解得

k ??

3 4

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所以此直线方程为

y?

3 3 ? ? ? x ? 3? ,即 3x ? 4 y ? 15 ? 0 2 4
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所以所求直线方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0

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点评: 关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解, 也可用代数法的弦长公式求解 本题还要注意,斜率不存在时直线 x ? 3 ? 0 符合题意 24. 已 知 圆 C 的 圆 心 在 直 线 x─y─4=0 上 , 并 且 通 过 两 圆 C1:x2+y2─4x─3=0 和 C2:x2+y2─4y─3=0 的交点,(1)求圆 C 的方程; (2)求两圆 C1 和 C2 相交弦的方程 解:(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为: x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0,即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0,
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即 圆心为 (

x2 ? y2 ?

2 2? 2 2? , ),由于圆心在直线 x─y─4=0 上,∴ ─ ─4=0, 解得 λ=─1/3 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?
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4x 4?y ? ? 3 =0, 1? ? 1? ?

所求圆的方程为:x2+y2─6x+2y─3=0 (2)将圆 C1 和圆 C2 的方程相减得:x+y=0,此即相交弦的方程 25.求过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x─4y+1=0 的交点,且面积最小的圆的方程
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9

解法一:因为通过两个交点的动圆中,面积最小的是以此二交点为直径端点的圆,于是 解方程组 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0
2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0

得交点 A(─11/5,2/5), B(─3,2),利用圆的直径式方程得:
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(x+11/5)(x+3) +(y─2/5)(y─2)=0, 化简整理得 (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5 解法二: (运用曲线系方程)设过直线与用圆的交点的圆的方程为 x2+y2+2x─4y+1+λ(2x+y+4)=0, 即 (x+λ+1)2+(y+ 要使圆面积最小,必须半径最小, 由于 r=

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? ?4
2

)2=

5 2 ? ? 4? ? 4 4

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5 2 8 16 1 16 2 5 = ,当且仅当 ? =8/5 时,r 最小 ? ? 4? ? 4 = 5(? ? ) 2 ? ? 5 4 5 5 2 5
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故所求圆的方程是 (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5 26. 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原 点) ,求该圆的圆心坐标及半径
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解:由 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0
2 2

消去 x 得 5y2-20y+12+m=0

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设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,则 y1、y2 满足条件 y1+y2=4,y1y2= ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0
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12 ? m 5

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而 x1=3-2y1,x2=3-2y2,

∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=-15+ 4 ? ∴m=3,此时 Δ>0,圆心坐标为(-

12 ? m 12 ? m 12 ? m ∴-15+ 4 ? + =0 5 5 5
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1 5 ,3) ,半径 r= 2 2
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点评:(1)在解答中,我们采用了对直线与圆的交点 “设而不求”的解法技巧,但必须注 意这样的交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑 (2)体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定理的作用:处理 y1,y2 与 x1,x2 的对称式 在 解析几何中经常运用韦达定理来简化计算 27.已知 P(1,2)为圆 x2+y2=9 内一定点,过 P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点 B、C, 则 BC 中点 M 的轨迹方程为____________
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解: |MP|=

1 |BC|(直角三角形 PBC 斜边 BC 上的中线 PM 是斜边的一半), Rt△ OMC 2
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中,等量代换勾股定理可得故所求轨迹方程为 x2+y2-x-2y-2=0
2 2 2 2

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28. (2012 山东文 9) 圆 ( x ? 2) ? y ? 4 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 的位置关系为 ( (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离



解析:通过求出两圆心的距离为: 17 <5,因此选 B 29.已知⊙O 方程为 x2+y2=4,定点 A(4,0) ,求过点 A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹 分析: 两圆外切, 连心线长等于两圆半径之和, 两圆内切, 连心线长等于两圆半径之差, 由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件, 然后将这个几何条件坐标化, 即得到它 的轨迹方程 解法一:设动圆圆心为 P(x,y) ,因为动圆过定点 A,所以|PA|即动圆半径
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当动圆 P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2;当动圆 P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|-2 综合这两种情况,得||PO|-|PA||=2 将此关系式坐标化,得
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| x 2 ? y 2 - ( x ? 4) 2 ? y 2 |=2 化简可得 ? x ? 2 ? ?
2
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y2 ?1 3

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解法二:由解法一可得动点 P 满足几何关系||OP|-|PA||=2, 即 P 点到两定点 O、A 的距离差的绝对值为定值 2,所以 P 点轨迹是以 O、A 为焦点, 2 为实轴长的双曲线,中心在 OA 中点(2,0) ,实半轴长 a=1,半焦距 c=2,虚半轴长

y2 ?1 b= c ? a = 3 ,所以轨迹方程为 ? x ? 2 ? ? 3
2 2
2
2

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2 30.已知圆 C: x ? ? y ? 1? ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 .

⑴求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; ⑵设两个不同交点为 A、B,若 AB ? 17 ,求直线 l 的倾斜角; ⑶若定点 P ?1,1? 分弦 AB 的比为

? ?? ? 1 1 ?? P ?P B , (A 2 2

)求此时直线 l 的方程;

⑷求弦 AB 中点 M 的轨迹方程. 解:⑴要证一直线和圆有两个不同交点,可以从代数和几何两个方面,若从代数方面考虑, 则只要联立两者方程,消元,然后利用判别式;若从几何方面考虑,则可考虑证明直线过圆 内一定点,也可证明圆心到直线的距离永远小于半径. ⑵涉及弦长的问题,可以联立两者方程,利用韦达定理及弦长公式解决.但在圆中,可以利 用圆的平面几何性质,即弦心距、半弦、半径三者构成的直角三角形解决. 求得 m ? ? 3 ,直线 l 的倾斜角为 ⑶利用定点 P ?1,1? 分弦 AB 的比为

? 2? 或 . 3 3

1 ,可得 A、B 坐标间的关系,再结合韦达定理得 x1 , x2 2 和 m 的方程组,求得 m ? ?1 .直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .
也可以利用圆的平面几何性质,设 M 、 N 分别是过点 P ?1,1? 及圆心的弦与圆的交点, 则 PM ? 5 ?1 , PN ? 5 ? 1 ,由相交弦定理得 PA?PB ? PM ?PN ? 4 ,结合 PB ? 2 PA , 得 PA ?
2

2 , PB ? 2 2 ,即 AB ? 3 2 ,再利用⑵的方法求得 m ? ?1 . ⑷的关键是利用弦 AB 中点 M 在以定点 C ? 0,1? 和定点 P ?1,1? 为直径端点的圆上, 所求方程
为 x ? y ? x ? 2 y ?1 ? 0 .
2

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