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2014届湖北省武穴中学高三数学九月月考测试题(理科)


武穴中学高三年级 9 月份月考 数 学 试 题(理科)
命题人:程善祥 一、选择题(5 分×10=50 分)
1.集合 A ? {x | x ? 2 x ? a ? 0} , 1? A ,则实数 a 的取值范围是
2

审题人:严少林

A. (??,1)
2

B. [0, ??)

C. [1, ??)

D. (??,1]

2.命题 p : ?x ? R ,使 2 x ? 1 ? 0 ,则 ?p 为 A. ?x ? R ,使 2 x ? 1 ? 0
2

B. ?x ? R ,都有 2 x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R ,都有 2 x ? 1 ? 0
2

D. ?x ? R ,都有 2 x ? 1 ? 0
2

3.若 g ( x) ? 1 ? 2 x , f [ g ( x)] ? A.1 4.集合 A ? {x ? R | B.3

1 ? x2 1 ( x ? 0) ,则 f ( ) ? 2 x 2
C.15 D.30

1 ? 2x ? 8} , B ? {x ? R | ?1 ? x ? m ? 1} ,若 x ? B 成立的一个充分不必 2
B. m ? 2 C. ?2 ? m ? 2 D. m ? 2

要条件是 x ? A ,则实数 m 的取值范围是 A. m ? 2

5.函数 y ? x ln | x | 的图像大致是

6.设 cos(? ? A. ?

?
3

)?

7 8

1 ? ,则 cos(2? ? ) ? 4 3 7 B. 8

C. ?

7 8

D. ?

15 16

, 7. y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数, f (1) ? 1 f ?( x) ? 1 ,则 f ( x) ? x 的解集是
A. (??,1) B. (?1,0) ? (0,1)
1

C. (1, ??)

D. (??, ?1) ? (1, ??)

8.函数 f ( x) ? log 2 A. [1, ??)

( a ?2 x )

? x ? 2 有零点,则 a 的取值范围是
C. [4, ??) D. [8, ??)

B. [2, ??)

9.定义域为 R 的函数 f ( x)在( ??,0] 上单调减,且 f ( x) 满足 f (3 ? x) ? f ( x ? 3) ,若实数 a 满 足 f (log 2 ) ? f (log 1 ) ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是
a a
2

A. [ , 2]

1 2

B. (0, ]

1 2

C. [ , 2)

1 2

D. (0, 2]

10 . 函 数 y ? f ( x) ( x R)满 足 f ( x? 1) ? f ( x? 1) 且 x ?[? 1, 1] , f ( x) ? | x |, 函 数 , 时 ?

? x ( ?s i n x  ? 0 ) ? g ( x) ? ? 1 ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,5] 上的零点个数为 ?    ? 0) (x ? x ?
A.10 B.9 C.8 D.7

二、填空题(5×5=25 分)
11.函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5在[0,3] 上的最大值与最小值的和是
3 2

。 。 。

12.曲线 y ? cos x(0 ? x ?
2

3? ) 与两坐标轴围成的图形的面积是 2
2 2

13. ?ABC 中, sin B ? sin C ? sin A ? sin B ? sin C ,则角 A 的取值范围是 14.关于函数 f ( x) ? 2 2 sin( x ? ①最大值为 2 ? 1 ;

?
4

) ? cos x 的四个结论:

k ? ? (k ? Z ) ; 8 2 ? 3? ③函数的单调增区间为 [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) ; 8 8 ? k? ④图像关于点 ( ? , ?1)(k ? Z ) 对称。 8 2
②图像的对称轴方程为 x ? ? 正确结论的序号是
2

?



15 . 若 命 题 “ ?a ?[1, 3] 使 ax ? ( a ? 2) x ? 2 ? 0 为 真 命 题 , 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 , ” 。

2

三、解答题(75 分)
16 .( 12 分 ) 已 知 p : 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 负 实 根 ; q : 二 次 方 程
2

4 x 2 ? 4 ( ? 2 x ? 1 无实根。若 p ? q 为假, p ? q 为真,求实数 m 的取值范围。 m ) ? 0

17. (12 分) ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 c sin A ? a cos C. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求出取得最大值时的角 A 的大小。

18. (12 分)设函数 f ( x) ? sin(

?

? x ? ) ? 2cos 2 x ? 1. 4 6 8

?

?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x)与y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时, y ? g ( x) 的最大值。

4 3

3

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0, b ? R, c ? R).
2

( Ⅰ ) 若 函 数 f ( x) 的 最 小 值 是 f (? 1)? 0, 且 c ? 1 , 又 F ( x) ? ?

? f ( x ) (x ? 0 ) ,求 ?? f ( x)( x ? 0)

F (2) ? F (?2) 的值;
(Ⅱ)若 a ? 1, c ? 0 ,且 | f ( x) |? 1 在区间 (0,1] 上恒成立,求实数 b 的取值范围。

20. (13 分)某公司经销某品牌的产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交

a(3 ? a ? 5) 元的管理费,预计当每件产品的售价为 x(9 ? x ? 11) 元时,一年的销售量为
(12 ? x) 2 万件。
(Ⅰ)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x (元)的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L(万元)最大,并求出 L 的最大 值 Q(a ) 的表达式。

21 .( 14 分 ) 函 数 g ( x)?

f ( x) ? mx ?

m ? 1 ? 2e ? ln x , m ? R , e 为自然对数的底。 x

1 在 ? l nx [1, ??) 为 增 函 数 , 且 ? ? (0, ? ) , x ?s i ? n

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅲ)若在 [1, e] 上至少存在一个 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围。

4

武穴中学高三年级 9 月份月考 数学试题(理科)参考答案
1—5 DCCAA 11、 ?10 12、3
2

6—10 BCCAB 13、 (0,

?
3

]

14、①②③④ ,即 m ? 2

15、 (??, ?1) ? ( , ??)

2 3

16、解:① p 真时, ?

?? ? m ? 4 ? 0? m ? ?2或m ? ?2 ? ? m ? 0? m ? 0
2

② q 真时, ? ? 16(m ? 2) ? 16 ? 0 ,得 m ? 4m ? 3 ? 0 ,即 1 ? m ? 3
2

据题意, p、q 中一真一假,故当 p 真 q 假时, ?

?m ? 2 ,得 m ? 3 。 ? m ? 1或m ? 3

当 p 假 q 真时, ?

?m ? 2 ,得 1 ? m ? 2 。 ?1 ? m ? 3

综上所述, m 的取值范围是 1 ? m ? 2或m ? 3 。 17、解:? c sin A ? a cos C ,又由正弦定理,得到: sin C ? sin A ? sin A ? cos C , 由于 0? ? A ? 180? ,知 sin A ? 0 ,于是 sin C ? cos C ,又 0? ? C ? 180? , 故 cos C ? 0 ,于是 tan C ? 1 。

?(Ⅰ) C ? 45?
) ? 3 sin A ? cos(? ? A) ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) , 4 6 ? 3? ? ? 11 ? ? ? 因 C ? ,故 0 ? A ? ,于是 ? A ? ? ? ,故当 A ? ? ,即 A ? 时, 4 4 6 6 12 6 2 3
(Ⅱ) 3 sin A ? cos( B ?

?

?

2sin( A ? ) 取最大值 2。于是,最大值为 2,此时 A ? . 6 3
18、解: f ( x) ? sin(

?

?

?

? x ? ) ? 2cos 2 x ? 1 4 6 8

?

?

? (sin

?
4

? x) ?

3 1 ? ? ? cos x ? cos x 2 2 4 4

?

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4
5

? 3 sin( x ? ) 4 3 2? ? 8. ?(Ⅰ)最小正周期 T ?

?

?

?

4
(Ⅱ)方法 1:设 y ? g ( x) 图像上的点 ( x, y )与y ? f ( x) 的图像上的点 ( x0 , y0 ) 关于直线

? x0 ? x ? 2 ? x0 ? 2 ? x ? ? ? ? , ? 即 , 又点 ( x0 , y0 ) 在 f ( x) ? 3 sin( x ? ) 图像上, x ? 1 对称,于是 ? 4 3 ? y0 ? y ? y0 ? y ? ?
故 y0 ? 3 sin(

?

x0 ? ) 上 , 换 成 x, y , 得 : y ? 3 s i n [ 4 3 4

?

?

( 2 ? ) , ]化 简 , 得 : ?x 3

?

3 ? ? 4 ? ? ? ? . y ? ? 3 sin( x ? ) ,当 0 ? x ? 时, ? ? ? x ? ? ,故 y ? g ( x) 的最大值为 2 4 6 3 6 4 6 6
方法 2:区间 [0, ] 关于直线 x ? 1 对称的区间为 [ , 2] ,又 y ? g (x ) 与 ? f ( ) 的图像关于 y x

4 3

2 3

4 2 3 3 ? ? 2 ? ? ? ? 知, f ( x) ? 3 sin( x ? ) ,当 ? x ? 2 时, ? ? x ? ? 。于是此时 f ( x) 的最大值 4 3 3 6 4 3 6
直线 x ? 1 对称,故 y ? g ( x)在[0, ] 上的最大值就是 y ? f ( x)在[ , 2] 上的最大值。由(Ⅰ) 为

3 3 4 . ,即 y ? g ( x)在[0, ] 上的最大值为 2 2 3

?a ? 0 ? b ?a ? 1 ? 2 2 ? ?1 ,得 ? 19、解: (Ⅰ)据题意, ? ? ,? f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) , b?2 ? ? 2a ?a ? b ? 1 ? 0 ?
?( x ? 1) 2   ? 0) (x ? 2 2 于是 F ( x ) ? ? ,? F (2) ? F (?2) ? (2 ? 1) ? (?2 ? 1) ? 8. 2 (x ? ?( x ? 1)   ? 0) ?
(Ⅱ) a ? 1 c ? 0 时, f ( x) ? x ? bx , | x ? bx |? 1 在区间 (0,1] 上恒成立, ,
2 2

等价于 ?1 ? x ? bx ? 1 对 0 ? x ? 1 恒成立,即 ?
2

? x 2 ? bx ? ?1对0 ? x ? 1恒成立 ? , 2 ? x ? bx ? 1对0 ? x ? 1恒成立 ?

6

? x2 ? 1 b?? 对0 ? x ? 1恒成立 ? x2 ? 1 1 ? x 即? ,在 0 ? x ? 1 时, ? ? ?( x ? ) 在 x ? 1 时取最大 2 x x ?b ? ? x ? 1 对0 ? x ? 1恒成立 ? x ?

? x2 ? 1 1 值 ?2 ,而 ? ? x 在 x ? 1 时取最小值 0,故 b ? ?2 且 b ? 0 ,于是 ?2 ? b ? 0. x x
20、解:据题意有(Ⅰ) L ? ( x ? 3 ? a) ? (12 ? x) ,9 ? x ? 11.
2

(Ⅱ) L? ? (12 ? x) ? ( x ? 3 ? a) ? 2(12 ? x) ? (?1)
2

? ( x ? 12)2 ? 2( x ? 12)( x ? 3 ? a)

? ( x ? 12)( x ? 12 ? 2 x ? 6 ? 2a) ? ( x ? 12)(3x ? 2a ? 18)

2 , a ( x ? 12 被舍去) ? 3 ? a ? 5 , 3 2 1 2 故 8 ? 6 ? a ? 9 ,又在 x ? 6 ? a 的两侧, L? 的值由正变负, 3 3 3 2 9 2 故当 8 ? 6 ? a ? 9 ,即 3 ? a ? 时, Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? a)(12 ? 9) ? 9(6 ? a) ; 3 2 2 1 当9 ? 6? a ? 9 , 3 3 9 2 2 2 2 1 3 即 ? a ? 5 时, Lmax ? L(6 ? a) ? (6 ? a ? 3 ? a) ? [12 ? (6 ? a)] ? 4(3 ? a) , 2 3 3 3 3
令 L? ? 0 ,得 x ? 6 ?

9 ? ?9(6 ? a)(3 ? a ? 2 ) ? 故 L 的最大值 Q(a ) 的表达式为: Q (a ) ? ? 。 ?4(3 ? 1 a )3 ( 9 ? a ? 5) ? 3 2 ?
21、解: (Ⅰ) g ?( x) ? 即 sin ? ?

1 1 x sin ? ? 1 ? (? x ?2 ) ? ? 2 ? 0 对 x ? 1恒成立, sin ? x x sin ?

1 对x ? 1 恒成立,故 sin ? ? 1 ,又 ? ? (0, ? ) , x

故 sin ? ? 1 ,?sin ? ? 1 ,于是 ? ? (Ⅱ) m ? 0 时, f ( x) ? ?

?

?1 ? 2e 1 ? 2e , ? ln x ? ? ln x (其中 x ? 0 ) x x
7

2

.

故 f ?( x) ? (1 ? 2e) ? (? x ?2 ) ?

1 (2e ? 1) ? x ? ( x ? 0) ,当 0 ? x ? 2e ?1 时, x x2

f ?( x) ? 0 ,当 x ? 2e ?1 时, f ?( x) ? 0 ,
故 f ( x) 的单调增区间为 (0, 2e ? 1) ,单调减区间为 (2e ? 1, ??) ,

f ( x) 在 x ? 2e ?1 时取极大值 f (2e ?1) ? ?1 ? ln(2e ?1).
(Ⅲ)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? mx ? ①当 m ? 0 时,F ( x) ? ?(

m ? 2e ? 2ln x. x
f ( x) ? g ( x).

2e 显然有 F ( x) ? 0 , 不会有 ? 2ln x) 在 1 ? x ? e 时, x m 1 2e ②当 m ? 0 时, 由于 1 ? x ? e ,mx ? ? m( x ? ) ? 0 , ? 且 ? 2l x ? 2 n ? ( x x x
故仍有 F ( x) ? 0 ,不会有 f ( x) ? g ( x). ③当 m ? 0 时, F ?( x) ? m ?
2

e l? ) x0 ? n x

m ? 2e 2 mx 2 ? 2 x ? m ? 2e ,?1 ? x ? e , ? ? x2 x x2

故 mx ? m ? 0 , 2e ? 2 x ? 0 ,知 F ?( x) ? 0 ,于是 F ( x) 在 [1, e] 上 ? , 只要 F ( x) 在 [1, e] 上的最大值 F (e) ? me ?

m 4e 4e 即可,故 m ? 2 ? 4 ? 0 ,即 m ? 2 . e e ?1 e ?1

8


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