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福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考期末试卷数学(文)含答案


2015 年莆田一中、漳州一中、泉州五中三校高三年联考
数学(文)科试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1.在复平面内,复数 i (2 ? i ) 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知正项等比数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? a13 ? a16 ? 256, a7 ? 2 则数列 ?an ? 的公比为 A. 2 B. 2 C. ? 2 D. ? 2

3. 已 知 集 合 A ? y y ? x ?2 x ?2, ?1 ? x ? 2 , B ? ? x
2

?

?

? ? ? C. D. 3 4 4 2 4. 已知命题 p : “ x ? 3 ” 是 “ x ? 9 ” 的充要条件,命题 q : “ ?x0 ? R, x0 ? 2 ? 0 ” 的否定是
B. “ ?x0 ? R, x0 ? 2 ? 0 ” A.“ p ? q ”为真 B.“ p ? q ”为真 C. p 真 q 假 D. 62 D. y ? ? x
3

x? A ? A. 3

? 2x ? 7 ? ? 1? , 若 任 取 x ? A , 则 ? x ?3 ?

B的概率为

D. p, q 均为假

5.执行如图所示的程序框图,输出的 T ? A. 29 B. 44 C. 52 A. y ? log 2 x B. y ? 2 ? 1
x

6.下列函数中,在 ? ?1,1? 内有零点且单调递增的是
2

C. y ? x ? 2

7.已知直线 m , n 和平面 ? , ? ,若 ? ? ? , ? 要使 n ? ? ,则应增加的条件是 A. m // n 8.函数 y ? 3
|log 3 x|

? ? m , n ?? ,
D. n ? ?

B. n // ? 的图像是

C. n ? m

9.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点在圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 上,则双曲线的渐近线方程为 9 m 3 4 2 2 3 2 x x A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? D. y ? ? 4 3 3 4

x 10.已知函数 f ( x) 是奇函数且 f (log1 4) ? ?3 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? a ( a ? 0, a ? 1 ),则

2

实数 a 的值为 A. 9 B. 3 C.

3 2

D. 3

-1-

11.若 a ? (sin 2 x,cos2 x) , b ? (sin 2 x, ? cos2 x) , f ( x) ? a b ? 4cos2 x ? 2 3sin x cos x . 如果 ?m ? R ,对 ?x ? R 都有 f ( x) ? f (m) ,则 f ( m) 等于 A. 2 ? 2 3 B. 3 C. 0 D. 2 ? 2 3 12.定义点 P 到图形 C 上所有点的距离的最小值为“点 P 到图形 C 的距离”, 那么平面内到定圆 C 的距离与到定点 A 的距离相等的点的轨迹不可能是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答案卷的相应位置. 13.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , | a |? 1 , | b |? 3 ,则 | a ? b | =
o

. .

14.已知函数 f (x) ? ?

? ?log 2 x, ( x ? 0) ,则 f ? ? f ? 0 ?? ?? x ? ?3 , ? x ? 0 ?

?x ? 1 ? 15.设变量满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
16.利用函数 f ( x) ? ( ) ? ( ) ( x ? R) 是减函数可以求方程 ( ) ? ( ) ? 1 的解.
x x x x

.

由 f (2) ? 1 可知原方程有唯一解 x ? 2 ,类比上述思路可知不等式

3 5

4 5

3 5

4 5

. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.某市为调研高三一轮复习质量,在 2014 年 10 月份组织了一次摸底考试,并从某校 2015 届 高三理科学生在该次考试的数学成绩进行分析,利用分层抽样抽取 90 分以上的 1200 名学 生的成绩进行分析, 已知该样本的容量为 20, 分数用茎叶图记录如图所示 (部分数据丢失) , 得到的频率分布表如下: 7 6 2 1 分数段 9 ? ? ? 90,110? 110,130? 130,150? (分) 10 4 频数 5 7 3 8 11 a 0.45 0.2 频率 12 13 (Ⅰ)求表中 a 的值及分数在 ?120,130?范围内的学生人数; 14 6 8 9 8

x6 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2)3 ? x2 的解集是

(Ⅱ)从得分在 ?130 ,150? 内的学生随机选 2 名学生的得分,求 2 名学生的平均分不低 于 140 分的概率. 18.已知各项均不相等的等差数列 ?an ? 的前四项和 S 4 ? 14 ,且 a1 , a3 , a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 Tn 为数列 ?

?

? 的最小值.

1 ? ? ? 的前 n 项和,若 Tn ? ?an?1 对一切 n ? N 恒成立,求实数 ? an a n?1 ?

-2-

19.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的一部分图像如右图所示,(其中 A ? 0 , ? ? 0 ,

| ? |?

? ). 2

y 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式并求函数的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 若 f (A ) ? 1 , sin B ? 4sin(? ? C ) , ?ABC 的面 a,b ,c, 积为 3 ,求边长 a 的值.

?

-2

?O ? 12 6

x

20.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,

PA ? 平面 ABCD ,PA ? AD ? 1 , AB ? 3 ,点 F 是 PD 的中点,点 E 是边 DC 上的任意一点. (Ⅰ)当点 E 为 DC 边的中点时,判断 EF 与平面 PAC 的
位置关系,并加以证明; (Ⅱ)证明:无论点 E 在 DC 边的何处,都有 AF ? EF ; (Ⅲ)求三棱锥 B ? AFE 的体积.

21. 已知动点 M 到点 F (0,1) 的距离等于点 M 到直线 y ? ?1 的距离,点 M 的轨迹为 C . (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 P 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上的点,过点 P 作曲线 C 的两条切线 PA , PB ,

1 3 2 2 (ⅱ )当点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.
(ⅰ )当点 P ( , ? ) 时,求直线 AB 的方程;

22.对于函数 f ( x)(x ? D) ,若 x ? D 时,恒有 f ?( x) ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上 的“ J 函数”. (Ⅰ)当函数 f ( x) ? mex ln x 是定义域上的“ J 函数”时,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g ( x) 为 ?0,??? 上的“ J 函数”. (ⅰ )试比较 g (a ) 与 e
a ?1

; g (1) 的大小(其中 a ? 0 ) (ⅱ )求证:对于任意大于 1 的实数 x1 , x2 , x3 ,…, xn 均有 g (ln(x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn )) ? g (ln x1 ) ? g (ln x2 ) ? ? g (ln xn ) .

-3-

高三(上)期末联考数学(文科)试题参考答
二、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1.A 2. A 3.C 4.D 5.A 6. B 7. C 8.A 9. B 10. D 11. C 12. D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答案卷的相应位置. 13. 13 14. 0 15. 4 16. {x | x ? ?1 或 x ? 2} 四、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解:(Ⅰ)由已知可得分数在 ?110,130?范围内的共有 20 ? 0.45 ? 9 人,而在 ?110,120?内的有 4 人, 所以在 ?120,130?内的学生人数共有 9 ? 4 ? 5 人.在 ?90,110? 内的共有 20 ? 4 ? 9 ? 7 人, 故

a?

7 ? 0.35 20

……………………………………

………4 分 (Ⅱ)设 M 表示事件“从得分在 ?130,150?内的学生随机选 2 名学生的得分,其中 2 名学生

,150? 范 围 内 的 成 绩 共 有 4 的 平 均 分 不 低 于 140 分 ” , 由 茎 叶 图 可 知 得 分 在 ?130 个. ……………………6 分 ,138? ,?136,139? ,?136,148? ,?138 ,139? ,?138 ,148? , 则选取成绩的所有可能结果为 ?136

-4-

?139,148? ,
个 基 本 事 件. ………………………………………9 分 M 2 ? 140 ? 280 ,所以可能结果为: ?136,148? , 事件 ,也就是两个成绩之和大于 共 有 6

?138,148?



个. ……11 分 所 以

共 3 …………………………………………………………… 求 事 件 的 概 率 为

?139,148?



3 1 P( M ) ? ? 6 2
18.解:(Ⅰ)设公差为 d ,由已知得 ?

………………………………………12 分

?4a1 ? 6d ? 14,
2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d )

解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去) , 故 )

? a1 ? 2 an ? n ? 1 .


, ……………………………………………………4 分 Ⅱ

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2


…………………………………………6

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ??? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2) n n ? ? (n ? 2) , ? ? , 2(n ? 2) 2 2(n ? 2) 1 1 ?? ? 4 2 n? ?4 n
, 即

…………………

…………8 分

?Tn ? ?an?1 ,?


??

1 n ? 2 2 n ? 4n ? 4
恒 成

立.

………………………………10 分

1 ?? ? 16

?











19.解:(Ⅰ)由图像可知, A ? 2 , 函数 f ( x ) 的周期 T ? ? , 又 f ( ) ? 2sin(2 ?

1 . 16

……………………………………………12 分

T?

2?

?

且 ? ? 0 ?? ? 2

?

?
6

? ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6
…………4 分 由 2 k? ?

6

? ? ) ? 2 , | ? |?

? ? 解得 ? ? 2 6
……………………………

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? z ) ,

解得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? z )
间 为

f ( x) 函 数 的 单 调 递 增 ? ? ?? ? k? ? , k? ? ? (k ? z ) ………………………………………..6 分 ? 3 6? ?
-5-



(Ⅱ)



f ( A) ? 1



A?

?
3

2sin(2 A ? ) ? 1 6

?







……………………………………….7 分

sin B ? 4sin(? ? C )







s

B? i

n C

, 4

则s

i

n

b ? 4c , ……………………………………….8 分 1 ? 又 ?ABC 的面积为 3 ,所以 S ? bc sin ? 3 ,即 bc ? 4 2 3


b?4 c?
….10 分 则

以 , ……………………………………

a 2 ? 42 ? 12 ? 2 ? 4 ?1? cos

?
3

? 13

,





……………………………………….12 分 20. 解:(Ⅰ)当点 E 为 DC 边的中点时, EF 与平面 PAC 平行. 在 ?PDC 中, E 、 F 分别为 DC 、 PD 的中点, ? EF / / PC , 又 EF ? 平面 PAC ,而 PC ? 平面 PAC , ? EF / / 平面 PAC ; …………………………………..4 分 (Ⅱ)证明: PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD

a ? 13

ABCD 是矩形,? CD ? AD AD AP ? A ,? CD ? 平面 PAD AF ? 又 平 面 PAD ? A ? F C .……………………………………………………..6 分 D 又 PA ? AD ,点 F 是 PD 中点,? AF ? PD , 又 CD PD ? D ? AF ? 平面 PCD , EF ? 平 面 AF ? EF P C D ,? ………………………………………………………….8 分 (Ⅲ) 作 FG / / PA 交 AD 于 G , 则 FG ? 平 面 A B C ,D 且 1 FG ? ………………………….9 分 2
又S
ABE

? PA ? CD

G

?

3 2

1 3 , ? VB ? AEF ? VF ? AEB ? S ABE FG ? 3 12 B? A 三 棱 锥 的 F 体E ? 3 ………………………………………………12 分 12





21. 解 : 法 一 : (Ⅰ) 依 题 意 , 由 抛 物 线 定 义 知 轨 迹 C 的 方 程 为

x2 ? 4 y

.……………………………4 分

(Ⅱ) 抛 物 线

C

的 方 程 为

x2 ? 4 y

, 即

y?

1 2 x 4

, 求 导 得

y? ?

1 x 2

..……………………………5 分

-6-

x2 x12 , y2 ? 2 , 4 4 1 1 则切线 PA , PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 2 2 x x x2 所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) , 即 y ? 1 x ? 1 ? y1 , 即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 , 2 2 2 PB 同 理 可 得 切 线 的 方 程 为 ..……………………………6 分 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0 因为切线 PA , PB 均过点 P( x0 , y0 ) ,所以 x1 x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,其中 y1 ? 所以 x1 , x2 为方程 xx0 ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解 所 以 直 线

AB

x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
① 当 点

的 方 程 .……………………………8 分 线



x ? 4 y ? ? 6;

1 3 P( , ? ) 2 2 0



,



AB









………9 分

② 由抛物线定义知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 所以 AF ? BF ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ?1 联立方程 ? 故
2 y1 y2 ? y0
2 2

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

2 2 消去 x 整理得 y 2 ? (2 y0 ? x0 ) y ? y0 ? 0,
2 y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0



……………………10 分

所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 又因为点 P( x0 , y0 ) 在直线 上,所以 x0 ? y0 ? 2
2 2 2 所以 AF ? BF ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2( y0 ? ) ?
2

1 2

9 2

所 以 , 当 y0 ? ?

1 时 , 2

A F ?

B取 F 得 最 小 值 , 且 最 小 值 为

9 2

.………………………………12 分 法二: (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,依题意: MF ? y ?1 即 x ? ( y ? 1) ? y ? 1
2 2

化简得 x2 ? 4 y 则 轨 迹

C









x ? 4y
2

.………………………………………….4 分

(Ⅱ) ① 依题意过点 P ( , ? ) 作曲线 C 的切线,可知切线的斜率存在,设为 k , 则 切 线 的 方 程 为

1 2

3 2

y?

3 1 ? k (x ? ) 2 2





y ? kx ?

k 3 ? , .………………………………………….5 分 2 2

-7-

k 3 ? ? y ? kx ? ? 联立 ? ① 2 2 消 y 得: x2 ? 4kx ? 2k ? 6 ? 0 ? x2 ? 4 y ? 3 由 ? ? 16k 2 ? 4(2k ? 6) ? 0 解得 k ? ?1 或 k ? 2 将 k ? ?1 代入① 式可得 x ? ?2 ,即 A(?2,1) 3 9 将 k ? 代入① 式可得 x ? 3 ,即 B (3, ) 2 4 AB 直 线 的 方 程 ? ………………………………………………..8 分 x ? 4y ? 6 ? 0 ;
② 一
x

为 法

同 ………………………………………………..12 分

x 22.解:(Ⅰ )由 f ( x) ? me ln x ,可得 f ?( x) ? m(e ln x ?

ex ) ,因为函数 f ( x) 是 J 函数, x ex m ex ex x ? 0, ) ? m ex ln x ,即 ? 0 ,因为 所以 m(e ln x ? x x x m?0 所 以 , 即 的 取 值 范 围 为 m ?0,??? . ……………………………………………………………4 分 g ( x) g ?( x) ? g ( x) ? 0, (Ⅱ )① 构造函数 h( x ) ? , x ? ?0,??? ,则 h ?( x) ? x e ex h( x ) 可 得 为 上 的 增 函 ?0,???
……………………………………………………………6 分

数,

g ( a ) g (1) ? ,得 g (a) ? e a?1 g (1) a e e g ( a ) g (1) a ?1 当 a ? 1 时, h(a) ? h(1) ,即 a ? ,得 g (a) ? e g (1) e e g ( a ) g (1) 0 ? a ?1 ? h(a) ? h(1) 当 时 , , 即 e ea a ?1 .……………9 分 g (a) ? e g (1) ② 因 为 , 所 x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn ? x1
当 a ? 1 时, h(a) ? h(1) ,即







ln(x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? ln x1 ,

……………10 分

由① 可知 h(ln(x1 ? x2 ? ? ? xn )) ? h(ln x1 ) ,所以 整理得

x1 g (ln(x1 ? x2 ? ? ? xn )) ? g (ln x1 ) , x1 ? x2 ? ? xn x2 g (ln(x1 ? x2 ? ? ? xn )) 同 理 可 得 , …, ? g (ln x2 ) x1 ? x2 ? ? xn xn g (ln(x1 ? x2 ? ? ? xn )) ? g (ln xn ) . x1 ? x2 ? ? xn 把上面 n 个不等式同向累加可得 ……………………… g (ln(x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn )) ? g (ln x1 ) ? g (ln x2 ) ? ? g (ln xn )
……14 分

g (ln(x1 ? x2 ? ? ? x n )) g (ln x1 ) ? , e ln x1 e ln( x1 ? x2 ??xn )

-8-


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