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高三数学数列专题复习策略


2012 年潍坊市高 中数学二轮复习 研讨会交流材料

高三数学数列专题复习策略

山东省临朐第六中学
刘福明 张红梅 许美文

高三数学数列专题复习的几点建议
高三数学二轮专题复习是由“量的积累”到“质的飞跃”的过程,是进一步 完善学生的立体知识网络结构, 全面提升能力的关键时期,我们临朐六中高三数 学备课组就如何搞好数列专题复习有几点不成熟的想法与大家探讨一下: 一. 数列复习计划:

1 课时划分 序号 第一课时 第二课时 第三课时 课题 等差数列与等比数列 数列的通项与求和 与数列交汇的综合应用

说明: 每课时之间穿插配套限时训练或专题过关检测 2 复习内容: (1)等差数列、等比数列的基础知识(定义、通项公式、前 n 项和公式) ,及 能转化成等差数列、等比数列的递推数列的通项公式; (2) 等差数列与其他知识点的综合运用,能在具体的问题情境中,识别数

列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。 (3)数列蕴含着丰富的数学思想,包括函数与方程、转化与化归、分类讨 论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法,整体代换等基本数学方法。 二.一轮复习中存在的问题 1、忽视数列中 n 的取值范围,导致数列中的单调性与函数的单调性混淆。 2、已知数列的前 n 项和求 a n 时,忽视 n=1 的情况,直接用 s n ? s n ?1 表示 a n ; 应注意 a n 、 s n 的关系是分段的。 3、 等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,不能灵活利用整体代 换等方法进行基本运算。 4、易忽视等比数列的性质,导致增解、漏解现象,如忽视等比数列的奇数项 或偶数项符号相同而造成增解; 在等比数列的求和问题中忽视公比为 1 的情况导 致漏解。

2

三.加强研究,明确方向: 1. 加强两纲一题的研究,把握数列复习的重点

数列是一种特殊的函数,是初等数学与高等数学的一个重要衔接点,在高中教 材中既具有独特性, 又具有较强的综合性。近几年高考考查的重点是等差与等比 数列的定义, 通项求和及其性质的综合应用等, 数列在高考中的分值占 10%左右。 高考对本专题内容的考查各种题型都有,客观题主要考查等差、等比数列 的性质利用方程思想求 a1 s n ,q,d,s n ,n,a n 等一些基本元素;解答题一般“大 而全” ,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查。等差、等比数列 的概念、通项公式、性质、前 n 项和公式始终是考查的重点,常以选择题、填空 题的形式出现,与函数、方程、不等式、三角函数、几何图形等知识相结合的综 合题一般以解答题为主, 难度中等,主要考查灵活运用两种数列的有关知识分析 问题、解决问题的能力。 2.加强信息研究,准确把握高考动向 (1)数列的概念与运算在高考试题中单独出现的频率并不高,常与其他知 识综合进行考查。主要命题点为:数列概念的创新定义性问题、数列的最大(最 小)项问题、数列的通项公式或递推公式、数列的前 n 项和 s n 与 a n 的关系等, 而求数列的通项公式、 研究数列的单调性、周期性和数列的递推关系式的应用是 命题的热点,一般会在选择题或填空题中出现,且常考常新;数列的前 n 项和 s n 与 a n 的关系是高考命题的重点,往往渗透在数列的解答题中。等差、等比数列 是数列的两个基本的组成部分,在概念、公式和性质上有许多密切的联系,因为 大部分的数列问题最后都需要转化为等差、等比数列来解决,所以说本部分内容 在高考中的重要性就不言而喻。 (2)数列的求和在数列问题中占有重要的位置,也是考纲明确要求掌握的 内容,每年高考都会考查,在填空题、选择题和解答题中都可能出现。对数列的 求和问题, 主要是转化为等差数列或等比数列的求和问题,有时也转化为已知求 和公式的其他数列; 对非等差数列、 等比数列的求和, 常用的方法有: 拆项分组、 裂项相消、倒序相加、错位相减等。数列的求和问题虽然每年都会考查到,且常 考常新, 因此有效化归问题是正确解题的前提, 合理构建方法是成功解题的关键。

3

(3)数列与其他数学知识的交汇题一直是高考的热点,由于数列既具有函数 的特征,又能构成独特的递推关系,这使得它与函数、方程、不等式、三角、解 析几何知识有着密切的联系。因此数列的综合题呈现出综合性强、立意新、角度 活、难度大的特点。虽然近几年来数列的解答题的难度有下降的趋势,但是也不 排除数列试题难度增加的可能,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,探 索性问题是高考的热点常在数列解答题中出现,应用题有时也用到数列的知识。 四.数列复习打算 1.突出复习重点 (1) 等差、等比数列的性质是两种数列的基本规律的深刻体现,是解决等差、 等比数列问题的既快捷又方便的工具,要有意识去应用,在应用性质时,要注意 性质的前提条件,有时需要进行适当的变形。处理好性质与基本量的关系,一方 面“巧用性质,减少运算量” ,在等差等比数列的计算中非常重要,另一方面应 用“基本量法”树立“目标意识”“需要什么,就求什么” , ,充分合理的运用条 件,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果。 (2)数列的通项是数列的核心,也是我们研究数列性质、求解数列前 n 项和 的依据。 (a)从数列的通项公式的形式上,可以明确函数与数列的联系与区别,掌握 利用函数知识研究数列问题的思路和方法, 把握数列的单调性和函数单调性的联 系与区别; (b)熟练掌握已知数列的前 n 项和 s n 求其通项 a n 的方法,特别要注意
a n = s n ? s n ?1 成立的条件是 n≥2;

(c)等差数列与等比数列的通项公式是解决这两类最基本的数列的依据,准 确把握其通项公式的函数特征, 要从通项公式的形式上掌握这两类数列的本质特 征——等“差”或等“比” ;根据通项公式准确把握这两类数列的重要性质,如 当 m+n=p+q 时,若 ? a n ? 为等差数列,则有 a m + a n = a p ? a q ;若 ? b n ? 为等比数列, 则 bm ? b n ? b p ? b q 等; (d)准确记忆等差数列与等比数列前 n 项和公式,注意等差数列求和公式与 性质的结合;求解等比数列的 n 项和时,注意验证公比 q 是否为 1;

4

(e)掌握有递推关系求解数列通项中常用的构造法,即通过式子的灵活变形 构造等差数列或等比数列求解的方法;数列通项是数列求和的依据,掌握根据通 项公式的特征利用错位相减、 裂项相消以及分组求和的求和方法,准确进行运算 是关键; (f)数列的通项公式也是解决数列的综合应用的关键,要灵活利用通项公式 建立数列与函数的关系; 要利用通项公式的变形,将利用函数建模的方法用到数 列实际应用问题的解决过程中。 2.明确复习要点 (1) 证明数列 ?a n ? 是等差或等比数列常用定义, . 即通过证明 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 或
a n ?1 an ? an a n ?1

而得。

(2) .在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法, 但有时灵活地运用性质,可使运算简便。 (3) .对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 (4) .注意一些特殊数列的求和方法。 (5) .注意 s n 与 a n 之间关系的转化。如:
an =

s1 , s n ? s n ?1 ,

n ?1 n?2



a n = a1 ?

? (a
k ?2

n

k

? a k ?1 ) .

(6) .数列的综合题形式多样,解题思路灵活,但其本质离不开数列的概念和性 质,离不开数学思想方法,只要能准确把握这两方面,就能迅速打通解题思路. (7) .解综合题的成败在于审清题目,弄懂问题的来龙去脉,透过给定信息的表 象,去把握问题的本质,揭示问题的内在联系,从而明确解题方向,形成准确的 解题思路. (8) 教学中应引导学生通过解题后的反思, . 找准自己的问题, 总结成功的经验, 吸取失败的教训,从而增强学生解综合性问题的信心和勇气,提高其分析问题和 解决问题的能力. 3.对学生进行有效的学法指导 (1)教给学生反思自己的学习行为的方法、使其形成反思的习惯 ; (2)教给学生自己查漏补缺、梳理知识、形成知识网络的方法; (3)指导学生学会审题,利用好自己的 “错误” ; (4)重视对学生解题规范的培养,使其摆脱“会而不对,对而不全”现象. 总之,数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考 中占有重要的地位。通过二轮复习,使学生真正能够形成知识系统化网络化,达 到全面提升能力的目的。 以上就是我校高三二轮数列复习的几点具体做法, 不足之处恳请各位同行批 评指正。

5

等差数列与等比数列
主备人:张红梅 课题 审核人:刘福明 等差数列与等比数列 时间: 课型 复习课

专题定位

理解等差(比)数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式, 并能运用公式解决问题。高考中多以选择题、填空题或解答题第一问的形 式出现,属于中低档题. 等差(比)数列的基本运算 等差(比)数列的性质 等差与等比数列的判断与证明 1.等比数列前 n 项和公式中若不确定 q 是否等于 1 应分 q=1 和 q≠1 两种 情况讨论.
a n ?1 an ?q

考纲 要求

要点点拨

易错点

2. an+1-an =d (d 为常数) 或 成立

(q 为常数) 是否对一切正整数均

题型回顾
sn

自我反思
s5

1. 设 A.11 2.设
sn

为等比数列 B.5

?an ? 的 前 n 项 和 , 8
C.-8 D.11

a 2 ? a5

= 0 , 则 s2 = (

)

为等差数列

? a n ? 的前 n 项和,若 s 3 =3, s 6 =24,则 a 9 =________.
1
n ?1

( ) 1 ?a ? a s s s 3.数列 n 中, 1 = ,前 n 项和 n 满足 n ?1 - n = 3

3

(1)求数列
s

? a n ? 的通项公式 a n 以及前 n 项和 s n ;
s 2 ? s5

(2)若 1 ,t( s1 ? s 2 ),3(

)成等差数列,求实数 t 的值.

思考:通过以上各小题请同学们考虑本节课要复习哪些主要内容?

6

课堂讲练
题组一 等差(比)数列基本量的运算

自我反思

1.(2011 福建高考)已知等差数列 (1)求数列 (2)若数列

? a n ? 中, a 3

? ?3

.

? a n ? 的通项公式;

? a n ? 的前 k 项和 s k =-35,求 k 的值.

2.设正项等比数列
a

? a n ? 的前 n 项和为 s n ,已知 a 3 =4, a 4 a 5 a 6 = 212 .

(1)求首项 1 和公比 q 的值; (2)若 n = 2 -1,求 n 的值.
s
10

小结:

7

题组二

等差(比)数列的性质

1. (2010〃全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列 则
a 4 a5 a 6

? a n ? 中, a1 a 2 a 3 =5, a 7 a8 a 9 =10,
C.6 D.4 2

=(

)

A.5 2

B.7

2.已知正数组成的等差数列 ( ) A.25

? a n ? , 前 20 项 和 为 100 , 则 a 7 ? a14 的 最 大 值 是
C.100 D.不存在

B.50

小结:

题组三

等差(比)的判断或证明

1. 在数列 (1)设
bn ?

? a n ? 中, a1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 2 n .
an 2
n ?1

证明:数列

.

? bn ? 是等差数列;

(2)求数列

? a n ? 的前 n 项和 s n .

8

2.已知数列 3bn-
b n ?1

? a n ? 满足

a1 ?

1 4

, a2 ?

3 4

, a n ? 1 ? 2 a n ? a n ?1

(n≥2,n∈N*),数列

? bn ? 满足 b =1,
1

2

=n(n≥2,n∈N*).

(1)求数列

? a n ? 的通项公式;
bn

(2)证明:数列{



an

}为等比数列,并求出数列

? bn ? 的通项公式.

小结:

9

当堂检测 1.(2011 年高考天津卷)已知
sn

? a n ? 为等差数列, 其公差为-2, a 7 是 a 3与 a 9 的等比中项, 且
)



? a n ? 的前 n 项和,n∈N*,则 S 的值为( 10
B.-90 C.90

A.-110

D.110
a1 ? 1 2 , a4 ? ?4

2.(2011 年高考北京卷)在等比数列
| a1 | + | a 2 | + ? + | a n |

? a n ? 中,若

,则公比 q=________;

=________.
? 2a n ?1 ? 2 ? 3
n

3.在数列
bn ?

? a n ? 中,a =-3, a n
1

(n≥2,且 n∈N ).

*

an ? 3 2
n

(1)设

(n∈N*),证明:数列
sn

? bn ? 是等差数列;

(2)求数列{an}的前 n 项和

.

课 堂 感 本节课你学到了哪些知识?写一写本节课你的收获吧! 悟 1、 2、 3、

10

课后巩固
1.(2011·江西高考)设 ? a n ? 为等差数列,公差 d=-2, s n 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( (A)18 ) (B)20 (C)22 (D)24
2

2.(2011·聊城模拟)已知各项不为 0 的等差数列 ? a n ? ,满足 2a3-a7 +2a11=0, 数列 ? b n ? 是等比数列,且 b7 ? a 7 ,则 b6b8=( (A)2 (B)4 (C)8 ) (D)16

3.(2011·辽宁高考) s n 为等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=______. 4.若数列 ? a n ? (n∈N*)为各项均为正数的等比数列, ? lg a n ? 成等差数列,公差 d=lg3, 且 ? lg a n ? 的前三项和为 6lg3,则{an}的通项公式为__________ 5.(2011·福州模拟)已知等差数列 ? a n ? (n∈N*)的前 n 项和为 s n ,且满足:a2+a4=14, S7=70. (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)设 b n ?
2S n ? 48 n , 则数列 ? b n ? 的最小项是第几项?并求出该项的值.

n * 6.在数列 ? a n ? 中,a1=-3, a n ? 2a n ?1 ? 2 ? 3 (n≥2,且 n∈N ).

(1)设 b n ?

an ? 3 2
n

(n∈N*),证明:数列 ? b n ? 是等差数列;

(2)求数列{an}的前 n 项和 s n .

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