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福建省莆田市高二数学下学期期末试卷文解析


2016-2017 学年福建省莆田高二(下)期末数学试卷(文科)

一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|x ﹣2x≤0},B={﹣1,0,1,2},则 A∩B=( A.[0,2] B.{0,1,2} C. (﹣1,2) D.{﹣1,0,1} )
2



2.命题“? m∈[0,1],x+ ≥2”的否定形式是( A.? m∈[0,1],x+ <2 B.? m∈[0,1],x+ ≥2

C.? m∈(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,x+ ≥2 D.? m∈[0,1],x+ <2

3.函数 A. (0,+∞) B. (1,+∞)

的定义域是(



C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞) )

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

A.2

B.4

C.8

D.16

5.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为 和 ,甲、乙两人各射击一次,目标被 命中的概率为( A. B. ) C. D.

6.下列函数 f(x)中,满足“? x1x2∈(0,+∞)且 x1≠x2 有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] <0”的是( )
1

A.f(x)= ﹣x B.f(x)=x C.f(x)=lnx+e D.f(x)=﹣x +2x 7.曲线 y=x?ex 在 x=1 处切线的斜率等于( A.2e B.e C.2 D.1 ) C. (﹣∞,﹣3)∪(4,+∞) D. (﹣∞, ﹣3) ∪ ( , )

3

x

2

8.不等式 A. ( ,+∞) +∞)

>0 的解集是( B. (4,+∞)

9.已知命题 p:若 a>|b|,则 a2>b2;命题 q:若 x2=4,则 x=2.下列说法正确的是( A.“p∨q”为真命题 B.“p∧q”为真命题 C.“¬p”为真命题 D.“¬q”为真命题



10.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=3 ﹣1,则 f(9)=( A.﹣2 B.2 C. ) D. 的最小值为( )

x

11.已知实数 m、n 满足 2m+n=2,其中 mn>0,则 A.4 B.6 C.8
2

D.12 )

12. 函数 f (x) =ax +2 (a﹣3) x+1 在区间[﹣2, +∞) 上递减, 则实数 a 的取值范围是 ( A. (﹣∞,0) B.[﹣3,+∞) C.[﹣3,0] D. (0,+∞)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.“x>1”是“x2>x”的 条件. . . .

14.若 ab=0,则 a=0 或 b=0 的否命题 15.已知 f(x)=
3

,则 f(f(0) )=

16.已知函数 f(x)=ax +bx+1,若 f(a)=8,则 f(﹣a)=

三、解答题(每小题 12 分,共 60 分) 17.已知复数 z=﹣ (1)复数 的模; i,其共轭复数为 ,求

2

(2)

的值.

18.设集合 A={x|﹣1<x<2},B={x|2a﹣1<x<2a+3}. (1)若 A? B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B=?,求 a 的取值范围. 19.“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价 x 元和销售量 y 杯之间的一组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 5 12 5.5 10 6.5 6 7 4

通过分析,发现销售量 y 对奶茶的价格 x 具有线性相关关系. (Ⅰ)求销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程; (Ⅱ)欲使销售量为 13 杯,则价格应定为多少?

注 : 在 回 归 直 线

y=

中 ,



=





=146.5.

20.已知函数 f(x)=x2﹣ax﹣aln(x﹣1) (a∈R) (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 21.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)已知 f(x)在定义域上为减函数,若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k) <0(k 为常数)恒成立.求 k 的取值范围. 是奇函数.

四、选做题(二选一,10 分)[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标 方程为 ρ sin2θ =4cosθ ; (1)求曲线 C 的直角坐标方程;

3

(2)若直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,设点 P(1,1) ,直线 l 与曲线 C 相

交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值. 23.已知函数 f(x)=|x+2|+|x| (1)解不等式 f(x)≤4; (2)若对? x∈R,恒有 f(x)>|3a﹣1|成立,求 a 的取值范围.

4

2016-2017 学年福建省莆田二十五中高二(下)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|x ﹣2x≤0},B={﹣1,0,1,2},则 A∩B=( A.[0,2] B.{0,1,2} C. (﹣1,2) D.{﹣1,0,1}
2



【考点】1E:交集及其运算. 【分析】解关于 A 的不等式,求出 A、B 的交集即可. 【解答】解:A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2},B={﹣1,0,1,2}, 则 A∩B={0,1,2}, 故选:B.

2.命题“? m∈[0,1],x+ ≥2”的否定形式是( A.? m∈[0,1],x+ <2 B.? m∈[0,1],x+ ≥2



C.? m∈(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,x+ ≥2 D.? m∈[0,1],x+ <2 【考点】2J:命题的否定. 【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“? m∈[0,1],x+ ≥2”的否 定形式是:? m∈[0,1],x+ <2. 故选:D.

3.函数 A. (0,+∞) B. (1,+∞)

的定义域是(



C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞)

【考点】33:函数的定义域及其求法. 【分析】由题意可得 2x﹣1>0,且 x>1,由此求得函数的定义域.

5

【解答】解:∵函数 解得 x>1,故函数的定义域为 {x|x>1}, 故选 B.

,∴2x﹣1>0,且 x>1.

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(



A.2

B.4

C.8

D.16

【考点】E7:循环结构. 【分析】列出循环过程中 S 与 K 的数值,不满足判断框的条件即可结束循环. 【解答】解:第 1 次判断后 S=1,k=1, 第 2 次判断后 S=2,k=2, 第 3 次判断后 S=8,k=3, 第 4 次判断后 3<3,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:8. 故选 C.

5.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为 和 ,甲、乙两人各射击一次,目标被 命中的概率为( A. B. ) C. D.

【考点】C5:互斥事件的概率加法公式;C9:相互独立事件的概率乘法公式.
6

【分析】对立事件的概率之和为 1,相互独立事件的概率用乘法法则. 【解答】解:∵甲、乙两人各射击一次,目标没被命中的概率为(1﹣ )×(1﹣ )= , ∴甲、乙两人各射击一次,目标被命中的概率为 1﹣ = . 故选 A.

6.下列函数 f(x)中,满足“? x1x2∈(0,+∞)且 x1≠x2 有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] <0”的是( )
3 x 2

A.f(x)= ﹣x B.f(x)=x C.f(x)=lnx+e D.f(x)=﹣x +2x 【考点】3F:函数单调性的性质. 【分析】由已知可得满足条件的函数在(0,+∞)上为减函数,分析四个答案中函数的单调 性,可得结论. 【解答】解:若“? x1,x2∈(0,+∞)且 x1≠x2, (x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0”, 则函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数, A 中,f(x)= ﹣x 在(0,+∞)上为减函数, B 中,f(x)=x 在(0,+∞)上为增函数, C 中,f(x)=lnx+ex 在(0,+∞)上为增函数, D 是,f(x)=﹣x +2x 在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数, 故选:A.
2 3

7.曲线 y=x?ex 在 x=1 处切线的斜率等于( A.2e B.e C.2 D.1



【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出函数的导数,然后求解切线的斜率即可. 【解答】解:曲线 y=x?e ,可得 y′=e +xe , 曲线 y=x?e 在 x=1 处切线的斜率:e+e=2e. 故选:A.
x x x x

8.不等式

>0 的解集是(



7

A. ( ,+∞) +∞)

B. (4,+∞)

C. (﹣∞,﹣3)∪(4,+∞) D. (﹣∞, ﹣3) ∪ ( ,

【考点】7E:其他不等式的解法. 【分析】首先转化为整式不等式, (2x﹣1) (x+3)>0,然后求解集. 【解答】解:原不等式等价于(2x﹣1) (x+3)>0, 所以不等式的解集为(﹣∞,﹣3)∪( ,+∞) ; 故选 D.

9.已知命题 p:若 a>|b|,则 a2>b2;命题 q:若 x2=4,则 x=2.下列说法正确的是( A.“p∨q”为真命题 B.“p∧q”为真命题 C.“¬p”为真命题 D.“¬q”为真命题 【考点】2E:复合命题的真假. 【分析】先判定命题 p 与 q 的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出答案. 【解答】解:命题 p:若 a>|b|,则 a >b ;是真命题. 命题 q:若 x2=4,则 x=±2,因此是假命题. ∴说法正确的是“p∨q”为真命题. 故选:A.
2 2



10.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=3x ﹣1,则 f(9)=( A.﹣2 B.2 C. ) D.

【考点】3L:函数奇偶性的性质. 【分析】根据题意,由 f(x﹣2)=f(x+2) ,分析可得 f(x)=f(x+4) ,即可得函数 f(x) 的周期为 4,则有 f(9)=f(1) ,由函数的解析式以及奇偶性可得 f(1)的值,即可得答 案. 【解答】解:根据题意,函数 f(x)满足 f(x﹣2)=f(x+2) ,即 f(x)=f(x+4) , 则函数 f(x)的周期为 4, f(9)=f(1) , 又由函数 f(x)为奇函数,则 f(1)=﹣f(﹣1) ,
8

又由当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=3 ﹣1, 则 f(﹣1)=3﹣1﹣1= ﹣1=﹣ ; 则有 f(9)=f(1)=﹣f(﹣1)= ; 故选:D.

x

11.已知实数 m、n 满足 2m+n=2,其中 mn>0,则 A.4 B.6 C.8 D.12

的最小值为(



【考点】7F:基本不等式. 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵实数 m、n 满足 2m+n=2,其中 mn>0, ∴ = = = ,当且仅当

,2m+n=2,即 n=2m=2 时取等号. ∴ 的最小值是 4.

故选 A.

12. 函数 f (x) =ax +2 (a﹣3) x+1 在区间[﹣2, +∞) 上递减, 则实数 a 的取值范围是 ( A. (﹣∞,0) B.[﹣3,+∞) C.[﹣3,0] D. (0,+∞)

2



【考点】3W:二次函数的性质. 【分析】由于函数解析式的二次项系数 a 不确定,故要分 a=0,a>0 和 a<0 时,三种情况 结合二次函数和一次函数的图象和性质进行分析,最后综合讨论结果,可得答案. 【解答】解:当 a=0 时,f(x)=﹣6x+1, ∵﹣6<0,故 f(x)在 R 上单调递减 满足在区间[﹣2,+∞)上递减, 当 a>0 时,二次函数在对称轴右侧递增,不可能在区间[﹣2,+∞)上递减, 当 a<0 时,二次函数在对称轴右侧递减, 若函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 在区间[﹣2,+∞)上递减, 仅须﹣ ≤﹣2,解得﹣3≤a<0
2

9

综上满足条件的实数 a 的取值范围是[﹣3,0] 故选:C.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.“x>1”是“x >x”的
2

充分不必要 条件.

【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由题意把 x2>x,解出来得 x>1 或 x<0,然后根据命题 x>1 与命题 x>1 或 x<0, 是否能互推,再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断. 【解答】解:∵x2>x, ∴x>1 或 x<0, ∴x>1? x >x,
2

∴x>1 是 x >x 充分不必要, 故答案为充分不必要.

2

14.若 ab=0,则 a=0 或 b=0 的否命题 若 ab≠0,则实数 a≠0 且 b≠0 . 【考点】25:四种命题间的逆否关系. 【分析】命题的否命题是把命题的条件否定做条件,结论否定做结论,根据规则写出否命题 即可 【解答】解:命题“若 ab=0,则实数 a=0 或 b=0”的否命题是“若 ab≠0,则实数 a≠0 且 b ≠0” 故答案为:若 ab≠0,则实数 a≠0 且 b≠0

15.已知 f(x)= 【考点】3T:函数的值.

,则 f(f(0) )= ﹣2 .

【分析】求出 f(0)=1,从而 f(f(0) )=f(1) ,由此能求出结果. 【解答】解:∵f(x)= ∴f(0)=02+1=1, f(f(0) )=f(1)=﹣2×1=﹣2.
10



故答案为:﹣2.

16.已知函数 f(x)=ax3+bx+1,若 f(a)=8,则 f(﹣a)= ﹣6 . 【考点】3T:函数的值. 【分析】由已知得 f(a)=a +ab+1=8,从而 a +ab=7,由此能求出 f(﹣a) . 【解答】解:∵函数 f(x)=ax +bx+1,f(a)=8, ∴f(a)=a4+ab+1=8, ∴a4+ab=7, ∴f(﹣a)=﹣a4﹣ab+1=﹣7+1=﹣6 故答案为:﹣6.
3 4 4

三、解答题(每小题 12 分,共 60 分) 17.已知复数 z=﹣ (1)复数 的模; (2) 的值. i,其共轭复数为 ,求

【考点】A7:复数代数形式的混合运算;A8:复数求模. 【分析】 (1)把复数 z=﹣ (2)由题意可得 = ﹣ i 代入 ,化简后由复数的模长公式可得; ,代入要求的式子化简即可. i,

【解答】解: (1)∵复数 z=﹣

∴ =

=

=

=





∴|z|= (2)由题意可得 = ﹣

=1; ,

11



=(



) = ﹣ +2×

2

i=



18.设集合 A={x|﹣1<x<2},B={x|2a﹣1<x<2a+3}. (1)若 A? B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B=?,求 a 的取值范围. 【考点】18:集合的包含关系判断及应用;1E:交集及其运算. 【分析】 (1)根据 A? B,建立条件关系即可求实数 a 的取值范围. (2)根据 A∩B=?,建立条件关系即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)集合 A={x|﹣1<x<2},B={x|2a﹣1<x<2a+3}. ∵A? B, ∴ 解得: , . ,0]

故得实数 a 的取值范围是[ (2)∵A∩B=φ , ∴2a﹣1≥2 或 2a+3≤﹣1, 解得: 或 a≤﹣2.

故得实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞) .

19.“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价 x 元和销售量 y 杯之间的一组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 5 12 5.5 10 6.5 6 7 4

通过分析,发现销售量 y 对奶茶的价格 x 具有线性相关关系. (Ⅰ)求销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程; (Ⅱ)欲使销售量为 13 杯,则价格应定为多少?

12

注 : 在 回 归 直 线

y=

中 ,



=



. 【考点】BK:线性回归方程.

=146.5.

【分析】 (1)根据回归系数公式计算回归系数; (2)把 y=13 代入回归方程计算 x. 【解答】解: (Ⅰ) = =6, = =8.

=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182,

=52+5.52+6.52+72=146.5,

=

=﹣4,

=8+4×6=32. =﹣4x+32.

∴销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程为 (Ⅱ)令﹣4x+32=13,解得 x=4.75. 答:商品的价格定为 4.75 元.

20.已知函数 f(x)=x ﹣ax﹣aln(x﹣1) (a∈R) (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)首先求出函数的定义域,把 a=1 代入函数解析式后,求出函数的导函数,由导 函数等于 0 求出函数的极值点, 结合定义域可得函数在定义域内取得最值的情况, 从而求出 函数的最值. (2)把原函数求导后,对参数 a 进行分类,根据 a 的不同取值得到导函数在不同区间内的 符号,从而得到原函数的单调区间. 【解答】解: (1)函数 f(x)=x2﹣ax﹣aln(x﹣1) (a∈R)的定义域是(1,+∞)

2

13

当 a=1 时,f(x)=x ﹣x﹣ln(x﹣1) , ,

2

当 x∈ 所以 f (x)在 当 x∈ 所以 f (x)在

时,f′(x)<0, 为减函数. 时,f′(x)>0, 为增函数,

则当 x= 时,f(x)有极小值,也就是最小值. 所以函数 f (x)的最小值为 = .

(2)



若 a≤0 时,则

,f(x)=

>0 在(1,+∞)恒成立,

所以 f(x)的增区间为(1,+∞) . 若 a>0,则 ,故当 ,f′(x)= ≤0,



时,f(x)=

≥0,

所以 a>0 时 f(x)的减区间为

,f(x)的增区间为



21.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (Ⅰ)求 a,b 的值;

是奇函数.

(Ⅱ)已知 f(x)在定义域上为减函数,若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k) <0(k 为常数)恒成立.求 k 的取值范围. 【考点】3R:函数恒成立问题;3L:函数奇偶性的性质. 【分析】 (Ⅰ)利用奇函数定义 f(﹣x)=﹣f(x)中的特殊值求 a,b 的值;

2

2

14

(Ⅱ)首先确定函数 f(x)的单调性,然后结合奇函数的性质把不等式 f(t ﹣2t)+f(2t

2

2

﹣k)<0 转化为关于 t 的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)是定义在 R 的奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x) 令 x=0,f(0)=﹣f(0) ,f(0)=0 令 x=1,f(﹣1)=﹣f(1) ,

所以



解得:



(Ⅱ)经检验,当 a=2,b=1 时,f(x)为奇函数. 所以 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k) 因为 f(x)是奇函数,所以 f(t ﹣2t)<f(k﹣2t ) 因为 f(x)在 R 上单调减,所以 t ﹣2t>k﹣2t
2 2 2 2 2 2 2

即 3t ﹣2t﹣k>0 在 R 上恒成立,所以△=4+4?3k<0 所以 k<﹣ ,即 k 的取值范围是(﹣∞,﹣ ) .

四、选做题(二选一,10 分)[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标 方程为 ρ sin θ =4cosθ ; (1)求曲线 C 的直角坐标方程;
2

(2)若直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,设点 P(1,1) ,直线 l 与曲线 C 相

交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值. 【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可. (2)参数方程代入抛物线方程,利用参数的几何意义求解即可. 【解答】解: (1)由曲线 C 的原极坐标方程可得 ρ 2sin2θ =4ρ cosθ , 化成直角方程为 y2=4x.?

15

(2)联立直线线 l 的参数方程与曲线 C 方程可得 整理得 ,?



∵t1?t2=﹣15<0,于是点 P 在 AB 之间, ∴ .?

23.已知函数 f(x)=|x+2|+|x| (1)解不等式 f(x)≤4; (2)若对? x∈R,恒有 f(x)>|3a﹣1|成立,求 a 的取值范围. 【考点】R5:绝对值不等式的解法;3R:函数恒成立问题. 【分析】 (1)由条件利用绝对值的意义求得不等式 f(x)≤4 的解集. (2)根据绝地值的意义求得函数 f(x)=|x+2|+|x|的最小值为 2,故有 2>|3a﹣1|,由此 求得 a 的范围. 【解答】解: (1)函数 f(x)=|x+2|+|x|表示数轴上的 x 对应点到﹣2、0 对应点的距离之 和, 而﹣3 和 1 对应点到﹣2、0 对应点的距离之和正好等于 4,故不等式 f(x)≤4 的解集为[﹣ 3,1]. (2)函数 f(x)=|x+2|+|x|表示数轴上的 x 对应点到﹣2、0 对应点的距离之和,它的最小 值为 2, . 若对? x∈R,恒有 f(x)>|3a﹣1|成立,则有 2>|3a﹣1|,即﹣2<3a﹣1<2,求得﹣ < a<1, 故 a 的取值范围为(﹣ ,1) .

16


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