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§6.4 数列求和、数列的综合应用


6.4 数列求和、数列的综合应用 考点一 数列求和 6.(2015 湖北,18,12 分)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn} 的公比为 q.已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.




解析 (1)由题意有, 解得

101 + 45d = 100, 21 + 9d = 20, 即 1 d = 2, 1 d = 2,

1 = 9, 1 = 1, 2 或 = 9 . = 2 或 = 9 (2n + 79), = 9·
2 -1 9 1



= 2n-1, = 2 -1

.
2 -1 2 -1

(2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn= 于是 Tn=1+2+22 +23 +24 +…+
1 2 3 5 7 9 2 -1 2 -1

,

,①

Tn= + 2 + 3 + 4 + 5 +…+
2 2 2 2 2

1 3

5

7

9

2 -1 2

.②

①-②可得
1 2

Tn=2+2+22 +…+
2 +3 2 -1

1 1

1 2 -2

-

2 -1 2

=3-

2 +3 2

,

故 Tn=6-

.
+2 2 -1

7.(2015 广东,21,14 分)数列{an}满足:a1+2a2+…+nan=4(1)求 a3 的值; (2)求数列{an}的前 n 项和 Tn; (3)令 b1=a1,bn=
-1

,n∈N*.

+ 1 + 2 + 3 + … + an(n≥2),证明:数列{bn}的前 n 项和 Sn 满

1

1

1

足 Sn<2+2ln n. 解析 (1)当 n=1 时,a1=1;当 n=2 时,a1+2a2=2, 解得 a2=2; 当 n=3 时,a1+2a2+3a3= 4 ,解得 a3=4.
11 1 1

(2)当 n≥2 时,a1+2a2+…+(n-1)an-1+nan=4a1+2a2+…+(n-1)an-1=4由①-②得,nan=
2 -1 +1 2 -2

+2 2 -1

,①

,②
1 2 -1

,所以 an=

(n≥2),
1 2 -1

经检验,a1=1 也适合上式,所以 an=
1

(n∈N*).

所以数列{an}是以 1 为首项,2为公比的等比数列. 所以 Tn=
1× 1- 2 11 2 1

=2-

1 2 -1

.
1 2 -2

(3)证明:b1=1,bn= - ·

2 1

+ 1 + 2 + 3 + … + ·

1

1

1

1 2 -1

(n≥2).

当 n=1 时,S1=1<2+2ln 1. 当 n≥2 时,bn= = =
-1 -1 1 1 -1 1 1

+ 1 + 2 + 3 + … + ·an
1 1

1

1

1

+ 1 + 2 + 3 + … + ·(Tn-Tn-1) + 1 + 2 + 3 + … + ·Tn- 1 + 2 + 3 + … + ·Tn-1
1 2 1 3 1 1 1 1

= 1+ + +…+
1

·Tn- 1 + + + … +
2 3 1 1

1

1

1 -1

·Tn-1,
1 1 1

所以 Sn=1+ 1 + 2 ·T2-1·T1+ 1 + 2 + 3 ·T3- 1 + 2 ·T2+…+ 1 + 2 + 3 + … +
1 1

·Tn- 1 + 2 + 3 + … +

1

1

1 -1

·Tn-1= 1 + 2 + 3 + … + ·Tn<2 1 + 2 + 3 + … +

1

1

1

1

1

=2+2

1 2

+ 3 + … + ,
1 1 1

1

1

以下证明2+3+…+ <ln n(n≥2). 构造函数 h(x)=ln x-1+ (x>1),则 h'(x)= - 2 = 2 >0(x>1), 所以函数 h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,即 h(x)>h(1)=0. 所以 ln x>1- (x>1), 分别令 x=2,2,3,…, ln 2>1-2=2,
1 1 3 4 -1 1 1 1 1 -1

,得

ln2>1-3=3, ln3>1-4=4, …… ln
-1 4 3 1

3

2 1

>1-

-1 1

= .
3 -1 2 3

累加得 ln 2+ln2+…+ln

> + +…+ ,
1 1 1

1 1

1

即 ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)]>2+3+…+ , 所以2+3+…+ <ln n(n≥2). 综上,Sn<2+2ln n,n∈N*. 考点二 数列的综合应用 1.(2015 福建,8,5 分)若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点, 且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( A.6 B.7 C.8 ) D.9
1 1 1

答案 D 4.(2015 课标Ⅱ,16,5 分)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= 答案 -
1

.

2 6.(2015 课标Ⅰ,17,12 分)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, +2an=4Sn+3.

(1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=
1
+1

,求数列{bn}的前 n 项和.

2 2 解析 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +1 +2an+1=4Sn+1+3. 2 2 可得 +1 - +2(an+1-an)=4an+1,即 2 2 2(an+1+an)= +1 - =(an+1+an)(an+1-an).

由于 an>0,可得 an+1-an=2.
2 又1 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.

所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.(6 分) (2)由 an=2n+1 可知

bn=

1
+1

=(2 +1)(2 +3)=2

1

1

1 2 +1

- 2 +3 .

1

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn =2
1 1 3

-5 +

1

1 5

-7 + …+

1

1 2 +1

- 2 +3

1

=3(2 +3).(12 分)
2 7.(2015 重庆,22,12 分)在数列{an}中,a1=3,an+1an+λ an+1+μ =0(n∈N+).

(1)若 λ =0,μ =-2,求数列{an}的通项公式; (2)若 λ = (k0∈N+,k0≥2),μ =-1,证明:2+3
0

1

1
0 +1

< 0 +1 <2+2

1
0 +1

.

2 解析 (1)由 λ =0,μ =-2,有 an+1an=2 (n∈N+).若存在某个 n0∈N+,使得 0 =0,

则由上述递推公式易得 0 -1 =0.重复上述过程可得 a1=0,此与 a1=3 矛盾,所以对任 意 n∈N+,an≠0. 从而 an+1=2an(n∈N+),即{an}是一个公比 q=2 的等比数列. 故 an=a1qn-1=3·2n-1. (2)由 λ = ,μ =-1,数列{an}的递推关系式变为
0 2 2 an+1an+ an+1- =0,变形为 an+1 + = (n∈N+).
0 0

1

1

1

由上式及 a1=3>0,归纳可得 3=a1>a2>…>an>an+1>…>0. 因为
2- + 2 1 1 1 2 0 0 an+1= , 1= 1 =an- + · 0 0 0 +1 + + 0 0 2 1 1

所以对 n=1,2,…,k0 求和得 0 +1 =a1+(a2-a1)+…+( 0 +1 - 0 ) =a1-k0· + ·
0 0

1

1

1 0 1 +1

+

1
0 2 +1

+ … +
1
0 +1

1
0 +1

>2+ ·
0

1

1 3 0 +1

+ 3

1
0 +1

+ … + 3

=2+3

1
0 +1

.

0 个

另一方面,由上已证的不等式知 a1>a2>…> 0 > 0 +1 >2,得 0 +1 =a1-k0· + ·
0 0

1

1

1 0 1

+ +1

1
0 2

+ … + +1

1
0 0 +1

<2+ ·
0

1

1 2 0

+ 2 +1

1
0

+ … + 2 +1
0 个 1
0 +1

1
0 +1

=2+2

1
0 +1

.

综上,2+3

1
0 +1

< 0 +1 <2+2

.
1

8.(2015 湖北,22,14 分)已知数列{an}的各项均为正数,bn= 1 + 为自然对数的底数. (1)求函数 f(x)=1+x-ex 的单调区间,并比较 1 +

1 2 1 1 2 1 2 3 1

an(n∈N+),e

1

与 e 的大小;

(2)计算1 , 1 2 , 12 3 ,由此推测计算 1 2 … 的公式,并给出证明; (3)令 cn=(a1a2…an) ,数列{an},{cn}的前 n 项和分别记为 Sn,Tn,证明:Tn<eSn. 解析 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=1-ex. 当 f '(x)>0,即 x<0 时, f(x)单调递增; 当 f '(x)<0,即 x>0 时, f(x)单调递减. 故 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞). 当 x>0 时, f(x)<f(0)=0,即 1+x<ex. 令 x= ,得 1+ <e , 即 1 +

1

1

1

1

1

<e.


1 1

(2)1 =1× 1 + 1 =1+1=2;
1 2 1 1 2

= ·2 =2×2× 1 + 2 =(2+1)2=32;
1 2



1 2

1 2 3 1 2 1 2 3

=

1 2

· 3 =32×3× 1 + 3 =(3+1)3=43.
3



1 3

由此推测: 1 2 … =(n+1)n.②
1 2



下面用数学归纳法证明②. (1)当 n=1 时,左边=右边=2,②成立. (2)假设当 n=k 时,②成立,即 1 2 … =(k+1)k.
1 2



当 n=k+1 时,bk+1=(k+1) 1 + +1
1 2 … +1 1 2 … 1 2 … +1

1

+1

ak+1,由归纳假设可得
1 +1

=

1 2 …

· +1 =(k+1)k(k+1) 1 + +1
+1



=(k+2)k+1.

所以当 n=k+1 时,②也成立. 根据(1)(2),可知②对一切正整数 n 都成立. (3)由 cn 的定义,②,算术-几何平均不等式,bn 的定义及①得
1 1 1 1

Tn=c1+c2+c3+…+cn=(a1)1 +(a1a2)2 +(a1a2a3)3 +…+(a1a2…an) =
(1 )1 (1 2 )2 (1 2 3 )3 2
1 1 1

+

3 2×3

+

4 3×4

+…+

(1 2 … ) +1 ( +1) 1 2×3

1

1 ≤1×2 +

1 +2 1 +2 +3

+

+…+
1

1 +2 +…+ 1 1

=b1

1 1×2

+ 2×3 + … + ( +1) +b2
1

1

+ 3×4 + … + ( +1)

+…+bn· ( +1) =b1 1- +1 +b2
1 1

+…+bn 2 +1
1 1

1

+1
1 2 1

1

1

< 11 + 22 +…+ = 1 + 1 a1+ 1 + 2 a2+…+ 1 + <ea1+ea2+…+ean=eSn. 即 Tn<eSn.

an

9.(2015 安徽,18,12 分)设 n∈N*,xn 是曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线与 x 轴交 点的横坐标. (1)求数列{xn}的通项公式;
2 2 2 (2)记 Tn=1 3 …2 ,证明:Tn≥4 . -1 1

解析 (1)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2. 从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1). 令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn=1- +1= +1. (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知
2 2 2 Tn=1 3 …2 = -1 1 2 2 3 2 4 2 1



2 -1 2

.

当 n=1 时,T1=4.
2 当 n≥2 时,因为2 = -1 2 -1 2 2

1

=

(2 -1) (2 )
2

2

>

(2 -1) -1 (2 )
2

2

=

2 -2 -1 2

=



.

所以 Tn>

1 2 2

×2×3×…×

1

2

-1

=4 .
1

1

综上可得对任意的 n∈N*,均有 Tn≥4 .


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