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关于椭圆离心率求法


有这么一个故事-------------离心率

关于椭圆离心率
设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,如果椭 a 2 b2

圆上存在点 P,使 ?F1 PF2 ? 90? ,求离心率 e 的取值范围。 解法 1:利用曲线范围 设 P(x,y),又知 F1 ( ? c,0),F2 (c,0) ,则

F1 P ? ( x ? c,y ) , F2 P ? ( x ? c,y ) 由?F1 PF2 ? 90? ,知 F1 P ? F2 P , 则 F1 P? F2 P ? 0, 即 ( x ? c)( x ? c) ? y 2 ? 0 得x 2 ? y 2 ? c 2
将这个方程与椭圆方程联立,消去 y,可解得
? ? ? ?

?

?

a 2 c 2 ? a 2b 2 a 2 ? b2 但由椭圆范围及?F1 PF2 ? 90? x2 ? 知0 ? x 2 ? a 2 即0 ? a 2 c 2 ? a 2b 2 ? a2 2 2 a ?b

可得c 2 ? b 2 ,即c 2 ? a 2 ? c 2 ,且c 2 ? a 2 c 2 c ? ,且e ? ? 1 a 2 a 2 所以e ?[ ,1) 2 从而得e ?
解法 2:利用二次方程有实根 由椭圆定义知

| PF1 |?| PF2 | ? 2a ?| PF1 |2 ?| PF2 |2 ?2| PF1 || PF2 | ? 4a 2

经典的,不会那么容易过时-------------

1

有这么一个故事-------------离心率

又由?F1 PF2 ? 90? ,知 | PF1 |2 ?| PF2 |2 ?| F1 F2 |2 ? 4c 2 则可得| PF1 || PF2 | ? 2(a 2 ? c 2 ) 这样,| PF1 | 与| PF2 | 是方程u 2 ? 2au ? 2(a 2 ? c 2 ) ? 0的两个实根,因此

? ? 4a 2 ? 8(a 2 ? c 2 ) ? 0 c2 1 ? a2 2 2 ?e? 2 ? e2 ?
因此e ?[ 2 ,1) 2

解法 3:利用三角函数有界性 记 ?PF1 F2 ? ?,?PF2 F1 ? ?,由正弦定理有

| PF1 | | PF2 | | F1 F2 | ? ? sin ? sin ? sin 90? | PF1 |?| PF2 | ? ?| F1 F2 | sin ? ? sin ? 又| PF1 |?| PF2 | ? 2a,| F1 F2 | ? 2c,则有 e? c 1 ? ? a sin ? ? sin ? 1 2 sin ? 1 2 cos

? ??
2

cos

? ??
2

? ??
2

而 0 ?|? ? ? | ? 90? |? ? ? | 知0 ? ? 45? 2 2 ? ?? ? cos ?1 2 2 2 从而可得 ? e ?1 2

经典的,不会那么容易过时-------------

2

有这么一个故事-------------离心率

解法 4:利用焦半径 由焦半径公式得

| PF1 | ? a ? ex,| PF2 | ? a ? ex 又由| PF1 |2 ?| PF2 |2 ?| F1 F2 |2 ,所以有 a 2 ? 2cx ? e 2 x 2 ? a 2 ? 2cx ? e 2 x 2 ? 4c 2 2c 2 ? a 2 e2 又点P(x,y)在椭圆上,且x ? ?a,则知 0 ? x 2 ? a 2 ,即 即a 2 ? e 2 x 2 ? 2c 2 ,x 2 ?
0? 2c 2 ? a 2 ? a2 2 e 2 得e ?[ ,1) 2

解法 5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 2a ?| PF1 |?| PF2 | 平方后得

4a 2 ?| PF1 |2 ?| PF2 |2 ?2| PF1 || ? PF2 | ? 2(| PF1 |2 ?| PF2 |2 ) ? 2| F1 F2 |2 ? 8c 2
c2 1 得 2 ? 2 a

所以有e ?[

2 ,1) 2

解法 6:巧用图形的几何特性 由 ?F1 PF2 ? 90? ,知点 P 在以 | F1 F2 | ? 2c 为直径的圆上。 又点 P 在椭圆上,因此该圆与椭圆有公共点 P 故有 c ? b ? c ? b ? a ? c
2 2 2 2

由此可得e ?[

2 ,1) 2

经典的,不会那么容易过时-------------

3

有这么一个故事-------------离心率

基础演练
一、直接求出 a ,c 或求出 a 与 b 的比值,以求解 e 。 在椭圆中, e ?

c c c2 a2 ? b2 b2 ,e ? ? ? ? 1 ? a a a2 a2 a2

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的 2 倍,则其离心率为

3 2

2 2
1 2

3.若椭圆经过原点,且焦点为 F1 (1,0), F2 (3,0) ,则椭圆的离心率为

4.已知矩形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭 圆的离心率为

1 。 2

5.若椭圆

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 短轴端点为 P 满足 PF1 ? PF2 , 则椭圆 a2 b2

的离心率为 e ?

2 。 2

1 2 x2 y2 ? ? 1 ( m ? 0 . n ? 0 ) 6..已知 则当 mn 取得最小值时, 椭圆 2 ? 2 ? 1 m n m n 3 的的离心率为 2
7.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点 a 2 b2 分别为 M ,N ,若 MN ≤ ? F 1F 2 ,则该椭圆离心率的取值范围是
? 2 ? 1? ? , ? ? 2 ?

8.已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆 上的点, 当 PF1⊥F1A, PO∥AB (O 为椭圆中心) 时, 椭圆的离心率为 e ? 9.P 是椭圆

2 。 2

x2 y2 + =1 ( a> b >0)上一点, F1、F2 是椭圆的左右焦点,已知 a2 b2
经典的,不会那么容易过时------------4

有这么一个故事-------------离心率

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? 2? , ?F1PF2 ? 3? , 椭圆的离心率为 e ? 3 ? 1
10. 已 知 F1、F2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , P 是 椭 圆 上 一 点 , 若

?PF1 F2 ? 15? , ?PF2 F1 ? 75? , 则椭圆的离心率为

6 3

11.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的 距离为 1,则该椭圆的离心率为

2 2

12.设椭圆

x2 y2 =1(a>b>0)的右焦点为 F1,右准线为 l1,若过 F1 ? a2 b2 1 且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是 。 2
x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两顶点为 A(a,0)B(0,b),若右焦点 F a2 b2 1 6 到直线 AB 的距离等于 ∣AF∣,则椭圆的离心率是 。 2 3 x2 y2 ? ? 1(a>b>0)的四个顶点为 A、B、C、D,若四边形 ABCD a2 b2

13.椭圆

14.椭圆

的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是

5 ?1 2

x2 y2 15.已知直线 L 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的顶点 A(a,0)、B(0,b), a b
如果坐标原点到直线 L 的距离为

a 6 ,则椭圆的离心率是 2 3

16.在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O a 2 b2 ? a2 ? 为圆心, a 为半径作圆,过点 ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心 ? c ?
率e=

2 2
经典的,不会那么容易过时------------5

有这么一个故事-------------离心率

17.设椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c, 0) , 2 2 a b 方 程 ax2 ? bx? c ?0 的 两 个 实 根 分 别 为 x1 和 x2 , 则 点 P( x1,x2 )
( A ) A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 二、构造 a ,c 的齐次式,解出 e

1.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是

3 5

2. 以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆, 使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、 N 两点,椭圆的左焦点为 F1,直线 MF1 与圆相切,则椭圆的离心率是

3 ?1
3. 以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆, 使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭 圆交于 M、N 两点,如果∣MF∣=∣MO∣,则椭圆的离心率是 3 ? 1 4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 2 ? 1 5.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆 于 A、B 两点,若△ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是

3 3

x2 y 2 6.设 F1、F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,P 是其右 a b 准线上纵坐标为 3c ( c 为半焦距)的点,且 F 1F2 ? F2 P ,则椭
圆的离心率是

2 2

三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

M 总在椭圆 1.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
内部,则椭圆离心率的取值范围是 (0,

2 ) 2
?

2.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 90 , 椭圆离心率 e 的取值范围为 ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?
?

3.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 60 ,
经典的,不会那么容易过时------------6

有这么一个故事-------------离心率

椭圆离心率 e 的取值范围为 ? ,1?

?1 ? ?2 ?

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)的两焦点为 F1、F2,若椭圆上存在一点 Q, a2 b2 6 使∠F1QF2=120?,椭圆离心率 e 的取值范围为 ? e ?1 3 7 5.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? .若以 A,B 为焦点的椭圆 18 3 经过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? . 8
4.设椭圆

x2 y 2 6.设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其 a b 右准线上存在 P, 使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值
范围是 ?

? 3 ? , 1? ? ? 3 ?

7.如图,正六边形 ABCDEF 的顶点 A、D 为一椭圆的两个焦点,其余四个顶 点 B、C、E、F 均在椭圆上,则椭圆离心率的取值范围是 3 ? 1
F E

A

D

B

C

经典的,不会那么容易过时-------------

7

有这么一个故事-------------离心率

关于双曲线离心率
一、利用双曲线性质 例 1 设点 P 在双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左支上,双曲线 a 2 b2

两焦点为 F1、F2 , 已知 | PF 1 | 是点 P 到左准线 l 的距离 d 和 | PF 2 | 的比例中 项,求双曲线离心率的取值范围。
2 解析:由题设 | PF 1 | ? d | PF 2 | 得:

| PF | PF2 | 1 | 。由双曲线第二 ? d | PF | 1

定义

| PF | PF2 | a ? ex 1 | ? e ,则 ? e 得: ? e ,由 焦半径公式得 : ? a ? ex d | PF 1 |
(1 ? e)a ? ?a ,即 e 2 ? 2e ? 1 ? 0 ,解得 1 ? e ? 1 ? 2 。 2 e ?e

x??

归纳:求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标,再 利用性质:若点 P 在双曲线

x 2 y2 ? ? 1 的左支上则 x ? ? a ;若点 p 在双 a 2 b2

曲线

x 2 y2 ? ? 1 的右支上则 x ? a 。 a 2 b2

二、利用平面几何性质 例2

x 2 y2 设点 P 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上,双曲线 a b

两焦点 F1、F2 , | PF 1 |? 4 | PF 2 | ,求双曲线离心率的取值范围。 解 析 : 由 双 曲 线 第 一 定 义 得 : | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a , 与 已 知

| PF 1 |? 4 | PF 2 | 联立解得:
8 2 | PF1 |? a , | PF2 |? a ,由三角形性质 | PF 1 | ? | PF 2 |?| F 1 F2 | 得: 3 3 8 2 5 a ? a ? 2c 解得: 1 ? e ? 。 3 3 3
经典的,不会那么容易过时------------8

有这么一个故事-------------离心率

归纳:求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质,如“直角 三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等 式。 三、利用数形结合 例 3 (同例 2) 解析:由例 2 可知:

8 2 | PF1 |? a , | PF2 |? a , 点 P 在 双 曲 线 右 支 上 由 图 1 可 知 : 3 3 8 2 a ? c ? a ,两式相加得: | PF 1 |? c ? a , | PF2 |? c ? a ,即 a ? c ? a , 3 3 5 5 a ? c ,解得: 1 ? e ? 。 3 3

四、利用均值不等式 例 4 已知点 P 在双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上, 双曲线 a 2 b2

2 | PF 1 | 两焦点为 F1、F2 , 最小值是 8a ,求双曲线离心率的取值范围。 | P F2 | 2 | PF (| PF2 | ?2a ) 2 4a 2 1 | ? ?| PF2 | ? ? 4a ? 8a ,由均值 | PF2 | | PF2 | | PF2 |

解析:

定理知:当且仅当 | PF 2 |? 2a 时取得最小值 8a ,又 | PF 2 |? c ? a 所以

2a ? c ? a ,则 1 ? e ? 3 。
五、利用已知参数的范围 例5 (2000 年全国高考题)已知梯形 ABCD 中,| AB |? 2 | CD | ,

点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? ,双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B
经典的,不会那么容易过时------------9

有这么一个故事-------------离心率

为焦点,当

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率的取值范围。 3 4

解析:如图 2 建立平面直角坐标系,设双曲线方程为

c x 2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , 设 A(?c,0)、B(c,0)、C( , h )、E( x 0 , y 0 ) 2 2 a b
其中 h 是梯形的高,由定比分点公式得 x 0 ? E 两点坐标分别代入双曲线方程得

(? ? 2)c ?h ,把 C、 , y0 ? 2(? ? 1) ? ?1

c2 h2 (? ? 2) 2 c 2 ?2 h 2 ? ? 1 , ? ? 1, 4a 2 b 2 4(? ? 1) 2 a 2 (? ? 1) 2 b 2
两式整理得

(? ? 2) 2 e 2 ?2 e2 ? ( ? 1) ? 1 , 从 而 建 立 函 数 关 系 式 4(? ? 1) 2 (? ? 1) 2 4

??

2 3 e2 ?1 2 e2 ?1 3 ? ? ? ? ? , , 由已知 得, 解得 7 ? e ? 10 。 3 4 3 e2 ? 2 4 e2 ? 2

六、利用直线与双曲线的位置关系 例 6 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 交于 P、Q a2

两个不同的点,求双曲线离心率的取值范围。 解 析 : 把 双 曲 线 方 程 和 直 线 方 程 联 立 消 去 x 得 :

(1 ? a 2 ) y 2 ? 2y ? 1 ? a 2 ? 0,1 ? a 2 ? 0 时,直线与双曲线有两个不同的交
2 2 2 2 2 点则 ? ? 0 , ? ? 4 ? 4(1 ? a ) ? 4a (2 ? a ) ? 0 ,即 a ? 2 且 a ? 1 ,

经典的,不会那么容易过时-------------

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有这么一个故事-------------离心率

c2 1 3 6 所以 e ? 2 ? 1 ? 2 ? ,即 e ? 且e ? 2 。 2 2 a a
2

七、利用点与双曲线的位置关系 例 7 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 上存在 P 、 Q 两点关于直线 2 a

x ? 2 y ? 1 对称,求双曲线离心率的取值范围。
解析:设 P(x1 , y1 ), Q(x 2 , y 2 ) ,弦 PQ 中点为 M ,由点差法求得
M( a2 1 , ), a ? 2 a2 ? 2
2

当点 M 在双曲线内部时

a2 1 ? 2 ?1 , 整 理 得 : 2 2 (a ? 2) (a ? 2) 2

a 4 ? 3a 2 ? 5 ? 0 无解;
当点 M 在双曲线外部时,点 M 应在两渐近线相交所形成的上下区域

a2 1 内,由线性规划可知: 2 ? 2 ? 0 , 即 a2 ?1 , 则 2 2 (a ? 2) (a ? 2)
e2 ? 1 ? 1 ? 2 ,所以 e ? 2 。 a2

八、利用非负数性质 例 8 已知过双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左焦点 F1 的直线 l 交 a 2 b2

双曲线于 P、Q 两点,且 OP ? OQ ( O 为原点),求双曲线离心率的取 值范围。

经典的,不会那么容易过时-------------

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有这么一个故事-------------离心率

解 析 : 设 P(x1 , y1 )、Q(x 2 , y 2 ) , 过 左 焦 点 F1 的 直 线 l 方 程 :

x ? ty ? c ,代入双曲线方程得:(b 2 t 2 ? a 2 ) y 2 ? 2b 2 tcy ? b 4 ? 0 ,由韦
达定理得: y1 ? y 2 ?

2b 2 tc , b2t 2 ? a 2

y1 y 2 ?

b4 , x 1 x 2 ? ( ty1 ? c)(ty2 ? c) ? t 2 y1 y 2 ? ct( y1 ? y 2 ) ? c 2 2 2 2 b t ?a b 4 ( t 2 ? 1) 2b 2 t 2 c 2 ? 2 2 ? c2 ? 0 , 2 2 2 2 b t ?a b t ?a

, 由 OP⊥OQ 得 x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 , 即:

解得: t ?
2

b4 ? a 2c2 4 2 2 2 , 因 为 t ? 0 , 所 以 b ?a c ? 0 , 则 2 2 a b

a 4 ? 3a 2 c 2 ? c 4 ? 0, e 4 ? 3e 2 ? 1 ? 0, e 2 ?

3? 5 5 ?1 ,所以 e ? 。 2 2

经典的,不会那么容易过时-------------

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