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江苏省如皋中学201606阶段练习高二数学(文科)


江苏省如皋中学 2015—2016 学年度第二学期第二次阶段检测 高二数学(文)试题
试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟 命题、审核:陈高峰
一. 填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上)

9. 设奇函数 y ? f ? x ?? x ? R ? ,满足对任意 t ? R 都有 f ? t ? ? f ?1 ? t? ,且 x ? ?0, ? 时, 2

? 1? ? ?

? 3? f ? x? ? ? x2 ,则 f ? 3? ? f ? ? ? 的值等于 ? 2?



.

10.已知正数 a, b, c 满足 4a ? 2b ? 25c ? 0 ,则 lg a ? lg c ? 2lg b 的最大值为



.

?1 2? 1.已知幂函数 f ? x ? 的图像过点 ? , ?2 2 ? ? ,则 f ? 4? ? ? ?



.

?1? 11.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时,f ? x ? ? ? ? ?2?
有 5 个零点,则实数 m 的取值范围是 ▲ .

x ?1

若函数 f ? x ? ?m,

2.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {1,3,5,7,9} ,C ? A ? B ,则集合 C 的子集的个数为



.

3.函数 f ( x) ?

ln ? 2 x ? x 2 ? x ?1

12. 已知关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? t ? 0 的解集为 A ,若 ? ??, t ? ? A ? ? , 则实数 t 的取值范围 是 ▲ .

的定义域为



.

4.由命题“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得实数 m 的取值范围是 ? a, ??? , 则实数 a ? ▲ .

13. 设 定 义 域 为

?0, ???

上 的 单 调 函 数 f ? x ? , 对 任 意 x ? ? 0, ??? , 都 有

? 若 x0 是方程 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 4 的一个解, 且 x0 ? ? a, a ? 1? ? a ? N ? , f ? f? ?x ? l o 2g ? ? x , 6

5. 函数 f ? x ? ? ?

?log 3 x, x ? 0
x ?9 , x ? 0

,则 f

? f ? ?1?? 的值为

则实数 a ? ▲ .



.

14. 已知 f ? x ? ? ? x ? 1? x ? 3x .若对于任意 x ? R ,总有 f ? x ? ? f ? x ? a ? 恒成立,则常数 a 的最小值是 ▲ . ▲ .

?2 x ? y ? 0 ? 6.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则 z ? x ? y ? 2 的最小值为 ?y ?1 ?
7. 函数 f ? x ? ? log a x 在 ? 0, ??? 上单调递减,则 f ? ?2? “=” , “>”之一) 8. “ a ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? a ? x ? cos x 在 R 上单调递增”的 填“充分不必要” , “必要不充分” , “充要” , “既不充分也不必要” ).

二.解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域作答,解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 15.本小题满分 14 分



f ? a ? 1?(填“<”,

? x ?1 ? 2 ? 命题 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 (其中 a ? 0 ) ,命题 q : 实数 x 满足 ? x ? 3 . ? 0 ? ?x?2
2 2



条件(选

(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

201606 阶段练习高二数学(文科)

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16. 本小题满分 14 分 已知函数 g ? x ? ?

4x ? n x 是奇函数,函数 f ? x ? ? log 4 ? 4 ? 1? ? mx 是偶函数. 2x
1 x ,若 g ? x ? ? h ? log4 ? 2a ?1?? 对任意 x ? 1 恒成立,求实数 a 的取 2

19. 本小题满分 16 分 已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ax ? b ? a, b ? R? .
x
[学科[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

(1)求 m ? n 的值; (2)设 h ? x ? ? f ? x ? ? 值集合.

(1)设 h ? x ? ? xg ? x ? ?1 . ①若 a ? 0 ,则 a , b 满足什么条件时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? h( x) 在 x ? 0 处总有相同的 切线? ②当 a ? 1 时,求函数 F ( x) ?

h? x? f ( x)

17. 本小题满分 14 分 如图, 某水域的两直线型岸边 l1 , l2 成定角 120o, 在该水域中位于该角角平分线上且与顶点 A 相 距 1 公里的 D 处有一固定桩.现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC ( B, C 分 别在 l1 和 l2 上) ,围出三角形 ABC 养殖区,且 AB 和 AC 都不超过 5 公里.设 AB ? x 公里,

单调区间;

(2)若集合 x f ? x ? ? g ? x ? 为空集,求 ab 的最大值.

?

?

AC ? y 公里.
(1)将 y 表示成 x 的函数,并求其定义域; (2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区? x B l1 D
(第 17 题)

A 120o 1 20. 本小题满分 16 分 y C l2 已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ln x ?1 ,
x

(1)求函数 h ? x ? ? f ? x ?1? ? g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上的最小值; (2)已知 1 ? y ? x ,求证: e x? y ?1 ? ln x ? ln y ;

x ? 1? f x? (3) 设 H ?x ? ? ?
2

? ,在区间 ?1, ?? ? 内是否存在区间 ?a, b? ? a ? 1? ,使函数 H ( x) 在

18. 本小题满分 16 分 设 A ? ??11 ,, 2? ,函数 f ? x ? ? 2x ? mx ?1 , ? B ? ??2,
2

区间 ? a, b? 的值域也是 ? a, b? ?请给出结论,并说明理由.

(1)设不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 C ,当 C ? ? A ? B? 时,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意 x ? R ,都有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 成立,试求 x ? B 时,函数 f ? x ? 的值域; (3)设 g ? x ? ? 2 x ? a ? x ? mx ?a ? R ? ,求 f ? x ? ? g ? x ? 的最小值.
2

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∴m?n ?

2015—2016 学年度高二年级第二学期第二次阶段检测 数学(文)试题 参考答案
一.填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1. 2; 2. 8; 3.

1 . 2

??????????????? 6 分

x (2)由(1)知, f ? x ? ? log 4 4 ? 1 ?

?

?

1 1 x ,则 h ? x ? ? f ? x ? ? x ? log 4 ? 4 x ? 1? 2 2

∴ h log4 ? 2a ?1? =log4 ? 2a ? 2? 又由(1)知 g ? x ? ? 7. <;

?

?

? 0,1? ? ?1,2? ;

4. 1; 5. ?2 ; 6. ?3 ;

4 x ?1 x 1 ?1? =2 ? x ,∵函数 y ? 2x 在 ?1 , +?? 上是增函数,函数 y ? ? ? 在 x 2 2 ?2?
1

x

8. 充分不必要; 9. ?

1 1? ? ; 10. ?2 ; 11. ? ?1, ? ? ; 12. ? 0, 4? ; 4 2? ?

+?? 上是减函数,∴函数 g ? x ? ? 2 x ? x 在 ?1, +?? 上是增函数. ?1, 2
∴当 x ? 1 时, g ? x ? min ? g ?1? ?

3 . 2

???????????????10 分

13. 1;

14. 3 ? 10

∵ g ? x ? ? h log4 ? 2a ?1? 对任意 x ? 1 恒成立,

?

?

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分 15. 解: (1)若 a ? 1 时,命题 p : x ? ?1,3? ,命题 q : x ? ? 2,3? 当 p ? q 为真时,有命题 p, q 均为真命题, 所以实数 x 的取值范围是 ? 2,3? ; ????? 7 分 ????? 4 分

3 ? 1 ?log 4 ? 2a ? 2 ? ? ∴? 2 ,解得 ? ? a ? 3 . 2 ? ? 2a ? 1 ? 0
∴实数 a 的取值集合是 ? ?

(2)命题 p : x ? ? a,3a ? ,记集合 P ? ? a,3a ? ,命题 q : x ? ? 2,3? ,记集合 Q= ? 2,3? 若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的充分不必要条件,即集合 Q 是集合 P 的真子集,

? 1 ? ,3 ? . ? 2 ?

??????????????? 14 分

所以: ?

?a ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 ?1, 2? . ?3a ? 3

????? 14 分

16. 解: (1)∵函数 g ? x ? ?

4x ? n 是奇函数,且定义域为 R ,∴ g ? 0 ? ? 0 ,则 n ? 1 2x

当 n ? 1 时, f ? ? x ? ?

4? x ? 1 1 ? 4 x 4x ? n ? ? ? f x g x ? ,函数 是奇函数. ? ? ? ? 2? x 2x 2x

17. 解:(1)由 SΔABD+SΔACD=SΔABC 1 1 1 得 xsin60? + ysin60? = xysin120? ???????????????? 2 分 2 2 2 x 所以 x+y=xy,所以 y= ??????????????? 4 分 x-1 5 又 0<y≤5,0<x≤5,所以 ≤x≤5 4 5 所以定义域为{x| ≤x≤5} ???????????????? 6 分 4 (2)设△ABC 的面积为 S,则结合(1)易得 1 1 x 3x2 5 方法一:S= xysinA= x· · sin120? = ,( ≤x≤5) 2 2 x-1 4(x-1) 4

x ∵函数 f ? x ? ? log 4 4 ? 1 ? mx 是偶函数,∴ f ? ?x ? ? f ? x ? 对任意 x ? R 恒成立,

?

?

? x ?1? ? 2 ? x ?1? ? 1 ? x ?1 ? 1 ? 4 x2 ? ? ? x ?1 x ?1 x ?1
2

?????????????10 分

即 ? 2m ? 1? x ? 0 对任意 x ? R 恒成立,∴ m ? ?

1 . 2

1 当仅当 x-1= ,x=2 时取等号. x-1 故当 x=y=2 时,面积 S 取最小值 3(平方公里) ??????????? 12 分 1 1 3 x 方法二:S=SΔABD+SΔACD= xsin60? + ysin60? = (x+ ) 2 2 4 x-1

201606 阶段练习高二数学(文科)

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x-1+1 3 3 1 3 1 (x+ )= (x+ +1)= [(x-1)+ +2]≥ 3 4 4 4 x-1 x-1 x-1

?????10 分

此时 f ? x ?min ? 2a ? 2

????????15 分
2

1 当且仅当 x-1= ,即 x=2 时取等号. x-1 故当 x=y=2 时,面积 S 取最小值 3(平方公里) 答:该渔民总共至少可以围出 3平方公里的养殖区. ???????????12 分 ????????????14 分

综上:当 a ? ?1 时, f ? x ?min ? ?2a ? 2 ,当 ?1 ? a ? 1 时 f ? x ?min ? a ?1, 当 a ? 1 时 f ? x ?min ? 2a ? 2 19. 解: (1) h ? x ? ? ax ? bx ? 1
2

????????16 分

18. 解: (1)由 A ? ??11 ,, 2? ,知: A ? B ? ??1,1? ,且二次函数 f ? x ? 的开口向 ? B ? ??2, 上, f ? 0? ? ?1,由题意知不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 C ,当 C ? ? A ? B? 时∴函数 f ? x ? 必 有两零点,且两零点均在区间 ??1,1? 内, 故只需: ?

①∵ f ? ? x ? ? e ,∴ f ? ? 0? ? 1 ,又 f ? 0? ? 1,
x

∴ y ? f ? x ? 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 ????????4 分

??????????2 分

? ? f ? ?1? ? 0 ,解得 ?1 ? m ? 1 f 1 ? 0 ? ? ? ?

又∵ h? ? x ? ? 2ax ? b ,∴ h? ? 0? ? b ,又 h ? 0? ? 1 ,∴ y ? h ? x ? 在 x ? 0 处的切线方程为

(2)对任意 x ? R ,都有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 成立,所以函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对 称,所以 ?

y ? bx ? 1 ,所以当 a ? 0, a ? R且b ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? h( x) 在 x ? 0 处总有相同的切
线. (2)由 a ? 1 , F ( x) ? ???????????????????4 分

m 2 ? 1 ,解得 m ? ?4 ,所以函数 f ? x ? ? 2 ? x ? 1? ? 3 ,其在区间 ??2,1? 是减函数, 4

在区间 ?1, 2? 上是增函数,所以 f ? x ?min ? f ?1? ? ?3 ,又 f ? ?2? ? 15 ? f ? 2? ? ?1 ,所以

x 2 ? bx ? 1 ? x 2 ? (2 ? b) x ? b ? 1 F ? ( x ) ? , , ? ex ex
?????????6 分

f ? x ?max ? 15 ,所以函数 f ? x ? 在区间 B 上的值域为 ??3,15? ;
(3)令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? , 则 h ? x? ? x ? 2 x ? a ?1 ? ?
2

????????8 分

? F ?( x) ?

? x 2 ? (2 ? b) x ? b ? 1 ( x ? 1)( x ? (1 ? b)) ?? , x e ex

由 F ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? 1 ? b , ????????9 分

? x 2 ? 2 x ? 2a ? 1, x ? a ? 2 ? ? x ? 2 x ? 2a ? 1, x ? a

? 当 b ? 0 时,函数 y ? F ( x) 的减区间为 (??,1 ? b) , (1, ??) ;增区间为 ?1 ? b,1? ;
当 b ? 0 时,函数 y ? F ( x) 的减区间为 (??, ??) ; 当 b ? 0 时,函数 y ? F ( x) 的减区间为 (??,1) , (1 ? b, ??) ,增区间为 ?1,1 ? b? ,??9 分 ( 2 )由集合 x f ? x? ? g ? x? 为空集,可知不等式 f ? x? ? g ? x? 对任意 x ? R 恒成立,即

① 当 a ? ?1 时 , 函 数 f ? x ? 在 区 间 ? ??, ?1? 是 减 函 数 , ? ?1, ?? ? 是 增 函 数 , 此 时

f ? x ?m i n? ?2a ? 2

????????11 分

② 当 ?1 ? a ? 1 时 , 函 数 f ? x ? 在 区 间 ? ??, a ? 是 减 函 数 , ? a, ??? 是 增 函 数 , 此 时

?

?

f ? x?m i n? a ?1
2

y ? f ? x ? ? g ? x ? ? 0 恒成立.

????????????10 分

????????13 分
x 当 a ? 0 时 ,函数 y ? e ? ax ? b 在 R 上单 调递增, y ? 0 不 恒成立,所 以 a ? 0 ,此 时

③当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 在区间 ? ??,1? 是减函数, ?1, ?? ? 是增函数,

解得 x ? ln a , 当 x ? ln a 时,y? ? 0 , 函数单调递减, 当 x ? ln a 时,y? ? 0 , y? ? ex ? a ?0 ,
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函数单调递增,所以要使 y ? f ? x ? ? g ? x ? ? 0 恒成立, 只需 ymin ? a ? a ln a ? b ? 0 , 所以 b ? a ? a ln a, ab ? a2 ? a 2 ln a, a ? 0 , 令 G ? x ? ? x ? x ln x, x ? 0 ,则 G? ? x ? ? 2x ? 2x ln x ? x ? x ?1 ? 2ln x ? ,
2 2

当 x ? 1 时, H ? ? x ? ? 0 ,所以函数在区间 ?1, ?? ? 单调递增, ????????????12 分
2 a ? ? H ? a ? ? ? a ? 1? e ? a 2 x ? 故 H b ? b ? 1 2 eb ? b ,即方程 ? x ? 1? e ? x 有两个大于 1 的不等实根,????11 分 ? ? ? ? ? ?

x 2 x 设函数 G ? x ? ? ? x ? 1? e ? x ? x ? 1? ,则 G? ? x ? ? x ? 1 e ? 1 , 2

?

?

令 G? ? x ? ? 0 解得 x ? 当 x?

e ,当 x ? 0, e 时, G? ? x ? ? 0 ,函数 G ? x ? 单调递增,

?

?

G?? ? x ? ? ? x 2 +2 x ? 1? e x ,当 x ? 1 时, G?? ? x ? ? 0 ,即函数 G? ? x ? ? ? x 2 ? 1? e x ? 1 在区间

?

e, +? 时, G? ? x ? ? 0 ,函数 G ? x ? 单调递减,

?

?1, ??? 单调递增,又 G? ?1? ? ?1 ? 0, G? ? 2? ? 3e2 ?1 ? 0 ,所以存在唯一的 x0 ??1, 2? 使得
G? ? x0 ? ? 0 ,当 x ? ?1, x0 ? 时,G? ? x ? ? 0 ,函数 G ? x ? 递减,当 x ? ? x0, +?? 时,G? ? x ? ? 0 ,
函数 G ? x ? 递增,所以函数 G ? x ? 有极小值 G ? x0 ? ? G ?1? ? ?1, G ? 2? =e ? 2 ? 0 ,所以函数
2

e e e 时,函数 G ? x ? ? x2 ? x2 ln x 取得最大值 ,所以 ab ? a 2 ? a 2 ln a ? , 2 2 e 所以 ab 的最大值为 . ????????????16 分 2 1 x?1 x ?1 20. 解: (1) h ? x ? ? e ? ln x ?1? x ? 1? , h? ? x ? ? e ? , x 1 1 x ?1 x ?1 ∵ x ??1, ?? ? ,∴ e ? 1, ? ? 0,1? ∴ h? ? x ? ? e ? ? 0 , x x
所以当 x ? ∴函数 h ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,∴ h ? x ?min ? h ?1? ? 0 . (2)由(1)知,当 x ? 1 时,e ∴e
x ? y ?1?1
x ?1

G ? x ? 在 ?1, ?? ? 上仅有一个零点,这与方程 ? x ? 1? e x ? x 有两个大于 1 的不等实根矛盾,故
2

不存在区间 ? a, b? ? a ? 1? ,使函数 H ( x) 在区间 ? a, b? 的值域也是 ? a, b? . ?????16 分

????????4 分

? 1 ? ln x 且当 x ? 1 时取等号,∵ 1 ? y ? x ,∴ x ? y ? 1 ? 1

?1 ? ln ? x ? y ? 1? ,要证明 ex? y ?1 ? ln x ? ln y ,
x ,????????7 分 y

只需证明: ln ? x ? y ? 1? ? ln x ? ln y ,只需证明: x ? y ? 1 ?
2

即证明: xy ? y 2 ? y ? x ? 0 ,而 xy ? y ? y ? x=y ? x ? y ? ? ? x ? y ? ? ? x ? y ?? y ?1? , ∵ 1 ? y ? x ,∴ x ? y ? 0, y ? 1 ? 0 ,∴ xy ? y ? y ? x ? ? x ? y ?? y ?1? ? 0 ,得证.
2

∴当 1 ? y ? x 时, e

x? y

?1 ? ln x ? ln y .

????????????9 分

2 x (3) H ? x ? ? ? x ? 1? f ? x ? , H ? ? x ? ? x ? 1 e
2

?

?

假设存在区间 ? a, b? ? a ? 1? ,使函数 H ( x) 在区间 ? a, b? 的值域也是 ? a, b? ,
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