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指数与指数函数的图形及性质(内含答案)


新希望培训学校 MATHEMATICS 指数与指数函数 知识梳理 1.整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念

(2)运算法则 ① . 2.根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义: 若 xn=y(n∈N*,n>1,y∈R),则 x 称为 y 的 n 次方根. n 为奇数时,正数 y 的奇次方根有一个,是正数,记为 数 y 的奇次方根有一个,是负数,记为 为 ; n 为偶数时,正数 y 的偶次方根有两个,记为 次方根;零的偶次方根为零,记为 (2)根式的意义与运算法则 . ;负数没有偶 ;负 ; ② ; ③ ; ④

;零的奇次方根为零,记

3.分数指数幂的概念和运算法则 心在哪里,新的希望就在哪里 1

新希望培训学校 MATHEMATICS 为避免讨论,我们约定 a>0,n,m N*,且 指数幂可如下定义: 为既约分数,分数

4.有理数指数幂的运算性质

(1)

(2)

(3)

当 a>0,p 为无理数时,ap 是一个确定的实数,上述有理数指 数幂的运算性质仍适用. 注意: (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分 数指数幂运算; (2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时 可以交换、何时不能交换.如 ; (3)幂指数不能随便约分.如 5.指数函数 (1)定义: 函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 为常 数,函数定义域为 R. (2)图象及性质: .

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新希望培训学校 MATHEMATICS y=ax 0<a<1 时图象 a>1 时图象

图象

①定义域 R,值域 (0,+∞) ②a0=1, 即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点 ③ax=a,即 x=1 时,y 等于底数 a 性质 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增 函数 ⑤x<0 时,ax>1 x>0 时,0<ax<1 ⑥ 既不是奇函数,也不是偶函数 规律方法指导 1.指数幂的一般运算步骤: 有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数幂化为正指 数幂的倒数. 底数是负数, 先确定符号, 底数是小数, 先要化成分数, 底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便 于用指数运算性质.在化简运算中,也要注意公式:a2-b2=(a-b) (a+b),(a±b)2=a2±2ab+b2,(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3, a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)的 心在哪里,新的希望就在哪里 3 ⑤x<0 时,0<ax<1 x>0 时,ax>1

新希望培训学校 MATHEMATICS 运用,能够简化运算. 2.指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比 较.(2)中间量法 (3)分类讨论法(4)比较法:比较法有作差比较与作

商比较两种,其原理分别为: ①若 ; ; ; ,或

②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断 例题 1 化简下列各式.

(1)

(2)

; (3)

.

注意:当 n 为偶数时, 练习 1 已知 ,求

. 的值.

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例题 2 求下列函数的定义域、值域. (1) 的常数) ;(2)y=4x-2x+1;(3) ;(4) (a 为大于 1

练习 2 (利用指数函数的单调性比较大小)判断下列各数的大小关系: (1)1.7a 与 1.7a+1; (2)0.8-0.1 与 0.8-0.2; (3) (5)1.080.3 与 0.983.1(6) (4)22.5, (2.5)0,

例题 3 求函数 值域.

(x [-3,2])的单调区间,并求出它的

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练习 3-1 为了得到函数 ( )

的图象,可以把函数

的图象

A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 练习 3-2(2011 四川文 4)函数 的图象大致是( ) 的图象关于直线 对称

练习 3-3 已知函数 f(x)=ax+b 的图象过点(1,3),且将其图象关于直 线 y=x 翻折后图象过点(2,0),求函数 f(x)的解析式.

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新希望培训学校 MATHEMATICS HOMEWORK 一、选择题:

1.化简 A. 2. A. 3.若 A. 4.函数 A. B. ,且 B. B. 等于( ) C. D. ,则 C. C.

,结果是( ) D.

的值等于( ) D.2

在 R 上是减函数,则 的取值范围是( ) B. C. 的是( ) C. D. 和偶函数 满足 D.

5.下列函数式中,满足 A. B.

6.(2011 湖北理 6)已知定义在 上的奇函数

,若 A.2 7.已知 B.

,则 C.

( ) D. ;(2) ;(3) ;

,下列不等式(1)

(4)

;(5)

中恒成立的有( ) 心在哪里,新的希望就在哪里 7

新希望培训学校 MATHEMATICS A.1 个 8.函数 B.2 个 是( ) C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 C.3 个 D.4 个

A.奇函数 B.偶函数 9.函数 A. 10.已知 A.第一象限 11. A.是奇函数 C.是偶函数 B.

的值域是( ) C. ,则函数 B.第二象限 D. 的图像必定不经过( ) C.第三象限 D.第四象限 ()

是偶函数, 且

不恒等于零, 则

B.可能是奇函数,也可能是偶函数 D.不是奇函数,也不是偶函数 ,

12.一批设备价值 万元, 由于使用磨损, 每年比上一年价值降低 则 年后这批设备的价值为( ) A. 二、填空题: B. C. D.

13.(2011 广东广州)设函数 取值范围是_________.



,则 的

14.函数 15.函数 16.若

的值域是_______________. 的单调递减区间是_______________. ,则 _______________. 8

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新希望培训学校 MATHEMATICS 三、解答题: 17.设 ,解关于 的不等式 .

18.设



,试确定 的值,使

为奇函数.

19.已知函数

,求其单调区间及值域.

20.若函数

的值域为

,试确定 的取值范围.

21.已知函数 的值域;(3)证明

,(1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数 是 上的增函数.

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新希望培训学校 MATHEMATICS 答案与解析 基础达标 一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A 9 D 10 A 11 A 12 D

二、填空题 13. 当 时, 由 可知, ,∴ 或 . , 当 时,由 可知, ;

14. ,

, 令

, ∵

又∵ 15. ,令

为减函数,∴ ,∵ .

. 为增函数,∴ 的

单调递减区间为 16.0, 三、解答题: 17. ∵ , ∴

,∴



上为减函数,∵

.

18. 心在哪里,新的希望就在哪里

, 10

新希望培训学校 MATHEMATICS ∵ 则当 时, , ∴ ,即 时, . 有最小值 ;当 ,即

有最大值 57. 为奇函数,∵ ∴ , 得 20.令 , , . ,则 是关于 的减函数,而 是 ,∴需 , , 由

19.要使

上的减函数, 上的增函数,∴ 在 上是减函数, 又∵ . 21. ,依题意有 , ∴ 的值域为 在 上是增函数,而

即 由函数 的单调性可得

,∴ .

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新希望培训学校 MATHEMATICS 22.(1)∵定义域为 奇函数; (2) 值域为 ; ( 3 ) 设 , 且 , ) 即 的 ,且 是

(∵分母大于零, 且 ∴ 是 上的增函数.

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