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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第六章 第一节 不等关系与不等式突破热点题型 文


第一节

不等关系与不等式

考点一 [例 1] (1)已知 m∈R,a>b>1,f(x)=

比 较 大 小 )

A.f(a)>f(b) C.f(a)≤f(b) D.不确定 16 (2)若 a=18 , b=1618, 则 a 与 b 的大小关系为 a________b(填“=”、 “>”或“<”).

m2x ,则 f(a)与 f(b)的大小关系是( x-1 B.f(a)<f(b)

m2a m2b [自主解答] (1)法一:∵f(a)= ,f(b)= , a-1 b-1 b ? m2a m2b 2? a - ∴f(a)-f(b)= - =m ? ? a - 1 b - 1? a-1 b-1 ? a b- -b a- b-a 2 2 =m · =m · , a- b- a- b- 当 m=0 时,f(a)=f(b); 2 当 m≠0 时,m >0, 又 a>b>1,∴f(a)<f(b). 即 f(a)≤f(b). 法二:(特值法)令 a=3,b=2. 2 3m 2 则 f(3)= ,f(2)=2m .

2 当 m=0 时,f(a)=f(b); 当 m≠0 时,f(a)<f(b). 故 f(a)≤f(b). a 1816 ?18?16 1 ?9?16 ? 1 ?16 ? 9 ?16 (2)可以利用 = 18=? ? × 2=? ? ×? ? =? ? , b 16 ?16? 16 ?8? ? 2? ?8 2? 9 ? 9 ?16 ∵ ∈(0,1),∴? ? <1, ?8 2? 8 2 ∵18 >0,16 >0,∴18 <16 . 即 a<b. [答案] (1)C (2)< 【互动探究】 若将本例(1)条件中“a>b>1”改为“a<b<1”,试比较 f(a)与 f(b)的大小. b-a 2 解:∵f(a)-f(b)=m · , a- b- 当 m=0 时,f(a)=f(b); 2 当 m≠0 时,m >0,又 a<b<1, ∴b-a>0,a-1<0,b-1<0, ∴f(a)>f(b). 故 f(a)≥f(b). 【方法规律】 比较大小的常用方法 (1)作差法
1
16 18 16 18

一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式 分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以 先平方再作差. (2)作商法 一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论(注意所比较的两个数的 符号). (3)特殊值法 若是选择题、填空题可以用特殊值法比较大小;若是解答题, 可以用特殊值法探究思 路.

1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( ) A.M <N B.M>N C.M=N D.不确定 解析:选 B M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1- 1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0.∴M>N. a b b a 2.当 a>0,b>0 且 a≠b 时,比较 a b 与 a b 的大小. aabb a-b b-a a-b?1?a -b ?a?a-b 解: b a=a b =a ? ? =? ? .

?b? ?b? a ?a?a-b ∵当 a>b,即 >1 时,? ? >1, b ?b?
ab
∴a b >a b . 当 a<b,即 <1 时,? ? b
a b b a a b b a

a b

?a?a-b>1, ? ?

∴a b >a b . a b b a ∴当 a>0,b>0 且 a≠b 时,a b >a b . 高频考点 考点二

不等式性质的简单应用

1.不等式性质的考查主要以客观题为主,难度中等偏下. 2.高考对不等式性质的考查有以下几个命题角度: (1)与充要条件相结合命题; (2)与命题真假的判断相结合命 题; (3)求代数式的取值范围. 2 [例 2] (1)(2013·天津高考)设 a,b∈R,则“(a-b)·a <0”是“a<b” 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2013·北京高考)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( ) 1 1 A.ac>bc B. <

)

a b 3 3 C.a >b D.a >b (3)(2012·湖南高考)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c c c ① > ;②a <b ;③logb(a-c)>loga(b-c). a b
2 2

其中所有正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③

2

(4)(2014·南通模拟)设 x,y 为实数,满足 3≤xy ≤8,4≤ ≤9,则 4 的最大值是 ________. 2 [自主解答] (1)(a-b)·a <0,则必有 a-b<0,即 a<b;而 a<b 时,不能推出(a- b)·a2<0,如 a=0,b=1,所以“(a-b)·a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件. (2)A 选项,当 c<0 时,ac<bc,故 A 不正确;B 选项,当 a>0>b 时,显然 B 不正确;C 2 2 3 选项,当 a=1,b=-2 时,a <b ,C 不正确;D 选项,因 y=x 是单调递增函数,当 a>b 时, 3 3 有 a >b ,D 是正确的. 1 1 c c (3)由不等式性质及 a>b>1,知 < ,又 c<0,所以 > ,①正确;由指数函数的图象与性

2

x2 y

x3 y

a b a b 质,知②正确;由 a>b>1,c<0,知 a-c>b-c>1-c>1,由对数函数的图象与性质,知③正
确.

x 1 y 1 1 y 1 (4)∵4≤ ≤9,∴ ≤ 2≤ ,∴ ≤ 4≤ . y 9 x 4 81 x 16 3 x 1 1 1 y2 1 x3 2 2 又∵3≤xy ≤8,而 4= 4= ,且 ≤ xy · ≤ , ∴2≤ ≤27. y y y2 27 x4 2 y4 2 xy · 4 3 x x
[答案] (1)A (2)D (3)D (4)27 不等式性质的应用问题的常见类型及解题策略 (1)与充要条件相结合问题.用不等式的性质分别判断 p? q 和 q? p 是否正确,要注意 特殊值法的应用. (2)与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采 用特殊值验证的方法. (3)求代数式的取值范围.要注意不等式同向可乘性的适用条件以及整体思想的运用. 1.已知 a>b>0,给出下列四个不等式: 2 2 a b-1 3 3 2 ①a >b ;②2 >2 ;③ a-b> a- b;④a +b >2a b. 其中一定成立的不等式为( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 2 2 解析:选 A 由 a>b>0,可得 a >b ,①成立;由 a>b>0,可得 a>b-1,而函数 f(x)= x a b-1 2 2 在 R 上是增函数,∴f(a)>f(b-1),即 2 >2 ,②成立;∵a>b>0,∴ a> b,∴( a-b) 2 -( a- b) =2 ab-2b=2 b·( a- b)>0,∴ a-b> a- b,③成立;若 a=3,b 3 3 2 3 3 2 =2,则 a +b =35,2a b=36,则 a +b <2a b, ④不成立. 2.若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:①ad>bc;② + <0;③a-c>b-d;④a(d-

2

2

a b d c

c)>b(d-c)中正确的命题为________. 解析:∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,则 ad<bc, ①错误;由 a>0>b>-a,知 a>-b>0,又-c>-d>0, 因此 a·(-c)>(-b)·(-d ),即 ac+bd<0, a b ac+bd ∴ + = <0,故② 正确; d c cd 显然 a-c>b-d,∴③正确; ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴④正确.
答案:②③④ 考点三 不等式与函数、方程的综合问题

3

[例 3] 已知 f(x)是定义在(-∞,4]上的减函数,是否存在实数 m,使得 f(m-sin 7 2 ? ? x)≤f? 1+2m- +cos x?对定义域内的一切实数 x 均成立?若存在, 求实数 m 的取值范围; 4 ? ? 若不存在,请说明理由. [自主解答] 假设实数 m 存在,依题意,可得

m-sin x≤4, ? ? ? 7 m-sin x≥ 1+2m- +cos2x, ? 4 ? m-4≤sin x, ? ? 即? 1? 1 ? m- 1+2m+ ≥-?sin x- ?2. ? 2? 2 ? ?
1?2 ? 因为 sin x 的最小值为-1,且-?sin x- ? 的最大值为 0,要满足题意, 2? ?

m-4≤-1, ? ? 必须有? 1 m- 1+2m+ ≥0, ? 2 ?
1 3 解得 m=- 或 ≤m≤3. 2 2

?3 ? ? 1? 所以实数 m 的取值范围是? ,3?∪?- ?. ?2 ? ? 2?
不等式恒成立问题一般要利用函数的值域,m≤f(x)恒成立,只需 m≤f(x)min;m≥f(x) 恒成立,只需 m≥f(x)max.

已知奇函数 f(x)在 R 上是单调递减函数,α ,β ,γ ∈R,α +β >0,β +γ >0,γ + α >0,说明:f(α )+f(β )+f(γ )的值与 0 的关系. 解:由 α +β >0,得 α >-β , ∵f(x)在 R 上是减函数,且为奇函数, ∴f(α )<f(-β )=-f(β ), ∴f(α )+f(β )<0, 同理 f(β )+f(γ )<0,f(γ )+f(α )<0, 以上三式相加,得 2[f(α )+f(β )+f(γ )]<0, 故 f(α )+f(β )+f(γ )<0. ————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 种方法——比较大小的方法 作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法,其中变形是关键. 个注意点——应用不等式的性质应注意的问题 (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号 是传递不过去的.如 a≤b,b<c? a<c. (2)在乘法法则中,要特 别注意“乘数 c 的符号”,例如当 c≠ 2 2 2 2 0 时,有 a>b? ac >bc ;若无 c≠0 这个条件,a>b? ac >bc 就是错误结论(当 c=0 时, 取“=”). n n * (3)“a>b>0? a >b (n∈N ,n>1)”成立的条件是“n 为大于 1 的自然数,a>b>0”,假如 -1 -1 去掉“n 为大于 1 的自然数”这个条件,取 n=-1,a=3,b=2,那么就会出现“3 >2 ” 2 的错误结论;假如去掉“b>0”这个条件,取 a =3,b=-4,n=2,那么就会出现“3 >(- 2 4) ”的错误结论.
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