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知能巩固提升(十六) 课后巩固作业(十六) 2.3.2


知能巩固提升(十六)/课后巩固作业(十六)
(时间:30 分钟 满分:50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.已知 X 的分布列为 X P 则① E ? X ?= ? ,② D ? X ?= (A)0 (B)1 (C)2
1 3

-1
1 2

0
1 1 6 3

1
1 6

23 1 ,③ P(X=0)= ,其中正确的个数为( 27 3

)

(D)3

2.(2012·广州高二检测)设服从二项分布 X~B(n,p)的随机变量 X 的均值与方 差分别是 15 和
1 4 3 (C)50, 4 45 ,则 n,p 的值分别是( 4 1 (B)60, 4 3 (D)60, 4

)

(A)50,

3.(2012·长春高二检测)若ξ 的分布列如下表所示,且 E(ξ )=1.1,则( ξ P (A)D(ξ )=2 (C)D(ξ )=0.5 0 0.2 (B)D(ξ )=0.51 (D)D(ξ )=0.49
2 3

)

1 p

x 0.3

4.(2012·海口高二检测)若 X 是离散型随机变量,P(X=x1)= ,P(X=x2)= , 且 x1<x2.又已知 E(X)= ,D(X)= ,则 x1+x2 的值为( (A)
5 3 4 3 2 9

1 3

)

(B)

7 3

(C)3

(D)

11 3

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.我国第一个天空运行目标器“天宫一号”是由长征 2 号 F 运载火箭发射的,
-1-

它发射成功的概率现在已经为 0.97.令 X ? ? 成功),则随机变量 X 的方差为_______.

?1, (1 表示发射成功,0 表示发射不 ?0

6.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=_____时,成功 次数的标准差的值最大,其最大值为_____. 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.有 A,B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下: ξ P
A

110 0.1

120 0.2

125 0.4

130 0.1

135 0.2

ξ P

B

100 0.1

115 0.2

125 0.4

130 0.1

145 0.2

其中ξ A,ξ B 分别表示 A,B 两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度 不低于 120,试比较 A,B 两种钢筋哪一种质量较好. 8.(易错题)袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的 有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号. (1)求ξ 的分布列、均值和方差; (2)若η =aξ +b,E(η )=1,D(η )=11,试求 a,b 的值. 【挑战能力】 (10 分)A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2.根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 P 5% 0.8
-2-

10% 0.5

X2 P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

(1)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获 得的利润,求方差 D(Y1)和 D(Y2); (2)将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,100-x 万元投资 B 项目,f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值, 并指 出 x 为何值时,f(x)取到最小值.(注:D(aX+b)=a2D(X))

答案解析
1.【解析】选 C. E ? X ?=? ?1? ? +0 ? +1? =? ,故①正确;
1 1 1 1 1 1 5 1 D ? X ?=( ? 1 ? )2 ? +(0 ? )2 ? +(1 ? )2 ? = , 故②不正确; ③ P(X=0)= 显然正确. 3 2 3 3 3 6 9 3 1 2 1 3 1 6 1 3

1 ?np ? 15, ? ? ?p ? , 2.【解析】选 B.由 ? 4 45 得 ? np 1 ? p ? , ? ? ? ? n ? 60. ? 4 ?

【变式训练】若 X~B(n,p)且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为( (A)3·2-2 (B)2-4 (C)3·2-10 (D)2-8

)

【解析】选 C.随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布,所以 E(X)=np,D(X)
? n ? 12, ? ?np ? 6, =np(1-p).所以 ? 所以 ? ? 1 p? , ? ?np ?1 ? p ? ? 3, ? ? 2
12 3 2?10 . 所以 P(X=1)=C1 12 ( ) =

1 2

-3-

3.【解析】选 D.0.2+p+0.3=1,∴p=0.5. 又 E(ξ)=0〓0.2+1〓0.5+0.3x=1.1,∴x=2, ∴D(ξ)=(0-1.1)2〓0.2+(1-1.1)2〓0.5+(2-1.1)2〓0.3=0.49. 4.【解析】选 C.∵ E ? X ?= x1+ x 2= . ∴x2=4-2x1, D ? X ?=( ? x1 )2 ? +( ? x 2 )2 ? = . ∵x1<x2,∴ ?
? x 1 ? 1, ∴x1+x2=3. ? x 2 ? 2,
4 3 2 3 4 3 1 3 2 9 2 3 1 3 4 3

5.【解析】由于发射一次长征 2 号 F 运载火箭只有两种结果:成功与不成功, 因此发射一次航天器服从两点分布.故 D(X)=0.97〓(1-0.97)=0.029 1. 答案:0.029 1 6.【解析】 成功次数ξ~B(100,p),所以 D(?) ? 100p ?1 ? p ? ? 100 ? (
1 2 p ?1? p 2 ) ? 25, 2

当且仅当 p=1-p 即 p ? 时,成功次数的标准差最大,其最大值为 5. 答案:
1 2

5

7.【解题指南】两个随机变量ξA 和ξB 都以相同的概率 0.1,0.2,0.4,0.1, 0.2 取 5 个不同的数值.ξA 取较为集中的数值 110,120,125,130,135;ξB 取较为分散的数值 100,115,125,130,145.直观上看,猜想 A 种钢筋质量较 好.但猜想不一定正确,需要通过计算来证明我们猜想的正确性. 【解析】先比较ξA 与ξB 的均值,因为 E(ξA)=110〓0.1+120〓0.2+125〓0.4+130〓0.1+135〓0.2=125, E(ξB)=100〓0.1+115〓0.2+125〓0.4+130〓0.1+145〓0.2=125. 所以,它们的均值相同.再比较它们的方差. 因为 D(ξA)=(110-125)2〓0.1+(120-125)2〓0.2+(125-125)2〓0.4+(130-125)2〓 0.1+(135-125)2〓0.2=50,
-4-

D(ξB)=(100-125)2〓0.1+(115-125)2〓0.2+(130-125)2〓0.1+(145-125)2〓 0.2=165. 所以,D(ξA)< D(ξB).因此,A 种钢筋质量较好. 8.【解析】(1)ξ的分布列为: ξ p ∴ E(?) ? 0 ? ? 1?
1 2

0
1 2

1
1 20

2
1 10

3
3 20

4
1 5

1 1 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. 20 10 20 5 1 1 1 3 1 2 2 2 2 2 D(?) ? ? 0 ? 1.5? ? ? ?1 ? 1.5 ? ? ? ? 2 ? 1.5 ? ? ? ? 3 ? 1.5 ? ? ? ? 4 ? 1.5 ? ? ? 2.75. 2 20 10 20 5

(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2〓2.75=11,即 a=〒2, 又 E(η)=aE(ξ)+b 所以 当 a=2 时,由 1=2〓1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2〓1.5+b,得 b=4. ∴?
?a ? 2, ?a ? ?2, 或? 即为所求. ?b ? ?2, ?b ? 4

【挑战能力】 【解题指南】利用方差的定义建立 x 的函数,利用二次函数的性质求解本题. 【解析】(1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P 5 0.8 10 0.2

Y2 P E(Y1)=5〓0.8+10〓0.2=6,

2 0.2

8 0.5

12 0.3

-5-

D(Y1)=(5-6)2〓0.8+(10-6)2〓0.2=4, E(Y2)=2〓0.2+8〓0.5+12〓0.3=8, D(Y2)=(2-8)2〓0.2+(8-8)2〓0.5+(12-8)2〓0.3=12.
x 100 ? x Y1 ) ? D( Y2 ) 100 100 x 100 ? x 2 ) D ? Y2 ? = ( )2 D ? Y1 ? ? ( 100 100 4 2 [x 2 ? 3 ?100 ? x ? ] = 2 100 4 = 2 (4x 2 ? 600x ? 3 ?1002 ) , 100

(2) f ? x ? ? D(

故当 x=75 时,f(x)取得最小值 3.

-6-


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