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2012一轮复习(三角函数)第6讲 函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用


第6讲

函数 y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用 知 识 梳理

的函数: 形如 y = A sin(ω x + ? ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅; f = 几个物理量

表达式的确定:A 由最值确定; ω 由周期确定; ? 由图象上的特殊点确定, (2)函数 y = A sin(ω x + ? ) 表达式的确定 图象的画法:①“五点法”――设 X = ω x + ? ,令 X =0, (3)函数 y = A sin(ω x + ? ) 图象的画法

1 ―频率(周期的倒数) ω x + ? ―相位; ? ―初相; ; T

π

2

,π ,

3π , 2π 求 2

出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 图象间的关系: (4)函数 y = A sin(ω x + ? ) + k 的图象与 y = sin x 图象间的关系 的图象; ②函数 y = sin ( x + ? ) 图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的 函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象;

①函数 y = sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y = sin ( x + ? )

1

ω

,得到

④ 函 数 y = A sin(ω x + ? ) 图 象 的 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 向 上 ( k > 0 ) 或 向 下 ( k < 0 ) 得 到 ,

③函数 y = sin (ω x + ? ) 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象;

y = A sin (ω x + ? ) + k 的图象。

? | 个单位, ω 性质的方法: 的性质,只需将 y = A sin(ω x + ? ) 中 (5)研究函数 y = A sin(ω x + ? ) 性质的方法:类比于研究 y = sin x 的性质 的 ω x + ? 看成 y = sin x 中的 x ,但在求 y = A sin(ω x + ? ) 的单调区间时,要特别注意 A 和 ω 的符号,通 的单调区间时, 的符号, 求 化正。 过诱导公式先将 ω 化正。
要特别注意 特别注意,若由 y = sin (ω x ) 得到 y = sin (ω x + ? ) 的图象,则向左或向右平移应平移 | 特别注意 重 难 点 突 破 对三角函数图像的对称性和平移变换要熟练掌握 (2)对三角函数图像的对称性和平移变换要熟练掌握 2.已知函数 y = f ( x ) sin x 的一部分图象如右图所示,则函数 f ( x ) 可以是 问题 2. A

2 sin x

B 2 cos x

C ? 2 sin x D ? 2 cos x 点拨:用代入法,结合周期为 π 及对称性可知选 D

考 点 题 型 探 析

考点 1

函数图象变换问题

题型:将几何条件转化为参数的值.

用心

爱心

专心

[例 1]将函数 y = sin(2 x ?

π
3

) 的图象先向左平移

π
6

,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍 ) .

(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为( A. y = ? cos x B. y = sin 4 x C.

[解析] y = sin(2 x ?

π
3

y = sin( x ? ) 6

π

D. y = sin x

) 的图象先向左平移

π

? y = sin[2( x + ) ? ] = sin 2 x ,横坐标变为原来 6 6 3

π

π

的 2 倍 ? y = sin 2( x ) = sin x .选 D . 【新题导练】 1. (2008·东莞五校联考题)将函数 y = sin 4 x 的图像向左平移 则 ? 等于( A、 ? ) B、 ?

1 2

π
12

个单位,得到 y = sin( 4 x + ? ) 的图像,

π
12

π
3

C、

π
3

D、

π
12

解析.C. [将函数 y = sin 4 x 的图像向左平移

π
12

个单位,得到 y = sin 4( x +

) = sin(4 x + ) ] 12 3

π

π

2.我们知道,函数 y = sin 2 x 的图象经过适当变换可以得到 y = cos 2 x 的图象,则这种变换可以是 A.沿 x 轴向右平移 C.沿 x 轴向左平移

π
4

个单位 个单位

B.沿 x 轴向左平移 D.沿 x 轴向右平移

π
4

个单位 个单位

π
2

π
2

解析: y = cos 2 x = sin(2 x +

π
2

) = sin 2( x +

π
4

)选 B

考点 2

确定函数解析式问题


题型 1:分析图形定参数 例 1.已知函数 y = 2sin(ω x + ? )(ω > 0) )在区间 [ 0, ] 的图像如下:那么 ω =( 2π A.1 B.2 C.

1 2

D.

1 3

y 1 O 1



x

【解析 解析】由图象知函数的周期 T = π ,所以 ω = 解析 2.分析图象特征确定参数再求值 题型 2.分析图象特征确定参数再求值

2π = 2 答案:B T

例 2.已知向量 m = (1, cos ωx), n = (sin ωx, 3 ) , ω > 0 ) 函数 f ( x) = m ? n 且 f(x) 图像上一个最高点的 ( , 坐标为 (

π

12

,2) ,与之相邻的一个最低点的坐标为 (

7π ,?2) . ( 1 )求 f(x)的解析式。 12
2 2 2

(2)在△ABC 中, a、b、c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a + c ? b = ac ,求角 B 的大小以及 f(A) 取值范围。
用心 爱心 专心

【解题思路】将条件代入求参数,分析角之间的关系求值. 解析:(Ⅰ) f ( x) = m ? n = sin ωx + 3 cos ωx = 2( sin ωx + 解析: ∵f(x) 图像上一个最高点的坐标为 ( ∴

1 2

3 π cos ωx) = 2 sin(ωx + ) 2 3
7π ,?2) . 12

π

π T 7π π π 2π = ? = , 所 以 T =π , 于 是 ω = = 2 可知f ( x ) = 2 sin( 2 x + ) ( 2 ) ∵ 2 12 12 2 T 3
2 2

12

,2) ,与之相邻的一个最低点的坐标为 (

a 2 + c2 ? b2 1 π a + c ? b = ac , cos B = ∴ = , 0< B <π , B = 又 ∴ 2ac 2 3
2

f (A ) = 2 sin(2 A +

π
3

),

∵B = 可知

π
3

,∴ 0 < A <

π
3

< 2A +

π
3

<

5π π ∴ sin(2 A + ) ∈ [? 1,1]∴ f ( A ) ∈ [? 2 , 2 ] 3 3

2π , 3

【新题导练】 3.函数 y = A sin(ωx + ? )( A > 0,0 < ? < π ) 的图像的两个相邻零点为 ( ? 值为 2,最小值为-2,则该函数的解析式为( )

π

,0) 和 ( , 0) ,且该函数的最大 6 2

π

3x π A、 y = 2 sin( + ) 2 4 3x π C、 y = 2 sin( + ) 2 6

x π B、 y = 2 sin( + ) 2 4 x π D、 y = 2 sin( + ) 2 6

解析 A. [由图像的两个相邻零点为 ( ?

,0) 和 ( , 0) 得 6 2 T π π 2π 4π 2π 3 = + = ?T = = ? ω = ,由最大值为 2,最小值为-2 知 A = 2 ,又函数过点 2 2 6 3 3 2 ω π 3 π π π π (? , 0) 得 2 sin[ × (? ) + ? ] = 2sin(? ? ) = 0 , ? ? = kπ (k ∈ Z ) , 0 < ? < π , ? = , 故 而 故 6 2 6 4 4 4 3 π 从而所求函数为 y = 2sin( x + ) ] 2 4


π

π

4.若函数 f ( x ) = sin(ω x + ? ) 的图像(部分)如下图所示,则 ω 和 ? 的取值是( A、 ω = 1, ? =

π
3

B、 ω = 1, ? = ?

π
3

C、 ω =

1 π ,? = 2 6

D、 ω = 1, ? = ?

π
6

? π ?? 3 ω + ? = 0 ? 解析.C [由 ? 解出即可] ? 2π ω + ? = π ? 3 2 ?
用心 爱心 专心

5.已知函数 f (x ) = sin(ωx + ? ) ( ω > 0 , 0 ≤ ? ≤ π )为偶函数,且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离 为 4+π 2 . ⑴求 f (x ) 的解析式; ⑵若 tan α + cot α = 5 ,求
2 f (2α ?

π
4

) ?1

1 ? tan α

的值。

解析:⑴设最高点为 ( x1 , 1) ,相邻的最低点为 ( x2 , ? 1) ,则|x1–x2|= ∴

T (T > 0) 2

2π T2 + 4 = 4 + π 2 ,∴ T = 2π = ,∴ ω= ………………………(3 分) 1 4 ω π ∴ f ( x ) = sin( x + ? ) , ∵ f ( x ) 是偶函数,∴ sin ? = ±1 , ? = kπ + (k ∈ Z ) .
∵ 0 ≤ ? ≤ π ,∴ ? =

π
2

2

,∴ f ( x ) = sin( x +

π
2

) = cos x …………… (6 分)

⑵∵ tan α + cot α = 5 ,∴ sin α cos α =

2 cos(2α ? ) ? 1 2 4 = 2sin α cos α = ∴原式 = 1 ? tan α 5

π

1 ………………………………(8 分) 5

考点 3

三角函数模型的简单应用

题型 1. 形如 y = A sin(ω x + ? ) + b 的建模 [例 1] (2006·广东模拟)如图某地夏天从 8~14 时用电量变化曲线近似满足函数 y = A sin(ω x + ? ) + b . (1)求这一天的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式.

图3-4-7
【解题思路】在实际背景中抽取出基本的数学关系是解题的关键所在 [解析] (1)最大用电量为 50 万度,最小用电量为 30 万度. (2)观察图像可知,从 8~14 时的图像是 y = A sin(ω x + ? ) + b 的半个周期的图像. ∴A=

1 1 × (50 ? 30) = 10, b = × (50 + 30) = 40 . 2 2 T 1 2π π π ∵ = 14 ? 8 = ? ,∴ ω = ,∴ y = 10sin( x + ? ) + 40 2 2 ω 6 6

将 x = 8, y = 30 代入上式,解得 ? = ∴所求解析式为 y = 10sin(

π

π

x + ) + 40, x ∈ [8,14] . 6 6

π

6

用心

爱心

专心

题型 2. 分析平面图形建立三角函数模型 [例 2]如图, A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上, ∠AOP = θ (0 < θ < π ),

OQ = OA + OP ,四边形 OAQP 的面积为 S .
(Ⅰ)求 OA ? OQ + S 的最大值及此时 θ 的值 θ 0 ;

y

3 4 5 5 在(Ⅰ)的条件下,求 cos(α + θ 0 ).

(Ⅱ)设点 B 的坐标为 (? , ) , ∠AOB = α ,

B

P

Q

O

A

X

【解题思路】由单位圆联想到三角函数的定义 解析: (Ⅰ)由已知, A , P 的坐标分别为 (1, 0), (cos θ , sin θ )

∴ OQ = (1 + cos θ ,sin θ ) , OAiOQ = 1 + sin θ
又 S = cos θ

∴ OAiOQ + S = sin θ + cos θ + 1 = 2 sin(θ + ) + 1(0 < θ < π ) 4
故 OA ? OQ + S 的最大值的最大值是 2 + 1 ,此时 θ 0 =

π

π

4

3 4 (Ⅱ)∵ cos α = ? , sin θ = 5 5

∴ cos(θ0 + α ) = ?

7 2 10
0

7.已知 ?ABC 中, | AC |= 1 , ∠ABC = 120 , ∠BAC = θ , 记 f (θ ) = AB? BC , (1)求 f (θ ) 关于 θ 的表达式; (2)求 f (θ ) 的值域; 解: (1)由正弦定理有: A
→ →

θ

B 120° C

| BC | 1 | AB | = = ; 0 sin θ sin 120 sin(60 0 ? θ )

∴ | BC |=
→ →

1 sin(60 0 ? θ ) sin θ , | AB |= ; sin 120 0 sin 120 0 4 1 2 3 1 sin θ ? sin(60 0 ? θ ) ? = ( cos θ ? sin θ ) sin θ 3 2 3 2 2

∴ f (θ ) = AB? BC =

1 π 1 π = sin(2θ + ) ? (0 < θ < ) 3 6 6 3 π π π 5π ; (2)由 0 < θ < ? < 2θ + < 3 6 6 6
用心 爱心 专心



1 π 1 < sin(2θ + ) ≤ 1 ;∴ f (θ ) ∈ (0, ] 2 6 6

用心

爱心

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