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平面向量与三角函数的综合运用公开课


三角函数与向量的综合问题是 今年高考热点,目的在于考察学生 对三角函数基本关系式的变形、运 算、推理等,以及平面向量的相关 知识等,难度不大。

三角函数与向量的综合运用

数学·必修一、四·期末复习(二)第27题

? ? ? ? 若a ? ? 2 cos ? ,1? , b ? ? sin ? ,1? , 且a

/ / b, 则 tan ? ? ? A ? 1 A. 2 B. C. ? 2 2 ? ? 设a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2, y2 ? , 则 1 D. ? 2

? ? a / /b ? x1 y2 ? x2 y1.

即:坐标交叉相乘积相等

? ? 已知 a ? ?1,sin ? ? , b ? ?1, cos ? ? ,? ? R ? ? ? 1? ①若a-b= ? 0, ? , 求 sin 2? 的值. ? 5? ? ? sin ? ? 2cos ? ②若a +b= ? 2, 0 ? , 求 的值. 2sin ? ? cos ?
? ? 设a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2, y2 ? , 则
? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?

解:

? ? ? 1? ① a ?b ? ?1,sin ? ? ? ?1,cos ? ? ? ? 0,sin ? ? cos ? ? ? ? 0, ? ? 5? 1 所以 sin ? ? cos ? ? , 此式两边平方,得: 5 1 1 2 2 sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? ? , 即1 ? 2sin ? cos ? ? 25 25 1 24 所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? ? . 25 25

② ? ? a ? b ? ? 2,sin ? ? cos ? ? ? ? 2, 0 ? , 所以 sin ? ? cos ? =0,即sin ? ? ? cos ? 法一: 易知 tan ? ? ?1, 所以 sin ? ? 2 cos ? tan ? ? 2 ?1 ? 2 1 ? ? ?- . 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ?1? 2-1 3 法二: sin ? ? 2 cos ? ? cos ? +2 cos ? cos ? 1 ? ? ?- . 2sin ? ? cos ? ?2 cos ? - cos ? -3cos ? 3

数学·必修一、四·期末复习(二)第38题 ? ? 已知a ? ? cos ? , sin ? ? , b ? ? cos ? , sin ? ? , ? ? 2 a ?b ? 5, 求 cos ?? ? ? ?的值. 5

? a ? ? x, y ? , 则 ? ? 2 ?2 2 2 2 2 模长公式: a ? x ?y 或a ?a ?x ?y

解题过程

? ? 解: a ? b ? ? cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ? ,
2 ? ? 2 ? ?2 ?2 ? 4 又 a ?b ? 5 ,所以 a ? b ? ? 5? ? 5 ?5 ? 5 4 2 2 即? cos ? ? cos ? ? + ? sin ? ? sin ? ? ? 5
2 2 2 2

4 即 cos ? ? cos ? ? 2cos? cos ? ? sin ? ? sin ? ? 2sin ? sin ? ? 5

4 即 1+1-2 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? , 5 所以 4? 1 3 ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 2 ? ? ? ? . 5? 2 5 ?

数学·必修一、四·期末复习(二)第47题 ? ? ? ? f ( x) ? a ? b, a ? ? 2 cos x,1? , b ? cos x, 3 sin 2 x ? m .

?

?

①求f ( x)的最小正周期.

? ? ②若m ? ?2, 求当 x 为何值时, a⊥b?

? ? 设a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2, y2 ? , 则 ? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? ? a⊥b ? a ? b =0 ? x1 x2 ? y1 y2 =0

? ? 解: f ? x ? ? a ? b ? 2 cos x ? cos x ? 3 sin 2 x ? m ? cos 2 x + 3 sin 2 x ? m+1 ? 2sin ? 2 x ? 30 ? ? m+1
?

2 π ① 最小正周期T ? ?π . 2

② 若 m ? -2,则f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 30 ? ? 1. ? ? ? ? 因为a⊥b, 所以a ? b =0, 即f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 30? ? ? 1=0.
?

1 所以 sin ? 2 x ? 30 ? ? , 2 所以
?

2 x ? 30 ? 30 +360 k 或2 x ? 30 ? 150 +360 k
? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? 即当x ? 180 k 或x ? 60 +180 k,k ? Z时a⊥b.

解得:x ? 180 k 或x ? 60 +180 k
? ? ?


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