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2014高三数学总复习8-4椭圆 84张(人教A版)


第八章

平面解析几何

第八章

平面解析几何

第八章
第四节 椭 圆

第八章

平面解析几何

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第八章

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基础梳理导学

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平面解析几何

重点难点

引领方向

重点:椭圆的定义、标准方程及几何性质. 难点:椭圆的几何性质及其应用,椭圆方程的求法.

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平面解析几何

夯实基础 稳固根基 1.椭圆的定义 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 的 和 等 于 常 数 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.

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平面解析几何

2.椭圆的标准方程与几何性质 标准 方程 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) x2 y2 b2+a2=1(a>b>0)

图形

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平面解析几何

焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴 离心率

F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c(c= a2-b2) |x|≤a,|y|≤b 关于

F1(0,-c),F2(0,c) |F1F2|=2c(c= a2-b2) |x|≤b,|y|≤a 和原点对称

性 质

x 轴、y 轴

(± a,0),(0,± b)

(0,± a),(± b,0)

长轴长 2a ,短轴长 2b

c e= a (0<e<1)

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平面解析几何

疑难误区 点拨警示 1.椭圆的定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹 是线段或不存在的情况. x2 y2 2.椭圆a2+b2=1(a>0,b>0)中,|x|≤a,|y|≤b 的范 围在求有关最值时不要漏掉.

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平面解析几何

思想方法技巧

第八章

平面解析几何

一、函数与方程的思想、待定系数法 1.在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中,常将 所求量表达为其他量的函数,运用函数的方法解决. 2.求椭圆方程时,焦点位置不明确要分类讨论.

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平面解析几何

3.求圆锥曲线方程时,往往是已知曲线形状特征或由已 知条件可分析其几何特征,确定形状,设出其标准方程,然 后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数.要注 意解题过程中,设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元 二次方程根与系数的关系求解.

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平面解析几何

二、解题技巧 1.求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法,运用待定 系数法求方程时,当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标 x2 y2 准方程时,设方程为 m + n =1(m>0,n>0),可以避免讨论和 繁琐的计算,也可以设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0),这种形式 在求解过两定点的椭圆方程时更简便.

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平面解析几何

2.焦点三角形问题 椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形.习惯上 称为焦点三角形,在焦点三角形中命制题目是常见命题方式, 解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手: ①定义 ②正、余弦定理 ③三角形面积.

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平面解析几何

3.求椭圆的离心率时,常常要列出 a、b、c 的一个齐次 c 方程,结合 b =a -c ,两边同除以 a 化为 e(e=a)的二次方
2 2 2 2

程求解. 4.椭圆上点 M 到焦点距离的最大值为 a+c,最小值为 a -c.

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考点典例讲练

第八章

平面解析几何

椭圆的标准方程

[例 1]

如图所示,A、B 是椭圆的两个顶点,C 是 AB

的中点,F 为椭圆的右焦点,OC 的延长线交椭圆于点 M,且 |OF|= 2,若 MF⊥OA,则椭圆的标准方程为________.

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平面解析几何

分析:欲确定椭圆的标准方程需求 a、b 的值,又已知 c = 2,∴a2-b2=2,只需再建立 a、b 的一个方程,组成方程 组即可获解,注意到 MF⊥OA,及 M 在椭圆上,M 又在直线 OC 上,据此可列出 a,b 的关系式.

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平面解析几何

x2 y2 解析:设所求的椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 A(a,0), a b a b B(0,b),C(2,2),F( a2-b2,0). 依题意得 a2-b2= 2, a2-b2=2.又 MF⊥OA, FM 即 则 b 2 所在的直线方程是 x= 2,代入椭圆方程得 y=± a -2. a

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平面解析几何

b 2 结合图象可知 M 点的坐标为( 2, a -2). a b a2-2 b a 2 由于 O、 M 三点共线, C、 所以 =a, a2-2=2, 即 2 2 x2 y2 所以 a2=4,b2=2.所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 4 2

x2 y2 答案: 4 + 2 =1

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平面解析几何

x2 y2 与椭圆 4 + 3 =1 有相同的离心率,焦点在 x 轴上,且经 过点(2,- 3)的椭圆方程为( x2 y2 A. 8 + 6 =1 x2 y2 B. 3 + 4 =1 x2 y2 x2 y2 C. 8 + 6 =1 或 3 + 4 =1 x2 y2 D.12+ 9 =1
第八章 平面解析几何

)

x2 y2 解析:设所求椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ?a2-b2 1 ? a2 =4, 由题意知? ? 42+ 32=1, ?a b

解之得 a2=8,b2=6,故选 A.

答案:A

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平面解析几何

点评:可用验证选项淘汰法解答.

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平面解析几何

椭圆的定义

[例 2]

(2011· 新课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中, 椭

2 圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 2 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________.

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平面解析几何

分析:由直线 l 过 F1 交椭圆 C 于 A、B 两点,△ABF2 的 周长为 16,结合椭圆的定义可求 a,再结合离心率可求 c,由 a2-b2=c2 可求得 b.

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平面解析几何

x2 y2 解析:根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 2+ 2= a b 2 c 2 1(a>b>0),∵e= 2 ,∴a= 2 ,根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,∴c=2 2,b2=a2-c2=8,所以椭圆方 x2 y2 程为16+ 8 =1.

x2 y2 答案:16+ 8 =1

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平面解析几何

x2 2 已知点 M( 3,0),椭圆 4 +y =1 与直线 y=k(x+ 3)交 于点 A、B,则△ABM 的周长为( A.4 B.8 ) C.12 D.16

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平面解析几何

解析:直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M、N 恰 x2 2 为椭圆 4 +y =1 的两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的周长为 4a=4×2=8.

答案:B

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平面解析几何

椭圆的离心率

[例 3]

(文)已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的 )

一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心率等于( 5 A.13 3 C. 5 12 B.13 4 D. 5

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平面解析几何

解析:设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为 a、 b、c,则由条件知,b=6,a+c=9 或 a-c=9, 又 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=36, ? 13 ?a+c=9, ?a= 2 , ? 故? ∴? ?a-c=4, ? ?c=5, ? 2

c 5 ∴e= = . a 13

答案:A

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平面解析几何

(理)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴 垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 是等腰直角三角 形,则这个椭圆的离心率是( 3 A. 2 C. 2-1 2 B. 2 D. 2 )

分析:由 AB⊥F1F2 及△ABF2 为等腰直角三角形可知△ AF1F2 为等腰直角三角形,从而|AF1|=|F1F2|.

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平面解析几何

解析:∵△ABF2 是等腰直角三角形,∴|AF1|=|F1F2|,将 x2 y2 b2 b2 x=-c 代入椭圆方程a2+b2=1 得 A(-c,±a ),从而 a =2c, 即 a2-c2=2ac,整理得 e2+2e-1=0, 解得 e=-1± 2,由 e∈(0,1)得 e= 2-1.

答案:C

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平面解析几何

x2 y2 (2012· 江西文, 8)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 右顶点分别 是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成 等比数列,则此椭圆的离心率为( 1 A.4 1 C.2 5 B. 5 D. 5-2 )

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平面解析几何

解析:本题考查椭圆方程,等比数列知识、离心率等. ∵A、 分别为左右顶点, 1、 2 分别为左右焦点, B F F ∴|AF1| =a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成 5 等比数列得(a-c)(a+c)=4c , a =5c , 即 所以离心率 e= 5 .
2 2 2

答案:B

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平面解析几何

点评:要求离心率,应找到 a、c 关系.

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平面解析几何

椭圆中的最值问题

[例 4]

x2 y2 椭圆 + =1 上点 P 到两焦点距离的乘积为 16 25

m,当 m 取最大值时,点 P 的坐标为________.

第八章

平面解析几何

解析:a=5,b=4,设两焦点为 F1、F2,则|PF1|+|PF2| =10, ∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· 2| |PF =100≥4|PF1||PF2|, ∴m=|PF1|· 2|≤25. |PF 当且仅当|PF1|=|PF2|=5 时等号成立. ∴点 P 在 x 轴上,∴P(± 4,0).

答案:(4,0)或(-4,0)

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平面解析几何

x2 y2 (文)若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 + 3 =1 的中心和左焦点, → → 点 P 为椭圆上的任意一点,则OP· 的最大值为( FP A.2 B.3 C.6 D.8 )

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平面解析几何

解析:由题易知 F(-1,0),设 P(x,y),其中-2≤x≤2, 则 → → OP· =(x,y)· FP (x+1,y)=x(x+1)+y2 3 2 1 2 1 =x +x+3- x = x +x+3= (x+2)2+2 4 4 4
2

→ → 当 x=2 时,(OP· )max=6. FP

答案:C

第八章

平面解析几何

x2 y2 (理)(2011· 山东省临沂市质检)设 P 是椭圆 + =1 上一 25 9 点,M、N 分别是两圆:(x+4)2+y2=1 和(x-4)2+y2=1 上的 点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( A.9,12 C.8,12 B.8,11 D.10,12 )

第八章

平面解析几何

解析:由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦 点,且|PF1|+|PF2|=10, ∴(|PM|+|PN|)min=10-2=8, (|PM|+|PN|)max=10+2=12,故选 C.

答案:C

第八章

平面解析几何

点评: ∵圆外一点 P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC| +r,最小值为|PC|-r,其中 C 为圆心,r 为半径,故只要连 接椭圆上的点 P 与两圆心 M、N,直线 PM、PN 与两圆各交 于两点处取得最值,最大值为|PM|+|PN|+两圆半径和,最小 值为|PM|+|PN|-两圆半径和.

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平面解析几何

综合应用

[例 5] 3 率为 . 5

x2 y2 (文)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心 a b

(1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐 5 标.

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平面解析几何

16 解析:(1)将(0,4)代入 C 的方程得 2 =1,∴b=4, b a2-b2 9 c 3 又由 e=a=5得, a2 =25, 16 9 即 1- 2 = ,∴a=5, a 25 x2 y2 ∴C 的方程为25+16=1.

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平面解析几何

4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3). 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程得, 5
2 x2 ?x-3? + 25 =1,即 x2-3x-8=0, 25

3- 41 3+ 41 解得 x1= ,x2= , 2 2

第八章

平面解析几何

x1+x2 3 ∴AB 的中点坐标 x = = , 2 2 y1+y2 2 6 y = 2 =5(x1+x2-6)=-5, 3 6 即中点为( ,- ). 2 5

第八章

平面解析几何

(理)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求 证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

第八章

平面解析几何

x2 y2 解析:(1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 由已知得:a+c=3,a-c=1, ∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 4 + 3 =1.

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平面解析几何

?y=kx+m ? 2 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由?x y 得, ? 4 + 3 =1 ? (3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0, ∴Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0, 即 3+4k2-m2>0, 4?m2-3? 8mk x1+x2=- ,x · = x , 3+4k2 1 2 3+4k2 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)

第八章

平面解析几何

3?m2-4k2? =k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= , 3+4k2 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), y1 y2 ∴kADkBD=-1,即 · =-1. x1-2 x2-2 ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. 3?m2-4k2? 4?m2-3? 16mk ∴ + + +4=0. 3+4k2 3+4k2 3+4k2 ∴7m2+16mk+4k2=0.

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平面解析几何

2k 解得 m1=-2k,m2=- ,且均满足 3+4k2-m2>0. 7 当 m1=-2k 时, 的方程为 y=k(x-2), l 直线过定点(2,0), 与已知矛盾;
? ?2 ? 2? 2k 当 m2=- 7 时, 的方程为 y=k?x-7?, l 直线过定点?7,0?. ? ? ? ?

所以,直线 l

?2 ? 过定点,定点坐标为?7,0?. ? ?

第八章

平面解析几何

x2 y2 (文)(2012· 河北保定模拟)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0) 2 2 的离心率为 2 ,且过点 Q(1, 2 ). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A, 两点, P B 设 → → → 点在直线 x+y-1=0 上,且满足OA+OB=tOP(O 为坐标原 点),求实数 t 的最小值.

第八章

平面解析几何

解析:(1)设椭圆的焦距为 2c, 2 c2 1 ∵离心率为 2 ,∴(a) =2, ∴a2=2c2,b2=c2. x2 y2 2 设椭圆方程为2c2+c2=1,又点 Q(1, 2 )在椭圆上, 1 2 1 ∴2c2+c2=1,∴c2=1, x2 2 ∴椭圆方程为 +y =1. 2
第八章 平面解析几何

(2)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), ?y=k?x-2?, ? 2 由?x 得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. 2 ? 2 +y =1. ? 1 Δ=64k -4(2k +1)(8k -2)≥0,k ≤ , 2
4 2 2 2

第八章

平面解析几何

2 2 即 k∈[- , ], 2 2 8k2-2 8k2 x1+x2= ,x · = x . 1+2k2 1 2 1+2k2 → → → ∵OA+OB=tOP,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y), 显然 k=0 时 t=0;当 t≠0 时, x1+x2 8k2 x= t = , t?1+2k2?

第八章

平面解析几何

y1+y2 1 -4k y= = [k(x1+x2)-4k]= , t t t?1+2k2? ∵点 P 在直线 x+y-1=0 上, 8k2 4k ∴ - -1=0, t?1+2k2? t?1+2k2? 8k2-4k 4?k+1? ∴t= 2 =4- 2. 1+2k 1+2k

第八章

平面解析几何

k+1 2 2 法 1:令 h= 2,∵k=[- 2 , 2 ],则 1+2k k+1 h= = 2 2?k+1? -4?k+1?+3 1 3 2?k+1?+ -4 k+1

6+2 1 6 ≤ = 4 (当且仅当 k= 2 -1 时取等号). 2 6-4 6+2 ∴tmin=4-4× 4 =2- 6.

第八章

平面解析几何

k+1 法 2:令 h= , 1+2k2 1+2k2-?k+1??4k? -2k2-4k+1 ∴h′= = 2 2 2 2 , ?1+2k ? ?1+2k ? 6 6 令 h′=0 得 k= 2 -1 或 k=-(1+ 2 )(舍去,∵k∈[- 2 2 2 , 2 ])

第八章

平面解析几何

2 6 当 k=[- , -1]时,h′>0; 2 2 6 2 当 k∈( 2 -1, 2 )时,h′<0, 6+2 6 1 ∴hmax=h( -1)= = , 2 4 2 6-4 6+2 ∴tmin=4-4× 4 =2- 6.

第八章

平面解析几何

x2 y2 (理)(2012· 豫北六校精英联考)设椭圆 C:2+b2=1(a>b>0) a 的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,过点 A 与 AF2 垂 → → 直的直线交 x 轴负半轴于点 Q, 2F1F2+F2Q=0, A, 且 过 Q, F2 三点的圆的半径为 2.过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 G,H 两点(点 G 在点 M,H 之间).

第八章

平面解析几何

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 的斜率 k>0,在 x 轴上是否存在点 P(m,0),使 得以 PG,PH 为邻边的平行四边形是菱形.如果存在,求出 m 的取值范围,如果不存在,请说明理由.

第八章

平面解析几何

→ → 解析:(1)因为 2F1F2+F2Q=0, 所以 F1 为 F2Q 的中点. 设 Q 的坐标为(-3c,0), 因为 AQ⊥AF2, 所以 b2=3c· c=3c2,a2=3c2+c2=4c2,且过 A,Q,F2 三点的圆的圆心为 F1(-c,0),半径为 2c. 故 c=1,所以 a=2,b= 3. x2 y2 故所求椭圆方程为 4 + 3 =1.

第八章

平面解析几何

(2)设 l 的方程为 y=kx+2 (k>0), ?y=kx+2 ? 2 2 由?x y 得(3+4k2)x2+16kx+4=0. ? 4 + 3 =1 ? ∵方程有两不同解, ∴判别式 Δ=(16k)2-16(3+4k2)>0, 1 1 ∴k> 或 k<- (因 k>0,舍去) 2 2 16k 设 G(x1,y1),H(x2,y2),则 x1+x2=- 2. 3+4k

第八章

平面解析几何

→ → ∴PG+PH=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1 +y2) =(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4), → GH=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)). → → → ∵菱形对角线互相垂直,∴(PG+PH)· =0, GH ∴(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0.

第八章

平面解析几何

∴(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0. 1 ∵k> ,∴x2-x1≠0, 2 ∴(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0, ∴(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0. 16k ∴(1+k )(- )+4k-2m=0, 3+4k2
2

2k 2 ∴m=- , 2,即 m=- 3 3+4k k+4k

第八章

平面解析几何

1 3 ∵k>2,∴ k+4k≥2 3 2 时成立. 3 所以- 6 ≤m<0.

3 3 4k=4 3,等号在k =4k,即 k= k·

3 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是[- 6 ,0).

第八章

平面解析几何

课堂巩固训练

第八章

平面解析几何

一、选择题 x2 y2 1 1.(文)若椭圆 2 +m=1 的离心率为2,则 m=( A. 3 8 C.3 3 B.2 8 3 D.3或2 )

[答案] D

第八章

平面解析几何

[解析]

2-m 1 3 焦点在 x 轴上时,e= = ,解得 m= , 2 2 2

m-2 1 8 焦点在 y 轴上时, =2,∴m=3,故选 D. m

第八章

平面解析几何

(理)(2012· 上海文,16)对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[答案] B

第八章

平面解析几何

[解析]

本题考查了充分必要条件及椭圆的标准方程的

形式,由 mn>0,若 m=n>0,则方程 mx2+ny2=1 表示圆, 故 mn>0? / 方程 mx2+ny2=1 表示椭圆,若 mx2+ny2=1 表

示椭圆?mn>0,故为必要不充分条件,充分理解椭圆的标准 方程是解决问题的关键.

第八章

平面解析几何

2. 以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆的中心, 交 椭圆于点 M、N,椭圆的左焦点为 F1,且直线 MF1 与此圆相 切,则椭圆的离心率 e 等于( A. 3-1 2 C. 2 B.2- 3 3 D. 2 )

[答案] A

第八章

平面解析几何

[解析]

由题意知,MF1⊥MF2,|MF2|=|OF2|=c,

又|F1F2|=2c,∴|MF1|= 3c, 由椭圆的定义,|MF1|+|MF2|=2a, c ∴ 3c+c=2a,∴e=a= 3-1.

第八章

平面解析几何

二、填空题 3.(2011· 苏州模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴 1 上, 若其离心率为2, 焦距为 8, 则该椭圆的方程是________.

y2 x2 [答案] + =1 64 48

第八章

平面解析几何

[解析]

由题意知,2c=8,c=4,

c 4 1 ∴e=a=a=2,∴a=8, y2 x2 从而 b2=a2-c2=48,∴方程是 + =1. 64 48

第八章

平面解析几何

三、解答题 4.(文)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3), 且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有 公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

第八章

平面解析几何

[解析]

x2 y2 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2 + 2 = a b

1(a>b>0),且可知左焦点为 F′(-2,0),
?c=2, ? 从而有? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ? ?c=2, ? 解得? ?a=4. ?

又因为 a2=b2+c2,所以 b2=12.

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12

第八章

平面解析几何

3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2 ? 3 ?y=2x+t, 由? 2 x y2 ? + =1, ?16 12

消去 y,得 3x2+3tx+t2-12=0.

∵直线 l 与椭圆 C 有公共点, ∴△=(3t)2-4×3(t2-12)≥0,解得-4 3≤t≤4 3.

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平面解析几何

另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得

|t| =4, 9 +1 4

∴t=± 13. 2 ∵± 13?[-4 3,4 3], 2 ∴符合题意的直线 l 不存在.

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x2 y2 (理)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的长轴长为 4. a b (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 y=x +2 相切,求椭圆 C 的焦点坐标; (2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 l 与椭 圆相交于 M、 两点, N 记直线 PM、 的斜率分别为 kPM、 PN, PN k 1 当 kPM·PN=-4时,求椭圆的方程. k

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[解析]

(1)∵圆 x2+y2=b2 与直线 y=x+2 相切,

2 ∴b= ,得 b= 2. 1+1 又 2a=4,∴a=2,a2=4,b2=2, c2=a2-b2=2,∴两个焦点坐标为( 2,0),(- 2,0).

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(2)由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M、N 关于坐 标原点对称, 不妨设:M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y), 由于 M,N,P 在椭圆上,则它们满足椭圆方程, x2 y2 x2 y2 0 0 即有a2+b2=1,a2+b2=1. y2-y2 b2 0 两式相减得: 2 2=-a2. x -x0

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由题意可知直线 PM、PN 的斜率存在,则 y-y0 y+y0 kPM= ,kPN= , x-x0 x+x0 y-y0 y+y0 y2-y2 b2 0 kPM·PN= k · = =- 2, a x-x0 x+x0 x2-x2 0 b2 1 则-a2=-4,由 a=2 得 b=1, x2 故所求椭圆的方程为 +y2=1. 4

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