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100测评网2009届高三数学第一轮复习资料——函数


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函数 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.1 函数的概念和图象

必修 1

重难点:在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x) ”的含义,掌握函数定义 域与值域的求法; 函数的三种不同表示的相互间转化,函数的解

析式的表示,理解和表示 分段函数;函数的作图及如何选点作图,映射的概念的理解. 考纲要求:①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域; ②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析 法)表示函数; ③了解简单的分段函数,并能简单应用; 经典例题:设函数 f(x)的定义域为[0,1] ,求下列函数的定义域: 2 (1)H(x)=f(x +1) ; (2)G(x)=f(x+m)+f(x-m) (m>0). 当堂练习:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1. 下列四组函数中,表示同一函数的是( A. f ( x ) ? x , g ( x ) ?
x ?1
2



x

2

B. f ( x) ? x , g ( x) ? ( x )2 D. f ( x) ?
x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ? x ?1
2

C. f ( x ) ?

x ?1

, g ( x) ? x ? 1

2 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为( A.必有一个 B.1 个或 2 个
1 x ?1

) D.可能 2 个以上 ) D. ?x x ? 1, ?2?

C.至多一个

3.已知函数 f ( x ) ? A. ?x x ? 1? 4.函数 f ( x ) ?
5

,则函数 f [ f ( x )] 的定义域是( C. ?x x ? ?1, ?2? )
4 3

B. ?x x ? ?2?
1 1 ? x (1 ? x )

的值域是(
5

A. [ , ?? )
4

B. ( ?? , ]
4

C. [ , ?? )

D. ( ?? , ]
3

4

5.对某种产品市场产销量情况如图所示,其中: l1 表示产品各年年 产量的变化规律;l 2 表示产品各年的销售情况.下列叙述: ( ) (1) 产品产量、 销售量均以直线上升, 仍可按原生产计划进行下去; (2)产品已经出现了供大于求的情况,价格将趋跌; (3)产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销售量; (4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的 是( ) A. (1) , (2) , (3) B. (1) , (3) , (4) C. (2) , (4) D. (2) , (3) 6.在对应法则 x ? y, y ? x ? b, x ? R, y ? R 中,若 2 ? 5 ,则 ?2 ? , ? 6. ? 7 . 函 数 f ( x) 对 任 何 x ? R 恒 有 f ( 1 x? x ) ? f( 1 x) ? f( 2, x) 已 知 f (8) ? 3 , 则 2 . f( 2? )

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? 8 .规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? a b ? a ? b,、 a b ? R . 若 1 ? k ? 3 ,则函数 f ? x ? ? k ? x 的值域是___________. 9. 已知二次函数 f(x)同时满足条件: (1) 对称轴是 x=1; (2) f(x)的最大值为 15; (3) f(x) 的两根立方和等于 17.则 f(x)的解析式是 .

10.函数 y ?

5 x ? 2x ? 2
2

的值域是
x 2? 1


( x ? 1)
0

11. 求下列函数的定义域 : (1) f ( x ) ?

(2) f ( x) ?

x ?x

x ?1

12.求函数 y ? x ? 3x ? 2 的值域.

13.已知 f(x)=x +4x+3,求 f(x)在区间[t,t+1]上的最小值 g(t)和最大值 h(t).

2

14.在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有动点 M,从点 B 开 始,沿折线 BCDA 向 A 点运动,设 M 点运动的距离为 x,△ ABM 的面积为 S. (1)求函数 S=的解析式、定义域和值域; (2)求 f[f(3)]的值.

D

C

A

B

必修 1

第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.2 函数的简单性质

重难点:领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念,并能利用函数单调性的定义 证明具体函数的单调性,领会函数最值的实质,明确它是一个整体概念,学会利用函数的单 调性求最值; 函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定; 函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象 函数的奇偶性、单调性的理解和应用;了解映射概念的理解并能区别函数和映射. 考纲要求:①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇 偶性的含义;并了解映射的概念; ②会运用函数图像理解和研究函数的性质. 经典例题:定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在[0, +∞ )上图象与 f(x)的图象重合.设 a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是

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① f( b)- f(- a)> g( a)- g(- b) b) ③ f( a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ② f( b)- f(- a)< g( a)- g(- ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(- C.①③ D.②④

a)
A.①④ 当堂练习:
2

B.②③

1. 已知函数 f(x)=2x -mx+3, 当 x ? ? ?2, ?? ? 时是增函数, 当 x ? ? ??, ?2 ? 时是减函数, 则 f(1) 等于 ( ) A.-3 B.13 C.7 D.含有 m 的变量 2.函数 f ( x ) ?
1? x ? x ?1
2

1? x ? x ?1
2

是(

) C. 偶函数 D. 奇函

A. 非奇非偶函数 数

B.既不是奇函数,又不是偶函数奇函数

3.已知函数(1) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 , (2) f ( x) ?

x ? 1 ? 1 ? x ,(3) f ( x) ? 3x ? 3x
2

?0( x ? Q) (4) f ( x) ? ? ,其中是偶函数的有( ?1( x ? CR Q)

)个

A.1 B.2 C.3 D.4 4.奇函数 y=f(x) (x≠0) ,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则函数 f(x-1)的图象 为 ( )

5.已知映射 f:A ?B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映 射 f 下的象,且对任意的 a ? A ,在 B 中和它对应的元素是 a ,则集合 B 中元素的个数是 ( A.4
2



B.5

C.6

D.7 .
f( )

6.函数 f ( x) ? ?2 x ? 4tx ? t 在区间[0, 1]上的最大值 g(t)是
2 7 . 已 知 函 数 f(x) 在 区 间 (0, ??) 上 是 减 函 数 , 则 f ( x ? x ? 1) 与

3 4

的大小关系





8.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x<0 时, f(x)是增函数,若 x1<0,x2>0,且 x1 ? x2 ,则 . f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系是 9.如果函数 y=f(x+1)是偶函数,那么函数 y=f(x)的图象关于_________对称. 10. 点(x,y)在映射 f 作用下的对应点是 ( B(2,0),则点 A 坐标是 .
3x ? y 2 , 3y ? x 2 ) ,若点 A 在 f

作用下的对应点是

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x ? 2x ?
2

1 2 ,其中 x ? [1, ?? ) ,(1)试判断它的单调性;(2)试求它的最小

13. 已知函数 f ( x) ? 值.

x

14.已知函数 f ( x) ?

2 a ?1 a

?

1 a x
2

,常数 a ? 0 。

n ] 上单调递增; (1)设 m ? n ? 0 ,证明:函数 f ( x ) 在 [ m , n ] ,求 n ? m 的最大值. (2)设 0 ? m ? n 且 f ( x ) 的定义域和值域都是 [ m ,

13.(1)设 f(x)的定义域为 R 的函数,求证: F ( x ) ? [ f ( x) ? f ( ? x)] 是偶函数;
2 G ( x) ? 1 2 [ f ( x ) ? f ( ? x )] 是奇函数.

1

(2)利用上述结论,你能把函数 f ( x) ? 3x3 ? 2 x 2 ? x ? 3 表示成一个偶函数与一个奇函数之和 的形式.

14. 在集合 R 上的映射: f1 : x ? z ? x 2 ? 1 , f2 : z ? y ? 4( z ? 1)2 ? 1 . (1)试求映射 f : x ? y 的解析式; (2)分别求函数 f1(x)和 f2(z)的单调区间; (3) 求函数 f(x)的单调区间.

第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.3 单元测试 1. 设集合 P= ?x 0 ? x ? 4? ,Q= ? y 0 ? y ? 2? ,由以下列对应 f 中不能 构成 A 到 B 的映射的是 .. ( )A. y ?
1 2 x

必修 1

B. y ?

1 3

x

C. y ?
2

2 3

x

D. y ?
1 x

1 8

x

2.下列四个函数: (1)y=x+1; 的是 ( ) A. (1)(2)
7

(2)y=x+1;

(3)y=x -1;

(4)y=

,其中定义域与值域相同 D. (2)(3)(4) )

B. (1)(2)(3)
c x

C. 2)(3)

3.已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? A.10 4.设函数 f ( x) ? ? B. -10

? 2 ,若 f (2006) ? 10 ,则 f ( ?2006) 的值为(

C.-14

D.无法确定 )

( a ? b) ? ( a ? b) ? f ( a ? b) ??1( x ? 0) ( a ? b) 的值为( ,则 2 ?1 ( x ? 0)

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A.a B.b C.a、b 中较小的数 D.a、b 中较大的 数 5.已知矩形的周长为 1,它的面积 S 与矩形的长 x 之间的函数关系中,定义域为( ) A. x 0 ? x ?

?

1 4

?
2

B.

?

x 0?x?

1 2

?

C.

?

x

1 4

?x?

1 2

?

D.

?

x

1 4

? x ?1

?

6. 已知函数 y=x -2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.0<a<1 B.0<a ? 2 C. ? a ? 2 D. 0 ? a ? 2 7.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在(-∞, 0] 上是减函数,若 f ( a ) ? f (2) ,则实 数 a 的取值范围是( ) A.a≤2 B.a≤-2 或 a≥2 C.a≥-2 D.-2≤a≤2 8 .已知奇函数 f ( x ) 的定义域为 (??, 0) ? (0,?? ) ,且对任意正实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,恒有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? 0 ,则一定有(

) D. f (?3) ? f (?5) )

A. f (3) ? f ( ?5) 9.已知函数 f ( x ) ?

B. f (?3) ? f (?5) C. f ( ?5) ? f (3)

1? x 1? x

的定义域为 A,函数 y=f(f(x))的定义域为 B,则(

A. A ? B ? B B. A ? B ? A C. A ? B ? ? D. A ? B ? A 2 10.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 x ? 0 时的解析 式是( ) 2 2 2 A. f(x)=x -2x B. f(x)=x +2x C. f(x)= -x +2x D. f(x)= 2 -x -2x 11 .已知二次函数 y=f(x) 的图象对称轴是 x ? x0 , 它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 ( ) A . x0 ? b B . x0 ? a C . x0 ? [a, b] D. x0 ? [a, b] 12. 如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数, 且最小值为 5, 则在区间[-7,-3]上 ( ) A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函数且 有最大值-5 13.已知函数 f ( x ) ?
x
2 2

1? x

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f ( ) ? f ( ) ?
2 3

1

1

. . . .

14. 设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),则 g(x)= 15.定义域为 [a 2 ? 3a ? 2, 4] 上的函数 f(x)是奇函数,则 a= 16.设 f ( x) ? x3 ? 3x, g ( x) ? x 2 ? 2 ,则 g ( f ( x )) ?
2

17.作出函数 y ? ? x ? 2x ? 3 的图象,并利用图象回答下列问题: (1)函数在 R 上的单调区间; (2)函数在[0,4]上的值域.

18. 定义在 R 上的函数 f(x)满足: 如果对任意 x1, x2∈R, 都有 f(
2

x1 ? x2 2

)≤ [f(x1)+f(x2)] ,
2

1

则称函数 f(x)是 R 上的凹函数.已知函数 f(x)=ax +x(a∈R 且 a≠0),求证:当 a>0 时, 函数 f(x)是凹函数;

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19.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足:对任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f(

x? y 1 ? xy

).

(1)求证:函数 f(x)是奇函数; (2)如果当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数;

20.记函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x0∈D,使 f(x0)=x0 成立,则称以(x0,y0)为坐标的点 是函数 f(x)的图象上的“稳定点” . (1)若函数 f(x)=
3x ? 1 x?a

的图象上有且只有两个相异的“稳定点” ,试求实数 a 的取值范围;

(2)已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)存在有限个“稳定点” ,求证:f(x)必有奇数个“稳 定点” .

第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.2 指数函数 重难点: 对分数指数幂的含义的理解, 学会根式与分数指数幂的互化并掌握有理指数幂的运 算性质;指数函数的性质的理解与应用,能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨 论比较简单的函数的有关问题. 考纲要求:①了解指数函数模型的实际背景; ②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算; ③理解指数函数的概念,并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点; ④知道指数函数是一类重要的函数模型. 2 经典例题:求函数 y=3 ? x ? 2 x ?3 的单调区间和值域.

必修 1

当堂练习: 1.数 a ? ( ) 4 , b ? ( ) 6 , c ? ( ) 8 的大小关系是(
2 3 5 1
? 1

1

?

1

1

?

1



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A. a ? b ? c
?

B. b ? a ? c
1

C. c ? a ? b )

D. c ? b ? a

2.要使代数式 ( x ? 1) 3 有意义,则 x 的取值范围是( A. x ? 1 B. x ? 1
x

C. x ? 1

D.一切实数 ) x -x D.y=4 +4 )

3.下列函数中,图象与函数 y=4 的图象关于 y 轴对称的是( x -x -x A.y=-4 B.y=4 C.y=-4

4. 把函数 y=f(x)的图象向左、 向下分别平移 2 个单位长度, 得到函数 y ? 2 x 的图象, 则 ( A.
f ( x) ? 2
x?2

?2

B.

f ( x) ? 2

x?2

?2

C.

f ( x) ? 2

x?2

?2

D.

f ( x) ? 2

x?2

?2

5.设函数 f ( x) ? a ? x (a ? 0, a ? 1) ,f(2)=4,则( A.f(-2)>f(-1)
1
3 ?8

) D.f(-2)>f(2)

B.f(-1)>f(-2)
?15

C.f(1)>f(2) . . . .

6.计算. [( ? ) ] ? ( ?4)
2
m?n

1 ?2 ?( ) ? 8
x ?1 ?
2

7.设 x ? 8.已知

x ? 1 ? a 2 mn ,求 x ?
2

f ( x) ?

1 3 ?1
x

? m 是奇函数,则

f ( ?1) =

9.函数 f ( x) ? a x ?1 ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 10 . 若 函 数 f 是

? x? ?


x a ? b ? a?0 , a?1 ? 的 图 象 不 经 过 第 二 象 限 , 则 a, b 满 足 的 条 件

11.先化简,再求值: (1)
1 ?1 ?2 1 ?1 3 2

a

2

b

3

a b
?
2

b

a

,其中 a ? 256, b ? 2006 ;
1
8

(2) [a 2 b(a b ) 2 (a ) 2 ] ,其中 a ? 2 3 , b ?

?

?

?

1



2

12.(1)已知 x ? [-3,2],求 f(x)=
2

1 4
x

?

1 2
x

? 1 的最小值与最大值.

(2)已知函数 f ( x) ? a x ?3 x ?3 在[0,2]上有最大值 8,求正数 a 的值. (3)已知函数 y ? a ? 2a ? 1(a ? 0, a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
2x x

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13.求下列函数的单调区间及值域: (1) f ( x ) ? ( )
3 2
x ( x ?1)



(2) y ?

1? 2 4
x

x



(3)求函数 f ( x) ? 2?

x ?3 x ? 2

2

的递增区间.

14.已知 f ( x ) ? a ?
x

x?2 x ?1

( a ? 1)

(1)证明函数 f(x)在 (?1, ??) 上为增函数;(2)证明方程 f ( x) ? 0 没有负数解.

第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.3 对数函数 重难点: 理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化, 能应用对数运算性质及换 底公式灵活地求值、化简;理解对数函数的定义、图象和性质,能利用对数函数单调性比较 同底对数大小,了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用. 考纲要求: ①理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数;了解对数在简化运算中的作用; ②理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点; ③知道对数函数是一类重要的函数模型; ④了解指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 互为反函数 ? a
x

必修 1

o, a ? 1? .

经典例题:已知 f(logax)=

a ( x ? 1)
2 2

x ( a ? 1)

,其中 a>0,且 a≠1.

(1)求 f(x) ; (2)求证:f(x)是奇函数; (3)求证:f(x)在 R 上为增函数.

当堂练习: 1.若 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,则 lg 0.18 ? ( A. 2 a ? b ? 2 2.设 a 表示
1 3? 5

) C. 3a ? b ? 2 )
1 2

B. a ? 2b ? 2

D. a ? 3b ? 1

的小数部分,则 log 2 a (2a ? 1) 的值是( B. ?2

A. ?1

C.0

D.

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3.函数 y ?
lg( ?3 x ? 6 x ? 7) 的值域是(
2

) C.[0, ?? ) ) D.( ??, ?1) (9, ??) ) D.{0}

A. [1 ? 3,1 ? 3]

B.[0,1]

?x2 , x ? 0 4.设函数 f ( x) ? ? , 若f ( x0 ) ? 1, 则x0 的取值范围为( ?lg( x ? 1), x ? 0
A. (-1,1)
1
x

B. (-1,+∞)
2

C.( ??, 9)

5.已知函数 f ( x ) ? ( ) ,其反函数为 g ( x) ,则 g ( x) 2 是( A.奇函数且在(0,+∞)上单调递减 C.奇函数且在(-∞,0)上单调递减 6.计算 log 2008 [log3 (log 2 8)] = 7.若 2.5 =1000,0.25 =1000,求
x y

B.偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D.偶函数且在(-∞,0)上单调递增 .

1 x

?

1 y

?



8.函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 f [log3 (3 ? x)] 的定义域为 9.已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是

. .

?1 ? R)图 象 恒 过 定 点 (0,1) , 若 y ? f ( x) 存 在 反 函 数 y ? f ( x) , 则 10 . 函 数 y ? f ( x) ( x

的图象必过定点 y ? f ( x )? 1

?1


2 2

11.若集合{x,xy,lgxy}={0,|x|,y},则 log8(x +y )的值为多少.

12.(1) 求函数 y ? (log 2 )(log 2 ) 在区间 [2 2,8] 上的最值.
3 4

x

x

(2)已知 2 log 2 x ? 5log 1 x ? 3 ? 0, 求函数 f ( x) ? (log 2 ) ? (log 1 1
2 2

x

4 x

8

) 的值域.

2

13.已知函数 f ( x ) ? log a

1 ? mx x ?1

( a ? 0, a ? 1) 的图象关于原点对称. (1)求 m 的值;

(2)判断 f(x) 在 (1, ??) 上的单调性,并根据定义证明.

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14. 已知函数 f(x)=x -1(x≥1)的图象是 C1, 函数 y=g(x)的图象 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称. (1)求函数 y=g(x)的解析式及定义域 M; (2)对于函数 y=h(x),如果存在一个正的常数 a,使得定义域 A 内的任意两个不等的值 x1, x2 都有|h(x1)-h(x2)|≤a|x1-x2|成立, 则称函数 y=h(x)为 A 的利普希茨Ⅰ类函数. 试证明: y=g(x)是 M 上的利普希茨Ⅰ类函数.

2

第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.4 幂函数 重难点: 掌握常见幂函数的概念、 图象和性质, 能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小. 考纲要求:①了解幂函数的概念; ②结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3

必修 1

1 x

1

, y ? x 2 的图像,了解他们的变化情况.

经典例题:比较下列各组数的大小: (1)1.5 ,1.7 ,1;
? 2 3

1 3

1 3

(2) (-
3 5

2 2



?

2 3

, (-

10 7

) ,1.1

2 3

?

4 3



(3)3.8

,3.9 , (-1.8) ;

2 5

(4)3 ,5 .

1.4

1.5

当堂练习: 1.函数 y=(x -2x) A. {x|x≠0 或 x≠2} 2) 3.函数 y= x 的单调递减区间为( A. (-∞,1) ∞) 3.如图,曲线 c1, c2 分别是函数 y=x 和 y=x 在第一象限的图象, 那么一定有( ) A.n<m<0 B.m<n<0 C.m>n>0 4.下列命题中正确的是( ) A.当 ? ? 0 时,函数 y ? x 的图象是一条直线
?

2



1 2

的定义域是(



B. (-∞, 0) (2, +∞) C. (-∞, 0) [2, +∞ ) D. (0,

2 5

) C. [0,+∞ ] D. (-∞,+

B. (-∞,0)

y c1
m n

c2
D.0 n>m>0

x

B.幂函数的图象都经过(0,0) , (1,1)

两点

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C.幂函数的 y ? x? 图象不可能在第四象限内 D.若幂函数 y ? x? 为奇函数,则在定义域

内是增函数 5.下列命题正确的是( ) A. 幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B. 图象不经过(—1,1)为点的幂函数一定不是偶函数 C. 如果两个幂函数的图象具有三个公共点,那么这两个幂函数相同 D. 如果一个幂函数有反函数,那么一定是奇函数 6.用“<”或”>”连结下列各式: 0.32 7.函数 y=
x 1
2-m-m
2

0.6

0.32

0.5

0.34 , 0.8?0.4

0.5

0.6?0.4 .

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是_______ _.
1 4

8.幂函数的图象过点(2,

), 则它的单调递增区间是
a



9 . 设 x ∈ (0, 1) , 幂 函 数 y = x 的 图 象 在 y = x 的 上 方 , 则 a 的 取 值 范 围 是 10.函数 y= x 4 在区间上
5 3 0.75 3 8
? 3

. 是减函数.

11.试比较 0.16 ,1.5 , 6.25 的大小.

4

12.讨论函数 y=x 5 的定义域、值域、奇偶性、单调性。

13. 一个幂函数 y=f (x)的图象过点(3,

4

27 ),另一个幂函数 y=g(x)的图象过点(-8, -
(3)作出这两个函

2), (1)求这两个幂函数的解析式; (2)判断这两个函数的奇偶性; 数的图象,观察得 f (x)< g(x)的解集.

14.已知函数 y= 4 15 -2x-x 2 .

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(1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.

第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 基本初等函数Ⅰ单元测试 1. 碘—131 经常被用于对甲状腺的研究, 它的半衰期大约是 8 天(即经过 8 天的时间, 有 一 半的碘—131 会衰变为其他元素). 今年 3 月 1 日凌晨, 在一容器中放入一定量的碘 —131, 到 3 月 25 日凌晨,测得该容器内还 剩有 2 毫克的碘—131,则 3 月 1 日凌晨,放人该容器 的碘—131 的含量是( ) A.8 毫克 B.16 毫克 C.32 毫克 D.64 毫克 x -2 y y 2.函数 y=0.5 、 y=x 、y=log0.3x 的图象形状 y 如图所示,依次大致是 ( ) 0 x A. (1) (2) (3) B. (2) (1) (3) 0 x 0 x C. (3) (1) (2) D. (3) (2) (1) (2) (3) 3.下列函数中,值域为(-∞,+∞)的是( ) (1) A.y=2 ≠1) 4.下列函数中,定义域和值域都不是(-∞,+∞)的是(
x x
-2

必修 1

x

B.y=x

2

C.y=x

-2

D.y=log ax (a>0, a



A.y=3 B.y=3 C.y=x D.y=log 2x x 5.若指数函数 y=a 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底数 a 等于 A.
1? 5 2
1

B.

?1 ? 5 2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 2
b

6.当 0<a<b<1 时,下列不等式中正确的是( A.(1-a) b >(1-a) -b)
b b


b

B.(1+a) >(1+b)

a

C.(1-a) >(1-a) 2

b

D.(1-a) >(1

a

1 ?log 2 x( x ? 0) 7.已知函数 f(x)= ? x ,则 f[f( ) ]的值是( 4 ?3 ( x ? 0)

) D.- )
1 9

A.9

B.

1 9

C.-9

8.若 0<a<1,f(x)=|logax|,则下列各式中成立的是( A.f(2)>f( )>f(
3 1 1 4

)

B.f(

1 4

)>f(2)>f( )
3

1

C.f( )>f(2)>f(
3

1

1 4

)

D.f(

1 4

)>

f( )>f(2)
3
1

1

9.在 f1(x)= x 2 ,f2(x)=x ,f3(x)=2 ,f4(x)=log 1 x 四个函数中,当 x1>x2>1 时,
2

2

x

x ?x 1 使 [f(x1)+f(x2) ]<f( 1 2 )成立的函数是( 2 2



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1

A.f1(x)=x 2
2

B.f2(x)=x

2

C.f3(x)=2

x

D.f4(x)=log 1 x
2

10.函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a ? 1)(a ? R) ,给出下述命题:① f ( x ) 有最小值;②当 a ? 0时, f ( x) 的值域为 R;③当 a ? 0时, f ( x)在[3 ? ?) 上有反函数.则其中正确的命题是( ) A.①②③ B.②③ C.①② D.①③ 11.不等式 0.3 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.6 的解集是
x x

. . , m= . . .

12.若函数 y ? 2 ? a ? 2 的图象关于原点对称,则 a ?
x

?x

13. 已知 0<a<b<1,设 a , a , b , b 中的最大值是 M, 最小值是 m, 则 M= 14.设函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1)满足f (9) ? 2, 则f ?1 (log9 2) 的值是 15.幂函数的图象过点(2, 16.化简与求值:
1 4

a

b

a

b

), 则它的单调递增区间是

x x (1)已知 ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? 4 ,求 x 的值;

(2) 3 log 7 2 ? log 7 9 ? 2 log 7 (

3 2 2

).

17.已知 f (x)=lg(x +1), 求满足 f (100 -10

2

x

x+1

)-f (24)=0 的 x 的值

18.已知 f ( x) ? lg x ,若当 0 ? a ? b ? c 时, f ( a) ? f (b) ? f (c) ,试证: 0 ? ac ? 1

19. 已知 f (x)=

e ?e
x

?x

2

且 x∈[0, +∞ )

(1) 判断 f (x)的奇偶性; (2) 判断 f (x)的单调性,并用定义证明;(3) 求 y=f (x)的反 函数的解析式.

20.已知: f ( x) ? lg(a ? b ) (a>1>b>0) .
x x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 在其定义域内的单调性;

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(3)若 f ( x) 在(1,+∞)内恒为正,试比较 a-b 与 1 的大小.

第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.5 函数与方程 重难点:理解根据二次函数的图象与 x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函 数零点的概念,对“在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解;通过用“二分法”求方 程的近似解, 使学生体会函数的零点与方程根之间的关系, 初步形成用函数观点处理问题的 意识. 考纲要求:①结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根 的存在性及根的个数; ②根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解. 2 经典例题:研究方程|x -2x-3|=a(a≥0)的不同实根的个数.

必修 1

当堂练习: 2 1.如果抛物线 f(x)= x +bx+c 的图象与 x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则 f(x)>0 的解集是 ( ) A. (-1,3) B.[-1,3] C. ( ??, ?1) ? (3, ??) D. ( ??, ?1] ? [3, ??) 2.已知 f(x)=1-(x-a)(x-b),并且 m,n 是方程 f(x)=0 的两根,则实数 a,b,m,n 的大小关 系可能是( ) A. m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b 2 3.对于任意 k∈[-1,1],函数 f(x)=x +(k-4)x-2k+4 的值恒大于零,则 x 的取值范围是 A.x<0 B.x>4 C.x<1 或 x>3 D.x<1 x 4. 设方程 2x+2 =10 的根为 ? ,则 ? ? ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5.如果把函数 y=f(x)在 x=a 及 x=b 之间的一段图象近似的看作直线的一段,设 a≤c≤b, 那么 f(c)的近似值可表示为( ) A. [ f ( a ) ? f (b )]
2 1

B. f (a) f (b)
2

C.f(a)+

c?a b?a

[ f (b) ? f ( a )]

D.f(a)-

c?a b?a

[ f (b) ? f ( a )]

6.关于 x 的一元二次方程 x +2(m+3)x+2m+14=0 有两个不同的实根,且一根大于 3,一根小于 1,则 m 的取值范围是 . 2 7. 当 a 时,关于 x 的一元二次方程 x +4x+2a-12=0 两个根在区间[-3,0]中. x x 8.若关于 x 的方程 4 +a·2 +4=0 有实数解,则实数 a 的取值范围是___________. x 9.设 x1,x2 分别是 log2x=4-x 和 2 +x=4 的实根,则 x1+x2= . 10.已知 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d ,在下列说法中:
3 2

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(1)若 f(m)f(n)<0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间(m,n)内有且只有一根; (2) 若 f(m)f(n)<0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间(m,n)内至少有一根; (3) 若 f(m)f(n)>0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间(m,n)内一定没有根; (4) 若 f(m)f(n)>0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间(m,n)内至多有一根; 其中正确的命题题号是 . 2 11. 关于 x 的方程 mx +2(m+3)x+2m+14=0 有两个不同的实根,且一个大于 4,另一个小于 4,求 m 的取值范围.

12.已知二次函数 f(x)=a(a+1)x -(2a+1)x+1, a ? N .
*

2

(1)求函数 f(x)的图象与 x 轴相交所截得的弦长; (2) 若 a 依次取 1,2,3,4,---,n,时, 函数 f(x)的图象与 x 轴相交所截得 n 条弦长分别为
l1 , l2 , l 3 , , l n 求 l1 ? l2 ? l 3 ? ? l n 的值.

13.













2 f ( x) ? ax ? bx ? c和一次函数g ( x) ? ?bx, 其中a, b, c ? R 且满足 a ? b ? c,

f (1) ? 0 .

(1)证明:函数 f ( x)与g ( x) 的图象交于不同的两点 A,B; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在[2, 3] 上的最小值为 9,最大值为 21,试求 a , b 的值; (3)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围.

14.讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数.

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第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.6 函数模型及其应用 重难点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型 的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. 考纲要求:①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义; ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普 遍使用的函数模型)的广泛应用. 经典例题: 1995 年我国人口总数是 12 亿.如果人口的自然年增长率控制在 1.25%, 问哪一年 我国人口总数将超过 14 亿.

必修 1

当堂练习: 3 1. 某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数: T(t)=t -3t+60,时间单位是小时,温度单位是 ?C , 当 t=0 表示中午 12:00,其后 t 值取为正,则上午 8 时的温度是( ) A.8 ?C B.112 ?C C.58 ?C D.18 ?C 2.某商店卖 A、B 两种价格不同的商品,由于商品 A 连续两次提价 20%,同时商品 B 连续两 次降价 20%,结果都以每件 23.04 元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不 升、不降的情况相比较,商店盈利的情况是: ( ) A.多赚 5.92 元 B.少赚 5.92 元 C.多赚 28.92 元 D.盈利相 同 3. 某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是 1.10 元;如果自 己生产,则每月的固定成本将增加 800 元,并且生产每个配件的材料和劳力需 0.60 元,则决定 此配件外购或自产的转折点是( )件(即生产多少件以上自产合算) A.1000 B.1200 C.1400 D.1600 4.在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据. x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a,b 为待定系数) ( ) X A. y=a+b B. y=a+bx C. y=a+logbx D. y=a+b/x 2 5. 某产品的总成本 y (万元) 与产量 x (台) 之间的函数关系式是 y=3000+20x-0.1x (0<x<240, x∈N) ,若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低 产量是( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 6.购买手机的“全球通”卡,使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50 元,在市 内通话时每分钟另收话费 0.40 元;购买“神州行”卡,使用时不收“基本月租费” ,但在市 内通话时每分钟话费为 0.60 元.若某用户每月手机费预算为 120 元,则它购买_________ 卡才合算. 7.某商场购进一批单价为 6 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商场决定 提高销售价格。经试验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能卖 360 件,若按 25 元的 价格销售时,每月能卖 210 件,假定每月销售件数 y (件)是价格 x (元/件)的一次函数。 试求 y 与 x 之间的关系式 . 在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为 时,才能时每月获 得最大利润.

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每月的最大利润是 . 8. 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与 广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示: 每付出 100 元的广告费,所得的销售额是 1000 元.问该企业应该投入 广告费, 才能获得最大的广告效应. 9.商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价为 20 元,茶杯每只定价 5 元,该店制定了两种优惠 办法: (1)买一只茶壶送一只茶杯; (2)按总价的 92%付款;某顾客需购茶壶 4 只,茶杯若 干只(不少于 4 只).则当购买茶杯数 时, 按(2)方法更省钱. 10.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为 40cm 和 60cm,现要将它剪成一个矩形, 并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是 . 11.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定 的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药 量 y 与时间 t 之间近似满足如图所示的曲线. 6 y(微克) (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时 治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间 为上午 7:00,问一天中怎样安排服药的时间(共 4 次)效果最佳.

O

1

10

t(小时)

12.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用 一列火车作为公共交通车,已知如果该列火车每次拖 4 节车厢,能来回 16 次;如果每次拖 7 节车厢, 则能来回 10 次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数, 每节车厢一次能载 客 110 人,问:这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并 求出每天最多的营运人数.

13. 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析, 发现有如下规律: 该商品的价格每上涨 x%(x>0),销售数量就减少 kx% (其中 k 为正常数).目前,该商品定 价为 a 元, 统计其销售数量为 b 个. (1)当 k=
1 2

时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额达到最大.

(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时 k 的取值范围.

14. 某工厂今年 1 月、 2 月、 3 月生产某种产品的数量分别为 l 万件, 1.2 万件, 1.3 万件. 为 了估测以后每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据. 用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系, 模拟函数可以选用二次函数或函数 y ? ab ? c (其中 a, b, c 为常数). 已
x

知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件, 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好. 并说明理由. 必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

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函数的概念与基本初等函数Ⅰ章节测试 1.函数 y ? (1 ? x ) 的定义域是( A. ?x x ? R且x ? 0? C. ?x x ? R或x ? 0或x ? 1?
1 a
?| x ? 2|

?1 ?1

) B. ?x x ? R且x ? 1? D. ?x x ? R且x ? 0且x ? 1? )

2.log5( 6 +1)+log2( 2 -1)=a,则 log5( 6 -1)+log2( 2 +1)= ( A.-a B.
?| x ? 2|

C.a-1

D.1-a ) D. a<0 )

? 4?3 ? a ? 0 有实根则 a 的取值范围是( 3.关于 x 的方程 9 A. a ? 4 B. ?4 ? a ? 0 C. ?3 ? a ? 0 4.已知集合 M ? ?x | y ? 3x , y ? 3? , N ? {x | y ? log 1 x, y ? 1}, 则M ? N =(
3

A. {x | x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1}
1
x

C. { x | 0 ? x ? 1 }
3

D. { x | 1 ? x ? 1}
3
2

5.函数 f(x)的图象与 g(x)=( ) 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(2x-x )的单调增区间是
3

A. ?1, ?? ?

B. ? ??,1?

C. ? 0,1?

D. ?1, 2 ?





6. 二次函数 y=f(x)满足 f(3+x)=f(3-x), 且 f(x)=0 有两个实根 x1、 x2, 则 x1+x2 等于 ( ) A.0 B.3 C.6 D.不能确定 7.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函 数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中真命 题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.设 f ( x) ? lg(10 ? 1) ? ax是偶函数,g ( x) ?
x

4 ?b
x

2

x

是奇函数,那么a ? b 的值为(



A.1

B.-1

C.-

1 2

D.

1 2

?( 1 ) x ? 8( x ? 0) ? 9.设函数 f ( x ) ? ? 3 ,若 f(a)>1,则实数 a 的取值范围是( ? ? x ( x ? 0)



A. ( ?2,1) B. (??, ?2) ∪ (1, ??) C. (1,+∞) D. (??, ?1) ∪(0,+ ∞) 10.R 上的函数 y=f(x)不恒为零,同时满足 f(x+y)=f(x)f(y),且当 x>0 时,f(x)>1,则 当 x<0 时,一定有( ) A.f(x)<-1 B.-1<f(x)<0 C.f(x)>1 D . 0 < f(x) <1 11.已知函数 f (3 ? x) 的定义域是[2,3],若 F ( x) ? f [log 1 (3 ? x)] ,则函数 F ( x ) 的定义域
2

是 12. 已知函数 f ( x ) ?


9
x x

9 ?3 1, x?0 ?

, 则 f ( ) ?( f)
7

1

2

3 4 5 6 (? ) f ( ) ? (f ) (?) f ? f 的值是 7 7 7 7 7
f ( x)



13.设函数 f ( x) ? ?0,

?

??1, ?

x ? 0 ,则方程 x ? 1 ? (2 x ? 1) x?0

的解为



14.密码的使用对现代社会是极其重要的.有一种密码其明文和密文的字母按 A、B、C?与

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26 个自然数 1,2,3,?依次对应。设明文的字母对应的自然数为 x ,译为密文的字母对应 的自然数为 y . 例如, 有一种译码方法是按照以下的对应法则实现的: 其中 y 是 3x ? 2 x?y, 被 26 除所得的余数与 1 之和( 1 ? x ? 26 ) .按照此对应法则,明文 A 译为了密文 F,那么密 文 UI 译成明文为______________.
?x 2 ? 1, x ? 0, ? ? 15.设函数 f ( x) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是 , 2 ? x?0 ?x


1 8

16.设 x?[2,4],函数 f ( x) ? log 1 (a x) ? log 1 (ax) 的最大值为 0,最小值为 ? ,求 a 的值.
2 a a
2

17.设 f ( x) ? 3x , f ?1 (18) ? a ? 2, g ( x) ? 3ax ? 4 x 的定义域是区间[0,1], (1)求 g(x)的解析式; (2)求 g(x)的单调区间; (3)求 g(x)的值域.

18.已知 f(x)= ( (1)求 f
—1

x?2 x?2

) ,(x ? 2).
2

(x)及其单调区间;(2)若 g(x)=3+ x +

1 f ( x)
?1

,求其最小值.

19.在中国轻纺市场,当季节即将来临时,季节性服装价格呈上升趋势,设某服装开始时定 价为 10 元,并且每周(七天)涨价 2 元,5 周后保持 20 元的价格平稳销售,10 周后当季节即 将过去时,平均每周削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 的函数关系. 2 (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=-0.125(t-8) +12, t∈ [0, 16] , t∈N. 试 问:该服装第几周每件销售利润 L 最大.

20.巳知函数 f(x)=loga

x?2 x?2
,

定义域为[α ,β ],值域为[logaa(β —1),logaa(α —1)],

且 f(x)在 [α ,β ]上是减函数. (1)求证:α >2; (2)求实数 a 的取值范围. ? ? ?

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? 必修 1 1.设全集 U=R,集合 A = {x | x < A. {x | 1? x 0} 1或x x

必修 1 综合测试 1} , B = {x | ln x 0},则 (?
1}

U

A)

B 为(


x < 1}

B. {x | 0 <

C. ? ) D.{1,3} )
(3, ? ? )

D. {x | 0 <

2.方程 log 5 (2 x ? 1) = log 5 ( x 2 ? 2) 的解集是( A.{3} B.{-1} C.{-1,3} 3.函数 f ( x ) ? A. [2, 3)
x?2 ? 1 x?3

的定义域是(

B. (3, ? ? )

C. [2, 3)

D. [2, 3)

(3, ? ? )

4.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是(
x
y



0? x?5
2 B. [2, 5]
2
0.3

5 ? x ? 10
3

10 ? x ? 15
4

15 ? x ? 20
5 D.N ) D. b < c < a ) D.-2 或 3

A. (0, 20]

C. {2, 3, 4, 5}
3

5.已知 a = 0.61.2 , b = A. c < b < d

, c = log 3 ,则 a, b, c 之间的大小关系为( C. a < b < c

B. a < c < b
- x

ì x < 0, ?2 , 1 6.已知函数 f ( x) = ? 若 f ( x) = ,则 x 的值为( í ? 4 ? ? log x, x ? 0,
81

A.2 7.函数 y ? lg
1? x 1? x

B.3 的图像( )

C.2 或 3

A.关于 x 轴对称
y ? x 对称

B.关于 y 轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线

8.根据表格中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个根所在的区间为( x x e x+2 A.(-1,0) 9 若 f ( x) ? ? A.10 -1 0.37 1 B.(0,1) 0 1 2 1 2 2.72 7.39 3 4 C. (1,2) 3 20.09 5 D. (2,3) ) D.13 )

x



? x ? 2    x ? 10 ,则 f(5)的值等于( ? f ( f ( x ? 6))  x<10
B.11
2

C.12

10.已知函数 f(x)满足 f( A.log2x

)= log 2 x|x| ,则 f(x)的解析式是( x+|x|

B.-log2x

C.2

-x

D.x

-2

11 . 已 知 A={(x,y)|x+y-2=0},B={(x,y)|x-2y+4=0},C={(x,y)|y=3x+b}, 若 (A ∩ B)? C, 则 b= .

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12.已知函数 y ? x a ? 4 a ?1 是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,则整数 a 的值是
2

. . 数

13.已知函数 y = log a ( x + b) 的图象如图所示,则 a、b 的值分别为 14.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ? ? ? 上是单调增函 ,若 f(1)<f(2x-1),则 x 的取值范围是 15.已知函数 f ( x) = x - 1, g ( x) = - x ,令 ? ( x ) ? max[ f ( x ),
2

、 y 1


g ( x )]

-2



x

(即 f(x)和 g(x)中的较大者),则 ? ( x) 的最小值是___________. 16.设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4 17.已知关于 x 的二次函数
x? 1 2

? 3 ? 2 ? 5 的最大值和最小值.
x
2

f ( x) = x + (2t - 1) x + 1 - 2t



(1)求证:对于任意 t ? R ,方程 f ( x) = 1 必有实数根; (2)若 < t <
2 1 3 4

,求证:方程 f ( x) = 0 在区间 (- 1, 0)及(0, ) 上各有一个实数根.
2

1

18.对于函数 f ( x) = a -

2 2 +1
x

(a

R) ,

(1)判断并证明函数的单调性; 论.

(2)是否存在实数 a,使函数 f ( x) 为奇函数.证明你的结

19. 在距 A 城 50km 的 B 地发现稀有金属矿藏,现知由 A 至某方向有一条直铁路 AX,B 到该 铁路的距离为 30km,为在 AB 之间运送物资,拟在铁路 AX 上的某点 C 处筑一直公路通到 B 地.已知单位重量货物的铁路运费与运输距离成正比,比例系数为 k ( k >0); 单位重量货
1 1

物的公路运费与运输距离的平方成正比,比例系数为 k ( k >0).设单位重量货物的总运费
2 2

为 y 元,AC 之间的距离为 xkm. (1) 将 y 表示成 x 的函数; (2)若 k1 = 20k2 , 则当 x 为何值时, 单位重量货物的总运费最少. 并 B 求出最少运费.
50k m 30k m

A

C

D

X

20.已知定理: “若 a , b 为常数, g ( x) 满足 g (a ? x) ? g ( a ? x) ? 2b ,则函数 y ? g ( x) 的图象关 于点 ( a, b) 中心对称” .设函数 f ( x ) ?
x ?1? a a?x

,定义域为 A.

⑴试证明 y ? f ( x) 的图象关于点 (a, ?1) 成中心对称; ⑵当 x ? [ a ? 2, a ? 1] 时,求证: f ( x ) ? [ ? , 0] ; ( 3 )对于给定的 x1 ? A ,设计构造过程:
2 1

x2 ? f ( x1 ), x3 ? f ( x2 ) ,?, xn ?1 ? f ( xn ) .如果 xi ? A (i ? 2, 3, 4...) ,构造过程将继续下去;

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如果 xi ? A ,构造过程将停止.若对任意 x1 ? A ,构造过程可以无限进行下去,求 a 的值.

参考答案

第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.1 函数的概念和图象 经典例题: 2 2 解: (1)∵f(x)的定义域为[0,1] , ∴f(x +1)的定义域满足 0≤x +1≤1. 2 1≤x ≤0. ∴x=0. ∴函数的定义域为{0} . ?0 ? x ? m ? 1, ?? m ? x ? 1 ? m, (2)由题意,得 ? 得? ?0 ? x ? m ? 1. ?m ? x ? 1 ? m. 则①当 1-m<m,即 m> ∴-

1 1 1 时,无解; ②当 1-m=m,即 m= 时,x=m= ; 2 2 2 1 ③当 1-m>m>0,即 0<m< 时,m≤x≤1-m. 2 1 综上所述,当 0<m≤ 时,G(x)的定义域为{x|m≤x≤1-m}. 2
当堂练习: 1. A ; 2. C ; 3. C ;4. D ;5. D ; 6. 5, 10. (0, 5] ; 11.(1)
1

?3 ;7.

1 2

;8. (1, ??) ;9. f(x)= -6x +12x+9;

2

?

x ? R x ? 1,
2

3 2
1 3

?

,(2)由 ?
3
2

?x ? 1 ? 0 ?x ?x?0
1 12

得(- ? ,-1) ? (-1,0).12. 设 3x ? 2 ? t , t ? 0 ,
3 2

则 y ? (t ? 2) ? t ? (t ? ) ?
3 2 [? 1 12 , ??) .

,当 t ?

时,y 有最小值 ?

1 12

,所求函数的值域为

13. 解:因抛物线的对称轴是 x= -2,所以分类讨论: (1) ①当 t+1<-2,即 t<-3 时, g(t)=f(t+1);②当 t ? ?2 ? t ?1 ,即 ?3 ? t ? ?2 时 g(t)=f(-2); ③当 t>-2 时, g(t)=f(t). (2) ①当 -2-t ? (t+1)-(-2), 即 t ? ? t ? ? 时, h(t)= f(t+1).
2 5 5 2

时 , h(t)= f(t); ②当 -2-t< (t+1)-(-2), 即

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?t 2 ? 4t ? 3(t ? ? 5 ) ?t 2 ? 6t ? 8(t ? ?3) ? ? ? 2 综上所述: g (t ) ? ? ?1( ?3 ? t ? ?2) , h (t ) ? ? 5 ?t 2 ? 4t ? 3(t ? ?2) ?t 2 ? 6t ? 8(t ? ? ) ? ? ? 2
14. 解: (1)当 0 ? x ? 2 时,S=x;当 2 ? x ? 4 时,S=2;当 4 ? x ? 6 时,S=6-x。 定义域是 (0,6) ,值域是(0,2) (2) f[f(3)]=f(2)=2. §2.1.2 函数的简单性质 经典例题: 解析:本题可采用三种解法. 方法一:直接根据奇、偶函数的定义. 由 f( x)是奇函数得 f(- a)=- f( a) ,f(- b)=- f( b) ,g( a)=f( a) ,g( b) = f( b) , g(-a)=g(a) ,g(-b)=g(b) . ∴以上四个不等式分别可简化为①f(b)>0;②f(b)<0;③f(a)>0;④f(a)< 0. 又∵f(x)是奇函数又是增函数,且 a>b>0,故 f(a)>f(b)>f(0)=0,从而以 上不等式中①、③成立.故选 C. 方法二:结合函数图象. 由下图,分析得 f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a) ,f(b)=g(b)=g(-b)=-f(- b) .

从而根据所给结论,得到①与③是正确的.故选 C. 方法三:利用间接法,即构造满足题意的两个函数模型 f(x)=x,g(x)=|x|,取特 殊值 a、b.如 a=2,b=1.可验证正确的是①与③,故选 C. 答案:C 当堂练习:

?t (t ? 0) 3 ? 2 2 1. B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. g (t ) ? ? 2t ? t (0 ? t ? 1) ;7. f ( x ? x ? 1) ? f ( ) ; 4 ?5t ? 2(t ? 1) ?
8. f ( x1 ) > f ( x2 ) ;9. x=-1; 10. ( 3,1 ); 11. 解: (1)函数 f ( x ) ? x ?
? ( x1 ? x2 )(1 ? 1 2 x1 x2
1 2x ? 2 ,设 1 ? x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? (

1 2 x1

?

1 2 x2

)

) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上单调递增;
7 2

(2)从而当 x=1 时, f ( x) 有最小值


1 2 1 2

12. 解:(1)任取 x1 , x2 ? [m, n] ,且 x1 ? x2 , f ( x ) ? f ( x ) ? 1 ? x ? x , 因为 x1 ? x2 ,
a
2

x1 x2

x1 , x2 ? [m, n] ,所以 x1 x2 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x) 在 [ m , n ] 上单调递增.

(2)因为 f ( x) 在 [ m , n ] 上单调递增, f ( x) 的定义域、值域都是 [m , n ] ? f (m) ? m, f (n) ? n ,

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?1 1 即 m, n 是方程 2 a a ? 2 a x

? x 的两个不等的正根 ? a2 x2 ? (2a2 ? a ) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根.
2

所以 ? ? (2a 2 ? a ) 2 ? 4a 2 ? 0 , 2a ∴n?m ?1 a
4 a2 ? 4 a ? 3 ?

?a
2

a

?0?

a?

1 2

? 3( 1 ?2 ) 2 ? 16 , a?(1 , ? ?) , a 3 3 2

∴a ? 3 时, n ? m 取最大值 4 3 3 . 2 13.解: (1)利用定义易证之; (2)由(1)得 f ( x) ? F ( x) ? G ( x) = (2 x 2 ? 3) ? (3x3 ? x) . 14. 解: (1) f ( x) ? 4( x 2 ? 2) 2 ? 1 ; (2)当 x ? (??, 0] 时, f1(x)单调递减, 当 x ? [0, ??) 时, f1(x)单调递增; 当 z ? ( ??,1] 时, f2(z) 单调递减, 当 z ? [1, ?? ) 时, f1(x)单调递增. (3) 当 x ? (??, ? 2] 和 x ? [0, 2] 时, f(x)分别单调递减; 当 x ? [ 2, ??) 和 x ? [? 2, 0] 分别单调递增. §2.1.3 单元测试 1.C; 2. A; 3.C; 4.C; 5.B; 6.C; 7.B; 8.D; 9.B; 10.D; 11.D; 12.B; 6 4 2 13. 2.5; 14. g(x)=2x-3; 15. 1 或 2; 16. x -6x +9x -2; 17.解: (1)在 ( ??, ?1] 和 [1, 3] 上分别单调递减; 在[-1,1]和 [3, ??) 上分别单调递增. (2) 值域是[0,4] 18.(1)证明:对任意 x1、x2∈R,∵a>0,∴f(x1)+f(x2)-2f( =ax1 +x1+ax2 +x2-2[a( =
1 2
2 2

x1 ? x2 2

)

x1 ? x2 2 x1 ? x2
2

)+ )≤

2

x1 ? x2 2
1 2



a(x1-x2)2≥0.∴f(

[f(x1)+f(x2)] ,∴f(x)是凹函数.

19.(1)证明:令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=f(0),故 f(0)=0. 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f( 数. (2)证明:设 x1<x2∈(-1,1),则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f( ∵x1<x2∈(-1,1),∴x2-x1>0,-1<x1x2<1.因此 即 f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)在(-1,1)上是减函数. 20.解:(1)设 P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)是函数 f(x)=
1

x?x 1? x
2

)=f(0)=0.∴f(-x)=-f(x),即函数 f(x)是奇函
x1 ? x2 1 ? x1 x2

).
x1 ? x2 1 ? x1 x2

x1 ? x2 1 ? x1 x2

<0,∴f(

)>0,

3x ? 1 x?a

的图象上的两个“稳定点”,

? 3x ? 1 ? x ? ?x ?a 2 2 ∴? ,即有 x1 +ax1=3x1-1(x1≠-a),x2 +ax2=3x2-1(x2≠-a). ? 3x ? 1 ? x ? ? x ?a
1 1 2 2 2

有 x1 +(a-3)x1+1=0(x1≠-a),x2 +(a-3)x2+1=0(x2≠-a). 2 ∴x1、x2 是方程 x +(a-3)x+1=0 两根,且 x1, x2≠-a,∴x≠-a, 2 ∴方程 x +(a-3)x+1=0 有两个相异的实根且不等于-a. ∴?

2

2

?? ? ( a ? 3) 2 ? 4 ? 1 ? 0,
2 ?( ?a) ? ( a ? 3)( ?a) ? 1 ? 0.

∴a>5 或 a<1 且 a≠- .
3

1

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∴a 的范围是(-∞,- )∪(- ,1)∪(5,
3 3 1 1

f(x)是 R 上的奇函数,

∴f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.∴原点(0,0)是函数 f(x)的“稳定点”,若 f(x)还有稳定点 (x0,y0),则∵f(x)为奇函数,f(-x0)=-f(x0),f(x0)=x0,∴f(-x0)=-x0,这说明:(- x0,-x0)也是 f(x)的“稳定点”.综上所述可知,f(x)图象上的“稳定点”除原点外是成 对出现的,而且原点也是其“稳定点” , ∴它的个数为奇数. §2.2 指数函数 经典例题: 2 2 解:由题意可知,函数 y=3 ? x ? 2 x ?3 的定义域为实数 R.设 u=-x +2x+3(x∈R) ,则 f(u) =3u, 2 u u 2 故原函数由 u=-x +2x+3 与 f (u) =3 复合而成. ∵f (u) =3 在 R 上是增函数, 而 u=-x +2x+3 2 =-(x-1) +4 在 x∈(-∞,1)上是增函数,在[1,+∞]上是减函数. ∴y=f(x)在 x∈(-∞,1)上是增函数,在[1,+∞]上是减函数. 2 又知 u≤4,此时 x=1,∴当 x=1 时,ymax=f(1)=81,而 3 ? x ? 2 x ?3 >0, ∴函数 y=f(x)的值域为(0,81) 当堂练习:
n?m

1.A ; 2. C ; 3. B ;4. A ;5. A ; 6. ?1 ;7. a 2 mn ;8.
1

1 4

;9. (1,0);10. a ? 1, b ? 1 ;

11.(1) 原式= {
?1 2

a

2

b

[
2

b

3

a b
?3

(

a

1

1

1

) 2 ] 2 }2 ? { 2
?3 4

a

2

b

[

b

3

a

?
4

a2 b

1

1 8

] 2 }2 ?

a ? 128
7

(2)原式= a b ? ab ? a ? a b ? 2 ? ( 12. (1)解:f(x)=
1 4 ?2
?x

1
8

2
?x

) ?

2 4
?2 x

1 4
x

?

1 2
x

?1 ? 4 ? 2 ?1 ? 2

?x

1 3 ?x ? 1 ? (2 ? ) ? , ∵x ? [-3,2], ∴ 2 4

? 8 .则当 2 =

-x

1 3 -x ,即 x=1 时,f(x)有最小值 ;当 2 =8,即 x=-3 时,f(x)有最大值 2 4
3 2
2

57. (2)解:设 g ( x ) ? x ? 3 x ? 3 ? ( x ? ) ?
2

3 4

,当 x ?[0,2]时, g ( x ) max ? 3, g ( x ) min ?
3

3 4

,

3

当 0<a<1 时, a 4 ? 8, a ? 16 ,矛盾;当 a>1 时, a ? 8, a ? 2 .综上所述,a=2. (3)原函数化为 y ? (a x ? 1) 2 ? 2 ,当 a>1 时,因 x ? [ ?1,1] ,得 a x ? [a ?1 , a] ,从而
(a ? 1) ? 2 ? 14, a ? 3 ,同理, 当 0<a<1 时, a ?
2

1 3 1


2 3
t

13. (1)由 t ( x ) ? x ( x ? 1) ? ( x ? ) ? 得 x ? [ ? , ?? ) 时 t ( x ) 单调递增,而 g (t ) ? ( ) 是单调
2

1

1

2

4

2

减函数,所以原函数的递减区间是 x ? [ ? , ?? ) ,递增区间是 ( ??, ? ] ;
2 2

1

1

值域是 (0, ( ) 4 ] .
2

3

1

(2) y ?
[1, ??) .

1 4
x

?

1 x 1 2 1 1 ? [( ) ? ] ? ,所以值域是 [ ? , ?? ) ;单调减区间是 (??.1] ,单调增区间 2 2 2 4 4
x

1

3 2 1 2 (3). 设 t ( x) ? ? x ? 3x ? 2 ? ? ( x ? ) ? 的定义域是 (??, ?2] ? [?1, ??) , 当 2 4

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x ? ( ??, ?2] 时, t ( x ) 单调递增,又 y ? 2 是单调增函数,所以原函数的递增区间是
t

x ? ( ??, ?2] .

14. 解 :
x2 ? 2 x2 ? 1 ? x1 ? 2 x1 ? 1

(1) 任 取 =
3( x2 ? x1 ) ( x2 ? 1)( x1 ? 1)

x1 , x2 ? (?1, ??),



x1 ? x2

, 则

a ? 1,? a ? a
x2

x1

, 又

? 0 , ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,故 f(x)在 (?1, ??) 上为增函数.
x0

(2) 设存在 x0 ? 0, x0 ? ?1 , 满足 f ( x0 ) ? 0 , 则 a ? ?
1 2 ? x0 ? 2 与假设矛盾,所以方程无负数解.

x0 ? 2 x0 ? 1

,由 0 ? a ? 1 得 0 ? ?
x0

x0 ? 2 x0 ? 1

? 1 ,即

§2.3 对数函数 经典例题: (1)解:设 t=logax,则 t∈R,∴x=a (x>0).则 f(t)= -a ) . (2)证明:∵f(-x)= 数. (3)证明:设 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=
a a ?1
2

t

a ( a ? 1)
2t

a ( a ? 1)
t 2

=

a a ?1
2

(a

t

-t

a a ?1
2

(a -a )=-

-x

x

a a ?1
2

(a -a )=-f(x) ,∴f(x)为奇函

x

-x

[ (a x 2 -a

- x2

)-(a x1 -

a

- x1

) ] =
a a ?1
2

; (a x 2 -a x1 )+a
2

- x1

a- x 2 (a x 2 -a x1 ) ]=

a a ?1
2

(a x 2 -a x1 ) (1+a

- x1

a- x 2 ) .

若 0<a<1,则 a -1<0,a x1 >a x 2 ,∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在 R 上为增函数; 若 a>1,则 a -1>0,a x1 <a x 2 .∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在 R 上为增函数. 综上,a>0,且 a≠1 时,y=f(x)是增函数. 当堂练习:
2

1.A ; 2. A ; 3. B ;4. D ;5. D ; 6. 0;7.

1 3

;8. [0,2];9. 1<a<2;10. ?1,1? ;

11.根据集合中元素的互异性,在第一个集合中,x≠0,第二个集合中,知道 y≠0,∴第一 个集合中的 xy≠0,只有 lg(xy)=0,可得 xy=1①,∴x=y②或 xy=y③.由①②联立, 解得 x=y=1 或 x=y=-1,若 x=y=1,xy=1,违背集合中元素的互异性,若 x=y=-1, 则 xy=|x|=1,从而两个集合中的元素相同.①③联立,解得 x=y=1,不符合题意.∴x =-1,y=-1,符合集合相等的条件.因此,log8(x +y )=log82= .
3
2 2

1

12.(1) 解: f ( x) ? (log 2 x ? log 2 3)(log 2 x ? log 2 4) ? (log2 x) ? (2 ? log 2 3) log 2 x ? 2 log 2 3
2

= [log 2 x ? (1 ? 而 3.
2

1 2

log 2 3)] ? (1 ?
2

1 2

log 2 3) ,当 x ? [2 2,8] 时,
2

3 2 1 2

? log 2 x ? 3 , log 2 3) ;当 x ? 8 时, y 有最大值
2

3 2

? 1?

1 2

log 2 3 ? 3 ,所以当 x ? 2 3 时,y 有最小值 ?(1 ?

(2)由已知,得
1 2 ? log 2 x ? 3.

2 log 2 x ? 5 log 2 x ? 3 ? 0, ?

5 2 1 1 35 2 f ( x) ? (log 2 x ? 3)(log 2 x ? 2) ? log 2 x ? 5log 2 x ? 6 = (log 2 x ? ) ? ? [ ? , ) 2 4 4 4

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13.由图象关于原点对称知它是奇函数,得 f(x)+f(-x)=0,即 log a 得
1? m x
2 2

1 ? mx x ?1

? log a

1 ? mx ?x ?1

? 0,

1? x

2

? 1, m= -1;
x1 ? 1 x1 ? 1 ?

(2)由(1)得 f ( x ) ? log a
x2 ? 1 x2 ? 1 ? 2( x2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x ?1 x ?1

,定义域是 ( ??, ?1) ? (1, ??) ,

设 1 ? x1 ? x2 ,得

f(x) 在 (1, ??) 上单调递减; ? 0 ,所以当 a>1 时,

当 0<a<1 时,f(x) 在 (1, ??) 上单调递增. 14.(1)由 y=x -1(x≥1),得 y≥0,且 x=
2

y ? 1 ,∴f (x)=

-1

x ? 1 (x≥0),

即 C2:g(x)= x ? 1 ,M={x|x≥0}. (2)对任意的 x1,x2∈M,且 x1≠x2,则有 x1-x2≠0,x1≥0,x2≥0. 1 | x1 ? x2 | ∴|g(x1)-g(x2)|=| x1 ? 1 - x2 ? 1 |= < |x1-x2|. 2 x1 ? 1 ? x2 ? 1 ∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数,其中 a=
1 2



§2.4 幂函数
1 1 1 1 1 1 1 1

经典例题:解: (1)∵所给的三个数之中 1.5 3 和 1.7 3 的指数相同,且 1 的任何次幂都是 1, 因此,比较幂 1.5 3 、1.7 3 、1 的大小就是比较 1.5 3 、1.7 3 、1 3 的大小,也就是比较函数

y=x 3 中,当自变量分别取 1.5、1.7 和 1 时对应函数值的大小关系,因为自变量的值的大小
1 1

关系容易确定,只需确定函数 y=x 3 的单调性即可,又函数 y=x 3 在(0,+∞)上单调递增,
1 ? 2 3 1 ? 2 3

且 1.7>1.5>1,所以 1.7 3 >1.5 3 >1. (2) (-
2 2


? 2 3

=(

2 2



?

2 3

, (-

10 7

) =(
7 10

2 3

7 10



?

2 3

,1.1

?

4 3

=[ (1.1) ]

2

?

2 3

=1.21



∵幂函数 y=x ∴(
7 10
?

在(0,+∞)上单调递减,且
2 2
?


2 3

2 2

<1.21,
2 2
?



2 3

>(



2 3

?

>1.21

2 3

,即(-

10 7

) >(-
? 2 3


2 5

2 3

>1.1

?

4 3


3 5

(3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现 0<3.8 <1,3.9 >1, (-1.8) <0, 从而可以比较出它们的大小. 1.5 (4)它们的底和指数也都不同,而且都大于 1,我们插入一个中间数 3 ,利用幂函数和指 1.4 1.5 1.5 数函数的单调性可以发现 3 <3 <5 . 当堂练习: 1.B ; 2. B ; 3. B ;4. C ;5. B ; 6. 0.32 ? 0.32 ? 0.34 , 0.8 ∞, 0); 9. (-∞, 1);10. (0,+∞);
0.6 0.5 0.5

?

2 5

? 0.6 5 ;7. ?1 ;8. (-

?

2

5

3

3

3

5 0.75

3

11.因 0.16 3 ? 1 , 6.25 8 ? 2.5 4 ? 1.5 4 ? 1 ,所以 0.16 3 ? 1.5
4

? 6.25 8

12. 函数 y=x 5 的定义域是 R;值域是(0, +∞);奇偶性是偶函数; 在(-∞, 0)上递减; 在[0, +∞ )上递增.

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3 13. (1)设 f (x)=x , 将 x=3, y= 27 代入,得 a= , f ( x ) ? x 4 ; 4 1 1 b 设 g(x)=x , 将 x=-8, y=-2 代入,得 b= , g ( x ) ? x 3 ; 3 (2)f (x)既不是奇函数,也不是偶函数;g(x)是奇函数; (3) (0,1).
a
4
3

14.这是复合函数问题,利用换元法令 t=15-2x-x ,则 y= 4 t ,
2

(1)由 15-2x-x ≥0 得函数的定义域为[-5,3] , ∴t=16-(x-1) ? [0,16] .∴函数的值域为[0,2] .
2

2

(2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数. (3)∵函数的定义域为[-5,3] ,对称轴为 x=1, ∴x ? [-5,1]时,t 随 x 的增大而增大;x ? (1,3)时,t 随 x 的增大而减小. 又∵函数 y= 4 t 在 t ? [0,16]时,y 随 t 的增大而增大, ∴函数 y= 4 15-2 x-x2 的单调增区间为[-5,1] ,单调减区间为(1,3) . 基本初等函数Ⅰ单元测试 1.B; 2.B; 3.D; 4.C; 5.D; 6.D; 7.B; 8.D; 9.A; 10.B; 11. 13. b , a ;14. 2 ; 15.(-∞, 0);
8 9 9 8
x 16.(1)设 ( 2 ? 3 ) ? t ,则 t ? ? 4 , t ? 2 ? 3 ,得 x ? ?2 ;

?x x ? 1?

;12.1;

x

x

1 t

(2)原式= log 7 ( ? ) ? 0 .
x x+1 2
2

17.依题意,有 lg[(100 -10
x x+1 x

x

x+1 2

) +1]=lg(24 +1),
x+1 x

2

∴(100 -10 ) +1=24 +1, ∴100 -10 =24 或 100 -10 =-24, 解得 10 =4 或 x x x 10 =6 或 10 ==12 或 10 =-2(舍) ∴ x=lg4 或 x=lg6 或 x=lg12. 18.若 a ? 1 ,则由 f ( x) ? lg x 是单调递增的,与题设矛盾; 同理若 c ? 1 时与题设矛盾;所以必 有 a<1,c>1 从而 -lga>lgc,得 lg(ac)<0,?0 ? ac ? 1 . 19.(1)它是偶函数; (2) 函数 f (x)在 x∈[0, +∞]上是单调递增函数; (3) 2y=e +e , ∴e -2ye +1=0, 解得 e =y+ ≥1. 20.(1)由 a ? b ? 0 ,∴
x x

x

-x

2x

x

x

y ? 1 , ∴ f ?1 ( x) ? ln( x ?
2

x ? 1) , x
2

a x a ( ) ? 1 , ? 1 .∴ b b

x>0, ∴ 定义域为(0,+∞) .
b ?b
x1 x2

(2)设 x2 ? x1 ? 0 ,a>1>b>0,∴ ∴ ∴
a ?a ? a ?b ? 0
x2 x2 x1 x1

a ?a
x2

x1

?b ? ?b
x2

x1



a ?b
x2

x2 x1

a ?b
x1

? 1 .∴

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .

f ( x ) 在(0,+∞)是增函数.

(3)当 x ? (1 ,+∞ ) 时, f ( x ) ? f (1) ,要使 f ( x) ? 0 ,须 f (1) ? 0 ,

∴ a-b≥1.

§2.5 函数与方程 经典例题:解:设 y=|x -2x-3|和 y=a,利用 Excel、图形计算器或其他画图软件,分别作 出这两个函数的图象,它们的交点的个数,即为所给方程实根的个数.如下图,当 a=0 或 a >4 时,有两个实根;当 a=4 时,有三个实根;当 0<a<4 时,有四个实根.
2

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当堂练习: 1.C ; 2. A ; 3. C ;4. C ;5. C ; 6. m ? ?
2

21 4

; 7.

15

11.设 f(x)= mx +2(m+3)x+2m+14,根据图象知当 ? 从而得 ?
19 13 ?m?0.

2 m ? 0 ?

? a ? 8 ; 8.a≤-4; 9. 4; 10. (2);

? f (4) ? 0

或?

?m ? 0 时,符合题意 ? f (4) ? 0

12. (1)设抛物线与 x 轴相交于点(x1,0),(x2,0),则 x1 ? x2 ? 得 l ? x2 ? x1 ?
( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ?
2

2a ? 1 a ( a ? 1)

, x1 x2 ?

1 a ( a ? 1)

,

1 a ( a ? 1) ?


1 n( n ? 1)

(2) l1 ? l2 ? l 3 ?

?l n?

1 1? 2

?

1 2?3

?

=( ? ) ? ( ? ) ?
1 2 2 3

1

1

1

1

1 1 n ?( ? )= n n ?1 n ?1

13.(1)由 g ( x) ? ?bx与f ( x) ? ax 2 ? bx ? c得ax 2 ? 2bx ? c ? 0,
2

f (1) ? a ? b ? c ? 0 ,

a ? b ? c,? a ? 0, c ? 0, 从而? ? b ? 4ac ? 0, 即函数 f ( x)与g ( x) 的图象交于不同两点 A,B;

(2) c ? ? a ? b, a ? b ? c, 即a ? c ? ? a ? b, 得2a ? ?b, ?

? 2, 知函数 F(x)在[2,3]上为增函 a 数, F (2) ? 3a ? 3b ? 9, F (3) ? 8a ? 5b ? 21, 解得a ? 2, b ? 1;

b

? x ? x ? ? 2b ? ? 1 2 a 2 (3)设方程 F ( x ) ? ax ? 2bx ? c ? 0的两根为x1 , x2 , 得 ? c ?x x ? ? ? 1 2 a
c 1 2 3 c 1 2 2 | A1 B1 | ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 4[( ? ) ? ], 由a ? b ? c, b ? ? a ? c, 得a ? ? a ? c ? c , ? ( ?2, ? ), a 2 4 a 2

设 | A1 B1 | ? h ( ) ? 4[( ? ) ? ], 的 对 称 轴 为 x ? ? , h( )在 ? ( ?2, ? ) 上 是 减 函 数
2 2

c

c

1

3

1

c

c

1

a

a

2

4

2

a

a

2

? | A1 B1 | ? (3,12), 得 | A1 B1 |? ( 3, 2 3).
2

?x ?1 ? 0 ?3 ? x ? 0 ? 2 14.解:原方程转化为 ? ,即方程 x -5x+a+3=0 在区间(1,3)内是否有根, ?a ? x ? 0 ? ?( x ? 1)(3 ? x ) ? a ? x 13 5 ? f (1) ? a ? 1 ? 0 2 由 ? ? 0 得: a ? ,设 f(x)= x -5x+a+3,对称轴是 x ? ,若 ? 得有一根在区间 4 2 ? f (3) ? a ? 3 ? 0 ? f (1) ? a ? 1 ? 0 13 13 ? (1,3)内,即当 a ? (1, 3) ? 时,原方程有一根; 若 ? f (3) ? a ? 3 ? 0 得 a ? (3, ) 时,原方 4 4 ?? ? 0 ?

??

程有两根;

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a ? (1, 13 4 ] 时, 原方程无解.

§2.6 函数模型及其应用 x 经典例题:解:设 x 年后我国人口总数为 y,则有 y=12· (1+0.0125) ,依题意,得 y>14, 即 12· (1+0.0125) >14,即(1+0.0125) >
x x

14 12


lg14 ? lg12 lg1.125

两边取对数,得 xlg1.0125>lg14-lg12.所以 x>

≈12.4.

答:13 年后,即 2008 年我国人口总数将超过 14 亿. 当堂练习: 1.A ; 2. C ; 3. D ;4. A ;5. C ; 6. 神州行; 7. y= -10x+560,31, 6250; 8. 2500; 9. 大 于 34; 10. 600 cm ;
0 ? t ?1 ?6 t ? 11. (1)依题得, y ? ? 2 20 ? t? 1 ? t ? 10 ? ? 3 3
2

(2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时,则 ? 2 t ? 20 ? 4 ? t1 ? 4 ,因而第二次服药应在 3 1 3 11:00; 设第三次服药在第一次服药后 t2 小时,则此时血液中含药量应为两次服药量的和, 即有 ? 2 t ? 20 ?2 (t ? 4) ? 20 ? 4, 解得 t2=9 小时,故第三次服药应在 16:00;设第四次服药在 3 2 3 3 2 3 第一次后 t3 小时(t3>10) ,则此时第一次服进的药已吸收完,此时血液中含药量应为第二、 20 2 三次的和, ? 3 (t2 ? 4) ? 3 ? 2 (t ? 9) ? 20 ? 4, 解得 t3=13.5 小时,故第四次服药应在 20:30. 3 2 3 12.设每日来回 y 次, 每次挂 x 节车厢, 由题意, y=kx+b, 且当 x=4 时, y=16;当 x=7 时, y=10. 解得:k=-2,b=24,∴y=-2x+24. 由题意,每次挂车厢最多时,营运人数最多,设每日拖 2 2 挂 W 节车厢,则 W=2xy=2x(-2x+24)=-4x +48x=-4(x-6) +144, ∴当 x=6 时,Wmax=144,此时,y=12,最多营运 15840 人. 13.解:依题意, 价格上涨 x%后, 销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1-kx%)= -k)x+10000]. (1)取 k=
9 8 1 2 ab 10000

[-kx +100(1

2

,y=

ab 10000

[-

1

涨 50%时, y 最大为 ab. 开口向下,对称轴为 x=

(2)因为 y=

2 ab

x2+50x+10000],∴x = 50, 即商品价格上
[-kx +100(1-k)x+10000] ,此二次函数
2

10000

50(1 ? k ) k

,在适当涨价过程中,销售总金额不断增加,即要求此函
50(1 ? k ) k

数当自变量 x 在{x|x>0}的一个子集中增大时,y 也增大.所以

>0,解之 0<k<1.

?p ? q ? r ?1 ? p ? ?0.05 ? ? 14.设二次函数为 y=px +qx+r,则 ?4 p ? 2q ? r ? 1.2 ? ?q ? 0.35 , ?9 p ? 3q ? r ? 1.3 ?r ? 0.7 ? ?
2

所以 y ? ?0.05x ? 0.35x ? 0.7 ,当 x=4 时, y=1.3;
2

?ab ? c ? 1 ?a ? ?0.8 1 x ? ? 2 x 对 于 函 数 y ? ab ? c, 由 ? ab ? c ? 1.2 ? ?b ? 0.5 , 所 以 y ? ?0 . 8 ? ( ) ? 1 . 4 , 当 x=4 时 , 2 ?ab 3 ? c ? 1.3 ?c ? 1.4 ? ?

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y=1.35,显然,用函数 y ? ?0.8 ? ( ) ? 1.4 作为模拟函数较好.
x

1

2

函数的概念与基本初等函数Ⅰ章节测试 1.D; 2.D; 3.C; 4.C; 5.D; 6.C; 7.A; 8.D; 9.B; 10.D; 11. [2, ] ; 12.3; 13. 0,2 或
2 5



1 ? 17 4

;

14. FB; 15.(-∞,-1)∪(1,+∞); 16. f ( x) ? log 1 (a 2 x) ? log 1 (ax) ? ( ? log a x ? 2)( ? log a x ? ) ?
a a
2

1

1

1

2

2

3 2 1 (log a x ? ) ? ,因 x?[2, 4], 2 2 8

函数的最小值为 ? ,所以 0<a<1, 而函数的最大值为 0,只有当 x=2 或 4 时取得,若 x=2,由
8 1 3 2 1 2 1 2 (log a 2 ? ) ? ? 0 得 log a 2 ? ?1或 ? 2 ,解得 a ? 或 ,但 a ? 时,由 log 2 2 8 2 2 2
3

1

2 2

x?
1 4

3 2


?0
1 2

得 x ? 2 4 ? [2, 4] ,舍去;若 x=4, 由 (log a 4 ? ) ?
2

1

3

1 8

2

2

? 0 得 log a 4 ? ?1或 ? 2 ,解得 a ? 1 2

,

但a ?

1 4

时,由 log 1 x ?
4

3 2

? 0 得 x ? 8 ? [2, 4] ,舍去;综上所述, a ?


log3 2

17.(1)因 f ?1 ( x) ? log3 x ,得 log 3 18 ? a ? 2 ,从而 a ? log3 2 , g ( x) ? (3 记 2x ? t ? [1, 2] ,得 y ? ?t ? t ? ? (t ? ) ?
2 2

) ?4 ? 2 ?4 ;
x x
x x

(2)

1

1 4

2

在[1,2]上单调递减,故 g(x)在区间[0,1] 上单

调递减; 18.(1)由

(3)由(2)得 g(x)min=g(1)=-3,g(x)max=g(0)=0, 值域是[-3,0].
x?2 x?2 ? y?x? 2?2 y 1?
3 2

y

,从而 f ?1 ( x ) ?

2?2 x 1? x

? ?2 ?

4 x ?1
1 t

,其中 x ? 0 且 x ? 1 ;

在 [0,1) 和 (1, ??) 上分别单调递增; (2) g ( x) ? 3 ?
2( x ? 1) 以 g(x)min=g(0)=3.5. x? x ?1 ? ? ( x ? 1) ? 1 ( x ? 1)

, 设 h (t ) ? t ?

在 t ? 1 上单调递增 , 所

?1 t 2 ? 6 0 ? t ? 5, ?8 10 ? 2 t 0 ? t ? 5, ? ? ? ?1 2 19.(1)P= ?20 5 ? t ? 10, (Ⅱ)P-Q= ? t ? 2t ? 16 5 ? t ? 10, ?40 ? 2t 11 ? t ? 16. ?8 ? ?1 2 t ? 4t ? 36 11 ? t ? 16. ? ?8
t=5 时,Lmax=9 ,即第 5 周每件销售利润最大.

1 8

?? ? 1 ? 0 ? ? ? ? 2 ; (2)由 ? ? ? 得 ? ? 1 ? ? ? 1 ,而 logaa(β —1)<logaa(α —1), 20.(1)由 ? ? ? 2 ?0 ? ?? ? 2

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?log ? ? 2 ? log a ( ? ? 1) a a ? x?2 ? ?2 ? ? a ( x ? 1) 的两根 , 整理得 所以 0<a<1, 又由 ? 得 α , β 是方程 ? ?2 x ? 2 ?loga ? loga a (? ? 1) ? ? ?2 ?
ax +(a-1)x-2a+2=0,这方程有两个大于 2 的不相等的实根,
2

?? ? ( a ? 1) 2 ? 4a (2 ? 2a ) ? 0 ? 1 ?1 ? a 得? 得0 ? a ? . ?2 9 ? 2a ? ?4a ? 2( a ? 1) ? 2a ? 2 ? 0
必修一综合测试 1.D; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.2; 12. 1 或 3; 13. 3,3; 14.
(??, 0)

?1, ?? ? ; 15.
y?4
x? 1 2 x

1? 5 2

;
? (2 ) ? 3 ? 2 ? 5 ?
x 2 x
x

16. 又

? 3? 2 ? 5 ?
x

1 2

1 2

? (2 ? 3) ?
x 2

1 2
max

0 ? x ? 2?1 ? 2 ? 4

? 当 2 ? 1 ,即 x ? 0 时, y 取最大值, y
min

?

5 2

.

? 当 2 x ? 3 ,即 x ? log 2 3 时, y 取最小值, y
17. (1)由 f (1) = 1 知 f ( x) = 1 必有实数根. 或由 D = (2)当 < t <
2 1
(2t - 1) + 8t = (2t + 1)
2 2

?

1 2

.

0 得 f ( x) = 1 必有实数根.

3 4

时,因为 f (- 1) = 3 - 4t = 4( - t ) > 0 , f (0) = 1 - 2t = 2( - t ) < 0 ,
4 2

3

1

1 1 1 3 f ( ) = + (2t - 1) + 1 - 2t = - t > 0 , 2 4 2 4

所以方程 f ( x) = 0 在区间 (- 1, 0) 及(0, ) 上各有一个实数根.
2

1

18. (1)函数 f ( x) 为 R 上的增函数.证明如下: 函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意
x1 , x2 ? R , 且x1 < x2,有f ( x1 ) - f ( x2 ) = (a -

2 2 +1
x1

x1

) - (a x2

2 2 +1
x2

)=

2 2 +1
x2

-

2 2 +1
x1

=

2(2 - 2 ) (2 + 1)(2 + 1)
x2 x1

x1

x2

.

因为 y = 所以

2

x

是 R 上的增函数, x < x ,所以 2
1 2

- 2

<0, R 上的增函数.

f ( x1 ) - f ( x2 ) <0即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,函数 f ( x) 为

(2)存在实数 a=1,使函数 f ( x) 为奇函数. 证明如下:当 a=1 时, f ( x) = 1 对任意 x ? R , f (- x) =
2 - 1 2 +1
- x - x

2 2 +1
x



2 - 1 2 +1
x x

x

. =- f ( x) ,即 f ( x) 为奇函数.



1- 2 1+ 2

x

x

=-

2 - 1 2 +1
x

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19. (1)过点 B 作 BD ^ AX,D 为垂足,由于 AC=x,AB=50,BD=30 所以 AD=40,CD=40 -x, 由勾股定理得 BC
2 2 2
2

= CD + BD = (40 - x) + 30

2

2

2

2

.根据题意得: y = k x + k ((40 - x) + 30 ) ,
2 2 1 2

即 y = k x - (80k - k ) x + 2500k ( x > 0 ).
1 2

(2)因为 k

1

= 20 k 2 ,所以 y = k2 x - 60k2 x + 2500k2 ,当 x = 2

- 60 k 2 2k2

= 30 时, ymin ? 1600k2

.

答:当 x =30km 时,单位重量货物的总运费最小,最小值为 1600 k 2 元. 20. (1)∵ f ( x) ? ?1 ?
1 a?x 得, y ? f ( x) 的图象关于点 (a, ?1) 成中心对称;

,∴ f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? ( ?1 ?

1 ) ? ( ?1 ? ) ? ?2 ,由已知定理 ?x x

1

(2)首先证明 f ( x ) 在 [ a ? 2, a ? 1] 上是增函数,为此只要证明 f ( x ) 在 ( ??, a ) 上是增函数. 设 ?? ? x1 ? x2 ? a ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
1 a ? x1 ? 1 a ? x2 ? x1 ? x2 (a ? x1 )(a ? x2 ) ? 0,

∴ f ( x ) 在 ( ??, a ) 上是增函数. 再由 f ( x ) 在 [ a ? 2, a ? 1] 上是增函数得, 当 x ? [ a ? 2, a ? 1] 时, f ( x) ? [ f ( a ? 2), f ( a ? 1)] ,即 f ( x ) ? [ ? , 0] ;
2 1

(3)∵构造过程可以无限进行下去,∴ f ( x ) ? ∴方程
x ?1? a a?x
2

x ?1? a a?x

? a 对任意 x ? A 恒成立,

? a 无解,即方程 (a ? 1) x ? a ? a ? 1 无解或有唯一解 x ? a ,

?a ? 1 ? 0 ? ?a ? 1 ? 0 ∴? 2 或 ? a2 ? a ? 1 ,由此得到 a ? ?1 . ?a ?a ? a ? 1 ? 0 ? ? a ?1
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