当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学学习方法1


高 2014 级<<数学学习方法指导>>
转化与化归思想 一.知识探究: 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方 法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单 的问题。 1.转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的, 才保证转化后的结果仍为原问题的结果。 非等价转化其过程是充分或必要的, 要对结论进行 必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根) ,它能带来思维的闪光点,找到解决问题的 突破口。 2.常见的转化方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题; (2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基 本问题; (3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化; (4)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题; (5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重 要途径; (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径; (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原 问题; (8)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决,可将问 题通过一般化的途径进行转化; (9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的; (10)补集法: (正难则反)若过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合 A,而 把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集 CU A 获得原问题的 解决。 3.化归与转化应遵循的基本原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经 验和问题来解决; (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决 复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据; (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的 和谐的形式, 或者转化命题, 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规 律; (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;

(5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的 反面去探求,使问题获解。

二.例题点评
方法一: 直接转化法 例 1.设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I ,则下列各式中错误的是( )

A. (CI A) ? B ? I C. A ?(CI B) ? ?

B. (CI A) ?(CI B) ? I D. (CI A) ?(CI B) ? CI B

练习:设全集 U ? ?小于20的正偶数? ,若 A ? CuB ? ? ,14? , CuA? B ? ?2,4,16,18? , 12

CuA? CuB ? ?6?,求集合 A、B。
方法二: 换元法 2 例 2.已知 f(2x-1)=4x -2x,求 f(x).

练习:已知 f(1/x+1)=(2x+1)/x ,求 f(x).

2

方法三: 构造法 例 3.设 f(x)满足 3f(x)+2f(1/x)=4x,求 f(x) 练习:设 f(x)是上 R 的函数,且满足 f(0)=1,并且对任意实数 x,y 有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 求 f(x)的表达式. 方法四: 等价问题法 例 4. 求函数 y ?

1
3

x ?3
2

? 5 ? x 2 的定义域。

练习: 1 已知函数 y ? ax2 ? bx ? 18 的定义域为 [?3,6] ,则 a ? b ?

2

。 ( )

【变式】已知函数 f ( x ) ?
A. a ?

3x ? 1 的定义域是 R ,则实数 a 的取值范围是 ax ? ax ? 3
3 2

1 3

B. ?12 ? a ? 0

C. ?12 ? a ? 0

D. a ?

1 3

例 5.把一块钢板冲成上面是半圆形,下面是矩形的零件,其周长是 P,怎样设计才能使冲 成的零件面积最大?并求出它的最大面积。 分析:这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。 解析:如图,设矩形的一边长为 x,则半圆的周长为

?x 2
A ·O D

B

x

C

矩形的另一边长为 AB ? 设零件的面积为 S,则

1 ?x 2 P ? (? ? 2) x (P ? x ? ) = 2 2 4

1 ? 2 2 P ? (? ? 2) x ? ?4 2 P ? x ? x? x ? x =? 2 4 4 8 2 b 2P P ? ∵a<0 ∴当 x ? ? 时,S 有最大值,这时 AB= 。 2a ? ? 4 ? ?4 P2 ∴当矩形的两邻边 AB 与 BC 之比为 1︰2 时,Smax= 。 8 ? 2?
S= 点评:实际问题转化为数学问题,用数学结果解释最终的实际问题。

三.思维总结
1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机 敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对 定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去 发现事物之间的本质联系。“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙。 2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变 换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以 从几何的角度去解决问题。 3.注意紧盯化归目标,保证化归的有效性、规范性 化归作为一种思想方法,应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个 要素。因此,化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法,而设计目标 是问题的关键。设计化归目标时,总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形 成固定的问题(通常称为规范性问题)为依据,而把要解决的问题化归为成规律问题(即问 题的规范化) 。化归能不能如期完成,与化归方法的选择有关,同时还要考虑到化归目标的 设计与化归方法的可行性、有效性。因此,在解题过程中,必须始终紧紧盯住化归的目标, 即应该始终考虑这样的问题: 怎样才能达到解原问题的目的。 在这个大前提下实施的化归才 是卓有成效的,盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。

4.注意化归的等价性,确保逻辑上的正确
化归包括等价化归和非等价化归,等价化归后的新问题与原问题实质是一样的,不等价 化归则部分地改变了原对象的实质, 需对所得结论进行必要的修正。 高中数学中的化归大多 要求等价化归,等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保证转化 后的结果为原题的结果。 如果在解题过程中没有注意化归的等价性, 就会犯不合实际或偷换 论题、偷换概念、以偏概全等错误。例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义,在经 过数学变换后, 应将所得的结果按实际意义检验; 解方程或不等式时应注意变换的同解性是 否仍然保持。 1 数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程,没有一个统一的模式可以遵循,而是在多 . 方领悟、反复应用的基础上形成的,化归也不例外。学生在解题过程中,必须根据问题本身 3 提供的信息,利用动态的思维,多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透,要善于反思 . 解题过程,倒摄解题思维,回味解题中所使用的思想,去寻求有利于问题解决的化归途径和 5 方法。正如笛卡尔所说的:走过两遍的路就是方法。 1 . 3 . 5


赞助商链接
相关文章:
1.0-高中数学学习方法
高中数学精品学案(00)高中数学学习方法 BY 连斌 高中数学精品学案(00)高中数学学习方法一、 高中数学与初中数学特点的变化。 1、知识内容的整体数量剧增,深度和...
高中数学各阶段学习方法
1、培养良好的学习习惯。什么 高中数学学习方法如何科学合理的学习高中数学高中学生仅仅想学是不够的,还必须“会学”,要讲究科学的学习方法,提高学习效率, 才能变...
高中数学学法指导(一)
高中数学学法指导(一) - 高中数学学法指导(一) 高一数学学习是中学阶段承前启后的关键期,学生升入高中后,绝大部分基本上已经完成了“要我 学”到“我要学”...
高一数学学习方法的几点建议
高一数学学习方法的几点建议_数学_高中教育_教育专区。给高一学生学习数学的几点...今天就由我代表数学组全体 老师就高中数学学习的有关问题与同学们做一下交流,...
高中数学学习方法介绍
高中数学学习方法介绍 - 高中数学学习方法介绍 一、每天做几道数学题 数学是应用性很强的学科, 做题是数学学习过程中必不可少的环节。甚至有 同学说,学习数学就...
高中数学学法指导(一)
高中数学学法指导(一)高一数学学习是中学阶段承前启后的关键期,学生升入高中后,绝大部分基本上已经完成了“要我学”到“我 要学”的转变,也就是说,从思想来...
高一学生学习方法
高一学生学习方法 - 高一 、要改变观念,变记忆为理解 学生学习方法 初中阶段,特别是初三年级,通过大量的练习,可使你的成绩有明显的提高,这是因为 初中知识相对...
高中数学学习方法和注意事项_数学必修一_教学视频大全
高一新生全方位了解高中数学的学习特点,注意事项,学习方法,学习误区,等视频教程,专攻数学全套教学,在线学习数学必修一课程,高中数学学习方法和注意事项视频下载
高一数学学习方法
高一数学学习的五个不良学习状态 1、学习习惯因依赖心理而滞后。许多学生进入高中...四、学习数学的几种方法 1、记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律...
如何学好高中数学---高中一年级学生入学教育
如何高中数学---高中一年级学生入学教育 - 如何高中数学---高中一年级学生入学教育 (作者:祁润祥) 高中一年级的新同学们,当你们踏进高中校门,漫步在...
更多相关标签: