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正切函数的图像和性质导学案


§ 1.4.3
【学习目标】

正切函数的图象与性质

1、用单位圆中的正切线作正切函数的图象,理解并掌握作正切函数图象的方法; 2、 用正切函数图象解决函数有关的性质,理解用函数图象解决有关性质问题的方法.

【学习重点、难点】
重点: 正切函数的性质与图象的简单应用; 难点: 正切函数性质的深刻理解及其简单应用.

【自主探究】
(1)画出下列各角的正切线:

y
A(1,0)

y
A(1,0)

o o
(Ⅱ)

x

o o
(Ⅰ)

x

y
A(1,0)

y
A(1,0)

o o
(Ⅲ) (2)复习相关诱导公式

x

o o
(Ⅳ)

x

tan?x ? ? ? ?
探究一 正切函数的图像

; tan?? x ? ?

.x? R且 x ?

?
2

? k? , k ? Z

1. 利用正切线画出 y ? tan x ,

y

? ? ?? x ? ? ? , ? 的图象: ? 2 2?

?

?
2

O ?
2

x

2. 根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x , x ? R 且x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” .

探究二:正切函数的性质 正切函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 渐进线方程 对称中心 单调性 问题讨论:(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么? (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?为什么? y=tanx

【展示点拨】
正切函数的周期 例1 求下列函数的周期 (2) y=5tan

(1) y ? tan3x

x 2

(3)

y=tan(-4x)

回顾归纳

掌握公式 T

?

2? |? |

正切函数的性质 例2 求函数 y ? tan(

?

x ? ) 的定义域、周期、对称性和单调区间. 2 3

?

回顾归纳

充分理解和掌握正切函数的性质,能利用基本函数的性质得到复杂函数的性质,注重数学

转化和化归思想。

比较大小 例3 . 比较下列各组数的大小.
2? 10? 与 tan ; 7 7 6? 13? 与 tan(- ) 5 5

(1)tan

(2)tan

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解答此类题目的关键是用诱导公式把角化到同一单调区间,然后利用单调得到大小关系.

【反馈检测】
训练 1 比较下列每组数的大小 (1) tan167 与 tan173
0 0

(2) tan( ?

11? 13? )与 tan( ? ) 4 5

训练 2 求函数 y

? ? tan( 3 x ? ) 的定义域、值域和单调区间 3

训练 3 解下列不等式 (1) tan x ?

3;

(2) tan( x ?

?
6

)?

3 3

【归纳盘点】

1、正切曲线是先利用平移正切线得 y=tanx, x ? ? ? 图象左右扩展得到; 2、正切函数的性质及其应用。

? ? ?? , ? 的图象,再利用周期性将该段 ? 2 2?

【课时作业】
1.已知 a ? tan1, b ? tan 2, c ? tan3, 则( A.a<b<c B.c<b<a C .b<c<a 2.函数 f ( x ) ? ) D. b<a<c ).

tan 2 x 的定义域为( tan x
且x?

A.

?x | x ? R ?x | x ? R

k? ? ,k ?Z? 4 ?

B.

?x | x ? R ?x | x ? R

且 x ? k? ?

?

? ,k ?Z? 2 ? k? ? ,k ?Z? 4 ?

C.

且 x ? k? ?

?

? ,k ?Z? 4 ?

D.

且 x ? k? ?

3.直线 y ? a (a 为常数)与正切曲线 y ? tan ? x(? 为常数, 且 ? ? 0) 相交的两相邻点间的距 离为( A. ? ). B.
2

2? ?

C.

? ?

D.与 a 值有关 的值域

4.求 y ? tan

x ? 4 tan x ? 1
?
4

5. 求函数y ? tan( x ?

)的定义域、值域和单调区间.


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