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江西省南昌二中2014-2015学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


江西省南昌二中 2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
一、选择题(12×5 分=60 分) 1.下列函数中,最小正周期为 A. C. D. 的是( ) B.

2.把函数 y=sin(2x﹣ 析式为( ) A. y=cos2x﹣2 cos2x+2

)的图象向右平移

个单位,再向下

平移 2 个单位所得函数的解

B. y=﹣cos2x﹣2

C. y=sin2x﹣2

D. y=﹣

3.某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查, 如果已知从高一学生中抽取的人数为 7, 那么从高三学生中抽取的人数为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4.等差数列{an}的公差 d≠0,a1=20,且 a3,a7,a9 成等比数列.Sn 为{an}的前 n 项和,则 S10 的值为( ) A. ﹣110 B. ﹣90 C. 90 D. 110

5.已知向量 A.



的夹角为 60°, B.

,若 C.

,则 D.

=(



6.甲、乙两人各自在 300 米长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道相距不超过 50 米的概率是( ) A. B. C. D.

7.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的概率 等于( ) A.
2

B.

C.

D.

8.若关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为( A. (﹣ ,+∞) B. [﹣ ,1] C. (1,+∞)



D.(﹣∞, ﹣1)

9.下列程序图中,输出的 B 是(



A. ﹣

B. ﹣
2

C. 0

D.

10.已知关于 x 的方程﹣2x +bx+c=0,若 b,c∈{0,1,2,3},记“该方程有实数根 x1,x2 且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件 A,则事件 A 发生的概率为( ) A. B. C. D.

11.已知数列{an}满足 a1=1,|an﹣an﹣1|= 增数列,则 12a10=( A. 6﹣ ) B. 6﹣

(n∈N,n≥2) ,且{a2n﹣1}是递减数列,{a2n}是递

C. 11﹣

D. 11﹣

12.如图,给定两个平面单位向量 AB 上,且



,它们的夹角为 120°,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 的概率为( )

(其中 x,y∈R) ,则满足 x+y≥

A.

B.

C.

D.

二、填空题(4×5 分=20 分) 13.已知向量 =(1, ) ,向量 , 的夹角是 , ? =2,则| |等于 .

14.安排 A,B,C,D,E,F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老 人.考虑到义工与老人住址距离问题,义工 A 不安排照顾老人甲,义工 B 不安排照顾老人 乙,安排方法共有 .
2

15.已知 x>0,y>0,且 是 .

,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围

16.如果一个实数数列{an}满足条件:

(d 为常数,n∈N ) ,则称这一数列“伪

*

等差数列”,d 称为“伪公差”.给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论:①对于任意的首 项 a1,若 d<0,则这一数列必为有穷数列;②当 d>0,a1>0 时,这一数列必为单调递增 数列;③这一数列可以是一个周期数列;④若这一数列的首项为 1,伪公差为 3, 可 * 以是这一数列中的一项;n∈N ⑤若这一数列的首项为 0,第三项为﹣1,则这一数列的伪公 差可以是 .其中正确的结论是 .

三、解答题(共 70 分) 17.设函数 f(x)=ax +(b﹣2)x+3(a≠0) (1)若不等式 f(x)>0 的解集(﹣1,3) .求 a,b 的值; (2)若 f(1)=2,a>0,b>0 求 + 的最小值.
2

18.已知函数



(1)求函数 f(x)的周期及单调递增区间; (2)在△ ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知函数 f(x)的图象经过 点 成等差数列,且 ,求 a 的值.

19.从某企业生产的某种产品中抽取 20 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到 如图所示的频率分布直方图 1,从左到右各组的频数依次记为 A1、A2、A3、A4,A5. (1)求图 1 中 a 的值; (2)图 2 是统计图 1 中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果 S; (3)从质量指标值分布在[80,90) 、[110,120)的产品中随机抽取 2 件产品,求所抽取两 件产品的质量指标之差大于 10 的概率.

20.某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销(每人至多抽奖一次) ,设了 金奖和银奖, 奖券共 2000 张. 在某一时段对 30 名顾客进行调查, 其中有 的顾客没有得奖, 而得奖的顾客中有 的顾客得银奖,若对这 30 名顾客随机采访 3 名顾客. (1)求选取的 3 名顾客中至少有一人得金奖的概率; (2)求选取的 3 名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率. 21.已知数列{an}满足 an+2=qan(q 为实数,且 q≠1) ,n∈N ,a1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4, a4+a5 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值和{an}的通项公式; (Ⅱ)若下图所示算法框图中的 ai 即为(I)中所求,回答以下问题: (1)若记 b 所构成的数列为{bn},求数列{bn}的前 n 项和 Sn (2)求该框图输出的结果 S 和 i.
*

22.已知数列{an}满足 a1=a(a∈N ) .a1+a2+…+an﹣pan+1=0(p≠0,p≠﹣1)n∈N ) . (1)数列{an}的通项公式; (2)对每一个正整数 k,若将 ak+1,ak+2,ak+3 按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成 等差数列,且记公差为 dk.求 p 的值及相应的数列{dk}.

*

*

江西省南昌二中 2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(12×5 分=60 分) 1.下列函数中,最小正周期为 A. C. D. 的是( ) B.

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题. 分析:根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为 T= 为 T= ,进而分别求得四个选项中的函数的最小正周期即可. ,正切型最小正周期为 T= ,正切型最小正周期

解答: 解:正弦、余弦型最小正周期为 T= 故 A,C 中的函数的最小正周期为 π, B 项中最小正周期为

,D 中函数的最小正周期为



故选 B 点评:本题主要考查了三角函数的周期性及其求法. 考查了学生对三角函数周期公式的灵活 掌握.要求对周期公式能够顺向和逆向使用.

2.把函数 y=sin(2x﹣ 析式为( ) A. y=cos2x﹣2 cos2x+2

)的图象向右平移

个单位,再向下平移 2 个单位所得函数的解

B. y=﹣cos2x﹣2

C. y=sin2x﹣2

D. y=﹣

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件利用诱导公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解: 把函数 y=sin (2x﹣ ﹣ ]=sin(2x﹣ ) 的图象向右平移 个单位, 可得函数 y=sin[2 (x﹣ )

)=﹣cos2x 的图象;

再向下平移 2 个单位,可得函数的图象对应的解析式为 y=﹣cos2x﹣2, 故选:B. 点评:本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

3.某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查, 如果已知从高一学生中抽取的人数为 7, 那么从高三学生中抽取的人数为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:本题是一个分层抽样问题, 根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数, 可以 做出每个个体被抽到的概率,根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数. 解答: 解:∵由题意知高一学生 210 人,从高一学生中抽取的人数为 7 ∴可以做出每 =30 人抽取一个人, =10.

∴从高三学生中抽取的人数应为

故选 D. 点评:抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少,可 采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差异 较大,可采用分层抽样. 4.等差数列{an}的公差 d≠0,a1=20,且 a3,a7,a9 成等比数列.Sn 为{an}的前 n 项和,则 S10 的值为( ) A. ﹣110 B. ﹣90 C. 90 D. 110 考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等比关系求出数列的公差,然后求解 S10 的值. 解答: 解:设等差数列的公差为 d,a3,a7,a9 成等比数列. 2 可得: (20+6d) =(20+2d) (20+8d) , 解得 d=﹣2,或 d=0(舍去) . S10=20×10+ =110.

故选:D. 点评:本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用, 等差数列的求和, 考查计算能力.

5.已知向量 A.



的夹角为 60°, B.

,若 C.

,则 D.

=(



考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由已知求出
2

展开,利用数量积计算即可. 、 的夹角为 60°,

解答: 解:因为向量

所以 所以 所以

=2, =(2 = )= ;
2

=16+4+8=28,

故选 D 点评:本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的模; 一般的, 没有坐标表示的向量 求模,先求其平方的值,然后开方求模. 6.甲、乙两人各自在 300 米长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道相距不超过 50 米的概率是( ) A. B. C. D.

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:设甲、乙两人各自跑的路程,列出不等式,作出图形,再列出相距不超过 50 米,满 足的不等式,求出相应的面积,即可求得相应的概率. 解答: 解:设甲、乙两人各自跑的路程为 xm,ym,则
2

,表示的区域如图所

示,面积为 90000m , 相距不超过 50 米,满足|x﹣y|≤50,表示的区域如图阴影所示,其面积为(90000﹣62500) 2 2 m =27500m , ∴在任一时刻两人在跑道相距不超过 50 米的概率是 故选 C. =

点评:解决此类问题的关键是熟练掌握几何概率模型的使用条件, 以及几何概率模型的计算 公式. 7.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的概率 等于( ) A. B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:先求出甲、乙所选的课程都相同的概率,再根据互斥事件的概率公式计算即可. 2 2 解答: 解:甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,共有 C4 ×C4 =36 种选法, 2 甲、乙所选的课程都相同的共有 C4 =6 种, 故甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的概率 P=1﹣ = ,

故选:D. 点评:本题考查了互斥事件的概率公式,关键是求出甲、乙所选的课程都相同的种数. 8.若关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为( A. (﹣ ,+∞) B. [﹣ ,1] C. (1,+∞)
2



D.(﹣∞, ﹣1)

考点:一元二次不等式的解法. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:利用分离常数法得出不等式 a> ﹣x 在 x∈[1,5]上成立,根据函数 f(x)= ﹣x 在 x∈[1,5]上的单调性,求出 a 的取值范围. 解答: 解:关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解, 2 ∴ax>2﹣x 在 x∈[1,5]上有解, 即 a> ﹣x 在 x∈[1,5]上成立; 又函数 f(x)= ﹣x 在 x∈[1,5]上是单调减函数, 且 f(x)min=f(5)= ﹣5=﹣ ∴a>﹣ ; ,+∞) . ,
2

即实数 a 的取值范围为(﹣

故选:A. 点评:本题考查了不等式的解法与应用问题, 也考查了函数的图象与性质的应用问题, 是综 合性题目. 9.下列程序图中,输出的 B 是( )

A. ﹣

B. ﹣

C. 0

D.

考点:程序框图.

专题:图表型;三角函数的图像与性质. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 A,B,i 的值,观察规律可知 B 的取 值以 3 为周期,故当 i=2015 时,B=0,当 i=2016 时不满足条件 i≤2015,退出循环,输出 B 的值为 0. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 A= A= ,i=1 ,B=﹣ ,i=2,满足条件 i≤2015,

A=π,B=0,i=3,满足条件 i≤2015, A= A= ,B= ,B=﹣ ,i=4,满足条件 i≤2015, ,i=5,满足条件 i≤2015,

A=2π,B=0,i=6,满足条件 i≤2015, … 观察规律可知,B 的取值以 3 为周期,由 2015=3×671+2,故有 B=﹣ ,i=2015,满足条件 i≤2015, B=0,i=2016,不满足条件 i≤2015, 退出循环,输出 B 的值为 0. 故选:C. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的 A,B,i 的值,观 察规律可知 B 的取值以 3 为周期是解题的关键,属于基本知识的考查. 10.已知关于 x 的方程﹣2x +bx+c=0,若 b,c∈{0,1,2,3},记“该方程有实数根 x1,x2 且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件 A,则事件 A 发生的概率为( ) A. B. C. D.
2

考点:等可能事件的概率. 专题:计算题;压轴题;概率与统计. 分析:基本事件总数 n=4×4=16.①当 b=0 时,满足条件的基本事件有 3 个;②当 b=1 时, 满足条件的基本事件有 4 个;③当 b=2 时,满足条件的基本事件有 4 个;④当 b=3 时,满 足条件的基本事件有 3 个.由此能求出事件 A 发生的概率. 解答: 解:基本事件总数 n=4×4=16. ①当 b=0 时, 2 2 2 c=0,2x =0 成立;c=1,2x =1,成立;c=2,2x =2,成立; 2 c=3,2x =3,不成立. 满足条件的基本事件有 3 个; ②当 b=1 时, 2 2 2 c=0,2x ﹣x=0,成立;c=1,2x ﹣x=1,成立;c=2,2x ﹣x﹣2=0,成立; 2 c=3,2x ﹣x﹣3=0,成立. 满足条件的基本事件有 4 个; ③当 b=2 时,

c=0,2x ﹣2x=0,成立;c=1,2x ﹣2x﹣1=0,成立;c=2,2x ﹣2x﹣2=0,成立; 2 c=3,2x ﹣2x﹣3=0,成立. 满足条件的基本事件有 4 个; ④当 b=3 时, 2 2 2 c=0,2x ﹣3x=0,成立;c=1,2x ﹣3x﹣1=0,成立;c=2,2x ﹣3x﹣2=0,成立; 2 c=3,2x ﹣3x﹣3=0,不成立. 满足条件的基本事件有 3 个. ∴满足条件的基本事件共有:3+4+4+3=14 个. ∴事件 A 发生的概率为 p= = .

2

2

2

故选 C. 点评:本题考查概率的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意列举法的合理 运用. 11.已知数列{an}满足 a1=1,|an﹣an﹣1|= 增数列,则 12a10=( A. 6﹣ ) B. 6﹣ C. 11﹣ D. 11﹣ (n∈N,n≥2) ,且{a2n﹣1}是递减数列,{a2n}是递

考点:数列递推式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:根据数列的单调性和|an﹣an﹣1|= a2n+1﹣a2n= ,由不等式的可加性,求出 a2n﹣a2n﹣1= 和

,再对数列{an}的项数分类讨论,利用累加法和等比数列前 n 项和公式,

求出数列{an}的偶数项对应的通项公式,则 12a10 可求. 解答: 解:由|an﹣an﹣1|= 则|a2n﹣a2n﹣1|= , ,

,|a2n+2﹣a2n+1|=

∵数列{a2n﹣1}是递减数列,且{a2n}是递增数列, ∴a2n+1﹣a2n﹣1<0,且 a2n+2﹣a2n>0, 则﹣(a2n+2﹣a2n)<0,两不等式相加得 a2n+1﹣a2n﹣1﹣(a2n+2﹣a2n)<0,即 a2n﹣a2n﹣1<a2n+2﹣a2n+1, 又∵|a2n﹣a2n﹣1|= ∴a2n﹣a2n﹣1<0,即 同理可得:a2n+3﹣a2n+2<a2n+1﹣a2n, 又|a2n+3﹣a2n+2|<|a2n+1﹣a2n|, 则 a2n+1﹣a2n= ,
*

>|a2n+2﹣a2n+1|=

, ,

当数列{an}的项数为偶数时,令 n=2m(m∈N ) ,

,…, 这 2m﹣1 个等式相加可得,a2m﹣a1=﹣( )+(

, ) ,





=



∴12a10=



故选:D. 点评:本题考查了等差数列的通项公式,等比数列前 n 项和公式、数列的单调性,累加法求 数列的通项公式, 不等式的性质等, 同时考查数列的基础知识和化归、 分类整合等数学思想, 以及推理论证、分析与解决问题的能力.本题设计巧妙,题型新颖,立意深刻,是一道不可 多得的好题,难度很大.

12.如图,给定两个平面单位向量 AB 上,且



,它们的夹角为 120°,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 的概率为( )

(其中 x,y∈R) ,则满足 x+y≥

A.

B.

C.

D.

考点:向量在几何中的应用. 专题:常规题型;计算题. 分析:根据题意,建立坐标系,设出 A,B 点的坐标,并设∠AOC=α,则由 得 x,y 的值,从而求得 x+y,结合正弦函数的性质可求满足条件的角 α 的范围,可求 解答: 解:建立如图所示的坐标系, 则 A(1,0) ,B(cos120°,sin120°) , 即 B(﹣ 设∠AOC=α,则 ∵ ) =(cosα,sinα) =(x,0)+(﹣ , )=(cosα,sinα) .





∴x+y= sinα+cosα=2sin(α+30°) . ∵0°≤α≤120°. ∴30°≤α+30°≤150°. 当 x+y≥ 时,可得 sin(α+30°)

∴45°≤α+30°≤135°即 15°≤α≤105°, ∴满足 x+y≥ 故选 B 的概率 P= =

点评:本题是向量的坐标表示的应用,结合图形,利用三角函数的性质,容易求出结果. 二、填空题(4×5 分=20 分) 13.已知向量 =(1, ) ,向量 , 的夹角是 , ? =2,则| |等于 2 .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案. 解答: 解:∵| |= 又∵ 即: ∴ 故答案为:2

点评:本题考察了向量的坐标以及向量数量积的定义,求出 的模是关键,属于基础题.

14.安排 A,B,C,D,E,F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老 人.考虑到义工与老人住址距离问题,义工 A 不安排照顾老人甲,义工 B 不安排照顾老人 乙,安排方法共有 42 . 考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:根据义工 A,B 有条件限制,可分 A 照顾老人乙和 A 不照顾老人乙两类分析,A 照 顾老人乙时,再从除 B 外的 4 人中选 1 人;A 不照顾老人乙时,老人乙需从除 A、B 外的 4 人中选 2 人,甲从除 A 外的剩余 3 人中选 2 人. 解答: 解:当 A 照顾老人乙时,共有 C4 C4 C2 =24 种不同方法; 2 2 2 当 A 不照顾老人乙时,共有 C4 C3 C2 =18 种不同方法. ∴安排方法有 24+18=42 种, 故答案为:42. 点评:本题考查有条件限制排列组合问题,关键是正确分类,是基础题.
2 1 2 2

15.已知 x>0,y>0,且 <m<2 .

,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ﹣4

考点:函数恒成立问题. 专题:计算题;压轴题. 分析:先把 x+2y 转化为(x+2y)
2 2

展开后利用基本不等式求得其最小值,然后根

据 x+2y>m +2m 求得 m +2m<8,进而求得 m 的范围. 解答: 解:∵
2

,∴x+2y=(x+2y)

=4+

+ ≥4+2

=8

∵x+2y>m +2m 恒成立, 2 ∴m +2m<8,求得﹣4<m<2 故答案为:﹣4<m<2. 点评:本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用. 考查了学生分析问题和解决问题的 能力. 16.如果一个实数数列{an}满足条件: (d 为常数,n∈N ) ,则称这一数列“伪
*

等差数列”,d 称为“伪公差”.给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论:①对于任意的首 项 a1,若 d<0,则这一数列必为有穷数列;②当 d>0,a1>0 时,这一数列必为单调递增 数列;③这一数列可以是一个周期数列;④若这一数列的首项为 1,伪公差为 3, 可 * 以是这一数列中的一项;n∈N ⑤若这一数列的首项为 0,第三项为﹣1,则这一数列的伪公 差可以是 .其中正确的结论是 ①③④ .

考点:数列递推式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:通过 =an+d 会随着 n 的增大而减小,易知①正确;通过 an+1=± 可知②

不正确; 不妨取伪公差 d=0 即得这一数列是周期数列故③正确; 通过代入计算可知④正确; 通过首项及平方≥0 即得⑤不正确. 解答: 解:①∵伪公差 d<0, ∴ =an+d 会随着 n 的增大而减小, (d 为常数,n∈N ) ,
*

易知这一数列必为有穷数列,故正确; ②当 d>0,a1>0 时, ∵an+1=± ,

∴这一数列不是单调递增数列,故不正确; ③易知当伪公差 d=0 时,这一数列是周期数列,故正确; ④∵a1=1,d=3, ∴a2=± =±2, ,故正确;

∴当 a2=2 时 a3=± ⑤∵a1=0,a3=﹣1, ∴ =a1+d=d,

∴d≥0, 而 <0,故不正确;

综上所述:①③④正确,②⑤不正确, 故答案为:①③④. 点评:本题考查考查数列的性质,注意解题方法的积累,属于中档题. 三、解答题(共 70 分) 2 17.设函数 f(x)=ax +(b﹣2)x+3(a≠0) (1)若不等式 f(x)>0 的解集(﹣1,3) .求 a,b 的值; (2)若 f(1)=2,a>0,b>0 求 + 的最小值.

考点:一元二次不等式的解法;基本不等式. 分析:(1)由不等式 f(x)>0 的解集(﹣1,3) .﹣1,3 是方程 f(x)=0 的两根,由根 与系数的关系可求 a,b 值;

解答: 解: (1)由 f(x)<0 的解集是(﹣1,3)知﹣1,3 是方程 f(x)=0 的两根,由

根与系数的关系可得

,解得

(2)f(1)=2 得 a+b=1, ∵a>0,b>0 ∴(a+b) ( ∴ )=5+ =5+2 ≥9

的最小值是 9

点评:此题考查了不等式的解法,属于基础题

18.已知函数



(1)求函数 f(x)的周期及单调递增区间; (2)在△ ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知函数 f(x)的图象经过 点 成等差数列,且 ,求 a 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用; 平面向量数量积的运算; 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函 数的形式,通过周期公式求函数 f(x)的周期,利用正弦函数的单调增区间求解函数的单 调递增区间; (2)通过函数 f(x)的图象经过点 abc 的关系,利用 解答: 解: 成等差数列,求出 A 以及列出

,求出 bc 的值,通过余弦定理求 a 的值.

=

…(3 分) ,…(4 分) 可解得: ,

(1)最小正周期: 由

所以 f(x)的单调递增区间为: (2)由 可得:



…(6 分)



,…(8 分)

又∵b,a,c 成等差数列, ∴2a=b+c,…(9 分) 而 ∴bc=18 ∴ …(10 分) , ,

∴ .…(12 分) 点评: 本题考查三角形的解法, 两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用, 三角函数 的图象与性质,基本知识的考查. 19.从某企业生产的某种产品中抽取 20 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到 如图所示的频率分布直方图 1,从左到右各组的频数依次记为 A1、A2、A3、A4,A5. (1)求图 1 中 a 的值; (2)图 2 是统计图 1 中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果 S; (3)从质量指标值分布在[80,90) 、[110,120)的产品中随机抽取 2 件产品,求所抽取两 件产品的质量指标之差大于 10 的概率.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;程序框图. 专题:图表型;概率与统计;算法和程序框图. 分析: 解: (1)依题意,利用频率之和为 1,直接求解 a 的值. (2)由频率分布直方图可求 A1,A2,A3,A4,A5 的值,由程序框图可得 S=A2+A3+A4, 代入即可求值.

(3)记质量指标在[110,120)的 4 件产品为 x1,x2,x3,x4,质量指标在[80,90)的 1 件 产品为 y1, 可得从 5 件产品中任取 2 件产品的结果共 10 种, 记“两件产品的质量指标之差大 于 10”为事件 A,可求事件 A 中包含的基本事件共 4 种,从而可求得 P(A) . 解答: 解: (1)依题意, (2a+0.02+0.03+0.04)×10=1 解得:a=0.005 (2)A1=0.005×10×20=1,A2=0.040×10×20=8,A3=0.030×10×20=6,A4=0.020×10×20=4, A5=0.005×10×20=1 故输出的 S=A2+A3+A4=18 (3)记质量指标在[110,120)的 4 件产品为 x1,x2,x3,x4,质量指标在[80,90)的 1 件 产品为 y1, 则从 5 件产品中任取 2 件产品的结果为: (x1,x2) , (x1,x3) , (x1,x4) , (x1,y1) , (x2, x3) , (x2,x4) , (x2,y1) , (x3,x4) , (x3,y1) , (x4,y1)共 10 种, 记“两件产品的质量指标之差大于 10”为事件 A, 则事件 A 中包含的基本事件为: (x1,y1) , (x2,y1) , (x3,y1) , (x4,y1)共 4 种 所以可得:P(A)= = .

即从质量指标值分布在[80,90) 、[110,120)的产品中随机抽取 2 件产品,所抽取两件产 品的质量指标之差大于 10 的概率为 点评:本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力, 利用统计图获取信 息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,属于中档题. 20.某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销(每人至多抽奖一次) ,设了 金奖和银奖, 奖券共 2000 张. 在某一时段对 30 名顾客进行调查, 其中有 的顾客没有得奖, 而得奖的顾客中有 的顾客得银奖,若对这 30 名顾客随机采访 3 名顾客. (1)求选取的 3 名顾客中至少有一人得金奖的概率; (2)求选取的 3 名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率. 考点:古典概型及其概率计算公式;互斥事件的概率加法公式. 专题:概率与统计. 分析: (1)先求出个奖项的人数,再根据互斥事件的公式计算即可; (2)设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为 x,y,z,得到选取的 3 名顾客中得金奖人数 不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件: B0: x=0 和 B1: x=1, y=1, z=1 或 x=1, y=2, z=0,分别求出 P(B0) ,P(B1) ,问题得以解决. 解答: 解: (1)依题意得,在接受采访的 30 人中,没有得奖的人数为 人数为 10,得银奖人数为 ,得金奖人数为 4, ,得奖

设三人中至少一人得金奖为事件 A,则







(2)设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为 x,y,z, ∵x≤y,x+y+z=3, ∴选取的 3 名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件:B0:x=0 和 B1:x=1,y=1,z=1 或 x=1,y=2,z=0, ∴ ,P(B1)= . = ,



点评:本题考查了互斥事件的概率公式, 以及古典概型的概率问题, 关键是对于排列组合的 应用,属于中档题. 21.已知数列{an}满足 an+2=qan(q 为实数,且 q≠1) ,n∈N ,a1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4, a4+a5 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值和{an}的通项公式; (Ⅱ)若下图所示算法框图中的 ai 即为(I)中所求,回答以下问题: (1)若记 b 所构成的数列为{bn},求数列{bn}的前 n 项和 Sn (2)求该框图输出的结果 S 和 i.
*

考点:程序框图;数列的求和. 专题:点列、递归数列与数学归纳法;算法和程序框图. 分析: (I)由 a2+a3,a3+a4,a4+a5 成等差数列,可解得即 a4﹣a2=a5﹣a3,即 a2(q﹣1) =a3(q﹣1) .又 q≠1,解得 a3=a2=2,从而解得 q=2,分情况讨论即可得解{an}的通项公式;

(Ⅱ)由(I)得 b 式相减,整理得 Sn=4﹣ 数列{Sn}单调递增,结合 ,又

.设{bn}的前 n 项和为 Sn,则可求 Sn, Sn,错位两 ,n∈N 恒成立,既得 ,从而得解.
*

解答: 解: (I)由已知,有 2(a3+a4)=(a2+a3)+(a4+a5) ,即 a4﹣a2=a5﹣a3,所以 a2 (q﹣1)=a3(q﹣1) .又因为 q≠1,故 a3=a2=2,由 a3=qa1,得 q=2. 当 n=2k﹣1(k∈N )时,an=a2k﹣1=2 当 n=2k(k∈N )时,an=a
* * k﹣1

=2 .



所以,{an}的通项公式为 an=



(Ⅱ)由(I)得 b Sn=1× Sn=1×

.设{bn}的前 n 项和为 Sn,则 , ,

上述两式相减,得 Sn=1

=



=2﹣





整理得,Sn=4﹣

. ,n∈N , ,n∈N 恒成立 . .
* *

所以,数列{bn}的前 n 项和为 4﹣ 又 所以数列{Sn}单调递增,又 所以输出的结果:

点评:本题主要考查了循环结构的程序框图, 数列通项公式及数列求和的解法, 综合性较强, 属于基本知识的考查. 22.已知数列{an}满足 a1=a(a∈N ) .a1+a2+…+an﹣pan+1=0(p≠0,p≠﹣1)n∈N ) . (1)数列{an}的通项公式;
* *

(2)对每一个正整数 k,若将 ak+1,ak+2,ak+3 按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成 等差数列,且记公差为 dk.求 p 的值及相应的数列{dk}. 考点:数列递推式;等差数列的性质. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据数列的递推关系利用作差法结合等比数列的定义即可求数列{an}的通项 公式; (2)求出 ak+1,ak+2,ak+3 的表达式,结合等差数列的定义建立方程关系进行求解即可. 解答: 解: (1)因为 a1+a2+…+an﹣pan+1=0,所以 n≥2 时,a1+a2+…+an﹣1﹣pan=0,两式相 减, 得 ,故数列{an}从第二项起是公比是 的等比数列.

又当 n=1 时,a1﹣pa2=0,解得 (2)由(1)得

,从而



, 或 ,
k

, , , ; ,此时无解; 或 , , ,



若 ak+1 为等差中项,则 2ak+1=ak+2+ak+3,即 解得 ,此时
k﹣1

注意到(﹣2)

与(﹣2) 异号,所以

若 ak+2 为等差中项,则 2ak+2=ak+1+ak+3,即 若 ak+3 为等差中项,则 2ak+3=ak+1+ak+2,即 解得 注意到 综上所述, , ,此时 与

同号,所以 或 , .



点评:本题主要考查数列通项公式的求解, 利用等差数列和等比数列的定义和通项公式是解 决本题的关键.考查学生的运算能力.


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