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平面解析几何知识点


平面解析几何
基本要求 ①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。 ③.掌握圆的标准方程和一般方程. ④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题. 1 直线方程的五种形式 点斜式: y ? y 0 = k ( x ? x0 ) , 斜截式: y = kx + b 两点式: (斜率存在)

(斜率存在)

y ? y1 x ? x1 ,(不垂直坐标轴) = y 2 ? y1 x 2 ? x1
x y + =1 a b
(不垂直坐标轴,不过原点)

截距式:

一般式: Ax + By + C = 0 2.直线与直线的位置关系: (1)有斜率的两直线 l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2; 有:①l1∥l2 ? k1=k2 且 b1≠b2;②l1⊥l2 ? k1·k2=-1; 有斜率 ④l1 与 l2 重合 ? k1=k2 且 b1=b2。 ③l1 与 l2 相交 ? k1≠k2 有:①l1∥l2 ? A1B2-A2B1=0;且 B1C2-B2C1≠0 (2)一般式的直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 ②l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0 ③l1 与 l2 相交 ? A1B2-A2B1≠0 ④l1 与 l2 重合 ? A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0。 3.点与直线的位置关系: 点与直线的位置关系: 点与直线的位置关系 点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d =

Ax0 + By 0 + C A2 + B 2



平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 之间的距离为 d = 两点间距离公式: | P P2 |= 1

C1 ? C 2 A2 + B 2

( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 )2

.4 直线系方程 ①过直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程为:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈ R)(除 l2 外)。 ②过定点 M ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y 0 = k ( x ? x 0 ) (其中不包括直线 x = x0 ) ③和直线 Ax + By + C = 0 平行的直线方程为 Ax + By + C ' = 0 (C ≠ C ') ④和直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线方程为 Bx ? Ay + C ' = 0 5.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 6.圆的方程(1)标准式:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中 r 为圆的半径,(a,b)为圆心。 D E 1 (2)一般式:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为 (? , ? ) ,半径为 D2 + E 2 ? 4F 2 2 2

? x = r cos α ? x = a + r cos α ,? (3) 参数方程: ? ? y = r sin α ? y = b + r sin α

(α是参数) .消去θ可得普通方程
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(4)A(x1,y1)B(x2,y2)为直径的圆: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0; (5).过圆与直线(或圆)交点的圆系方程: i) x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,表示过圆与直线交点圆的方程 ii) x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1);表示过两圆交点的圆的直线方程 ( λ = ?1 时 ( D1 ? D2 ) x + ( E1 ? E2 ) y + F1 ? F2 = 0 一条过过两圆交点的直线,该方程不包括圆 C2) (6)二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件:
2 2

A=C≠0,B=0 ,D2+E2-4AF>0。
2 2 2

7. 点 P(x0,y0)与圆的位置关系:代入方程 f ( x) = ( x ? a ) + ( y ? b) ? r (或 f ( x) = x + y + Dx + Ey + F )看符号. ①点 P 在圆上 ? f ( x0 , y0 ) = 0 ②点 P 在圆外 ? f ( x0 , y0 ) > 0 ③点 P 在圆内 ? f ( x0 , y0 ) < 0 8.直线与圆的位置关系:相离、相切和相交。有两种判断方法: (用几何法更具有直观性) (1)代数法(判别式法):Δ>、=、<0 时分别相离、相交、相切。 (2)几何法,圆心到直线的距离 d>、=、<r 时相离、相交、相切。 9.切线方程: 圆 x 2 + y 2 = r 2 上点 M(x0,y0)的切线方程: x0 x + y0 y = r (或 x0 ( x ? x0 ) + y0 ( y ? y0 ) = 0 )
2

(x 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上点 M(x0,y0)的切线方程: 0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=0.(或 ( x0 ? a )( x ? x0 ) + ( y0 ? b)( y ? y0 ) = 0 ) 10.切线长公式: d =
2 2 x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F =

( x0 ? a ) + ( y0 ? b )
2

2

? r2

=

f ( x0 , y0 )

11.弦长求法: (1)几何法:弦心距 d,圆半径 r,弦长 l,则 d2+(l/2)2=r2. (2)解析法:用韦达定理,弦长公式。 12.圆与圆的位置关系:看|O1O2|与 r1+r2 和|r1-r2|的大小关系。 特别提示:解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷. 13.①中积最小 过 P ( x0 , y0 ) 的直线与坐标轴在 P 所在的象限围成的三角形 AOB(A,B 为直线与轴的交点)面积最小的时当且仅当 P 为线 段 AB 中点,此时(1)横截距 a = 2 x0 ,纵截距 b = 2 y0 (2) S min = 2 | x0 y0 | (3)直线方程:

x y + =1 2 x0 2 y0

②以 A( x1 , y1 ) 和 B ( x2 , y2 ) 为直径端点的圆的方程为 ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) = 0 ③点(线、圆)与圆的距离的最值问题 心距指点(直线或圆心)与圆心之间的距离

d min = 心距 ? 半径 = d ? r ; d max = 心距 + 半径 = d + r

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