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导数基础训练题


导数基础训练题
第 1 课时 变化率与导数 1、 在曲线方程 y ? x2 ? 1 的图象上取一点 (1, 2) 及邻近一点 (1 ? ?x, 2 ? ?y) , 则 A. ?x ?

?y 为 ( ?x



1 ?2 ?x

B. ?x ?

1 ?2 ?x

C. ?x ? 2

D. 2 ? ?x ?

1 ?x
( )

2. 一质点的运动方程是 s ? 5 ? 3t 2 ,则在一段时间 1,1 ? ?t 内相应的平均速度为 A. 3?t ? 6 B. ?3?t ? 6 C. 3?t ? 6 D. ?3?t ? 6

?

?

3、 一木块沿某一斜面自由滑下, 测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 s ? 则 t ? 2 秒时,此木块在水平方向的瞬时速度为 ( D.

1 2 t , 8


1 4 f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) 4、设 f ( x ) 在 x ? x0 可导,且 f ' ( x0 ) ? ?2 ,则 lim 等于( ?x ?0 ?x
A. 2 B. 1 C. A.0 B.2 C.-2 D.不存在 ) D.大于 0 或小于 0

1 2



f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 5、在 f ( x0 ) ? lim 中, ?x 不可能( ?x ?0 ?x
A.大于 0 B.等于 0 C.小于 0 ) 6、在曲线 y ? x2 上切线倾斜角为 A. (0, 0) B. (2, 4)

? 的点是( 4
C. ( ,

1 1 ) 4 16

D. ( , ) ) D. y ? 4 x ? 7

1 1 2 4

7、曲线 y ? 2 x2 ? 1 在点 P(?1,3) 处的切线方程为( A. y ? ?4 x ? 1 B. y ? ?4 x ? 7 C. y ? 4 x ? 1

8、 曲线 y ? 4x ? x2 上两点 A(4, 0) 、B (2, 4) , 若曲线上一点 P 处的切线恰好平行于弦 AB , 则点 P 的坐标是( A. (3,3) ) B. (1,3) C. (6, ?12) D. (2, 4)

9、 若函数 f ( x ) 在 x0 处的切线的斜率为 k , 则极限 ? lim 10、函数在 y ? x ? 2x ? 2 在 x ? 2 处的切线的斜率为
3

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x




3 11、 如果一个质点从固定点 A 开始运动, 在时间 t 内的位移函数为 y ? f (t ) ? t ? 3 , 当 t1 ? 4

且 ?t ? 0.01 时, (1)求 ?y ; (2)求

?y 。 ?x

1

12、已知曲线 C : y ? x3 。 (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点?

第 2 课时 1、下列运算正确的是( ) A. (ax2 ? bx ? c)' ? a( x2 )' ? b(? x)' B. (sin x ? 2x2 )' ? (sin x)' ? (2)' ( x2 )'

导数的计算

C. (cos x sin x)' ? (sin x)' cos x ? (cos x)' cos x D. [(3 ? x2 )(2 ? x3 )]' ? 2 x(2 ? x3 ) ? 3x2 (3 ? x2 )

1 的导数是( ) x 1 1 1 1 A. 1 ? 2 B. 1 ? C.1 ? 2 D.1 ? x x x x cos x 3、函数 y ? 的导数是( ) x sin x x sin x ? cos x x cos x ? cos x A. ? 2 B. ? sin x C. ? D. ? 2 x x x2
2、函数 y ? x ? 4、函数 y ? sin x(cos x ? 1) 的导数是( A. cos 2 x ? cos x B. cos 2 x ? sin x ) C. cos 2 x ? cos x D. cos x ? cos x
2

2

5、已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值是( A.

) D.

19 3

B.

16 3

C. )

13 3

10 3

6、设函数 f ( x) ? (1 ? 2x3 )10 ,则 f ' (1) ? ( A.0 B.-1

C.-60 )

D.60

7、函数 y ? ( x ? )5 的导数为(

1 x

1 x 1 4 C. 5( x ? ) (1 ? x ?2 ) x
A. 5( x ? ) 4

1 1 x x 1 4 D. 5( x ? ) (1 ? x ?2 ) x
B. 5( x ? ) 4 (1 ? ) ) D. y ? 4 x ? 4?

8、函数 y ? sin 4 x 在点 M (? , 0) 处的切线方程为( A. y ? x ? ? B. y ? 0

C. y ? 4 x ? ? 。

9、函数 y ? 2 x2 ? 1 的导数为 10、设 y ? (2x ? a)2 ,且 y
' x ?2

? 20 ,则 a ?

2



11、函数 y ? e?0.05 x ?1 的导数为 12、已知物体的运动方程是 s ? t ?

的速度 v ? ,加速度 a ? 13、求下列函数的导数: (1) y ? x12 ; ( 2) y ?

3 ( t 的单位是秒, s 的单位是米) ,则物体在时刻 t ? 4 t
。 (3) y ?

1 ; x4

5

x3

3

14、(选做题)求下列函数的导数: (1) y ? (2 x 3 ? x ? ) 4 ; (3) y ? sin 2 (2 x ?

1 x

(2) y ?

1 1 ? 2 x2



?
3

);

(4) y ? 1 ? x 2 ;

15、已知函数 y ? x ln x 。 (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线方程。 16、曲线 y ? x(1 ? ax)2 (a ? 0) ,且 y 第 3 课时
'

x ?2

? 5 ,求实数 a 的值。

导数在研究函数中的应用 ) C. (? , ??) ) D. a ?

1、函数 f ( x) ? 5x2 ? 2 x 的单调增区间为( A. ( , ??)

1 5

B. (??, )

1 5

1 5

D. ( ?8, ? )

1 5

2、函数 f ( x) ? ax3 ? x 在 R 上是减函数,则( A. a ? 0 B. a ? 1

C. a ? 2 ) B.增函数

1 3

3、函数 f ( x) ? 1 ? x ? sin x 在 (0, 2? ) 上是( A.减函数 C.在 (0, ? ) 上增,在 (? , 2? ) 上减

D.在 (0, ? ) 上减,在 (? , 2? ) 上增 )

4、若函数 y ? f ( x) 可导,则“ f ' ( x) ? 0 有实根”是“ f ( x ) 有极值”的( A.必要不充分条件 A. y ? B.充分不必要条件 ) C. y ? 2 D. y ? x3 ) C.充要条件 D.必要条件

5、下列函数存在极值的是(

1 x

B. y ? x ? e x

6、若在区间 ( a, b) 内有 f ' ( x) ? 0 ,且 f (a) ? 0 ,则在 ( a, b) 内有( A. f ( x) ? 0 B. f ( x) ? 0 ) C. f ( x) ? 0

D.不能确定

7、下列结论正确的是(

A.在区间 [ a, b] 上,函数的极大值就是最大值; B.在区间 [ a, b] 上,函数的极小值就是最小值; C.在区间 [ a, b] 上,函数的最大值、最小值在 x ? a 和 x ? b 时达到;

4

D.一般地,在区间 [ a, b] 上连续的函数 f ( x ) ,在区间 [ a, b] 必有最大值和最小值 8、函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 1在 [1,5] 上的最大值和最小值是( A. f (1) 、 f (3) B. f (3) 、 f (5) C. f (1) 、 f (5) ) D. f (5) 、 f (2) ,单调递

9、已知函数 f ( x) ? x2 ( x ? 3) ,则 f ( x ) 在 R 上的单调递减区间是 增区间为 。 ,最小值是

10、函数 y ? 2 x3 ? 3x2 ?12 x ? 5 在 [0,3] 上的最大值是

。 。

11、 函数 y ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 有极大值和极小值, 则 a 的取值范围是 12、设函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) , ( a, b, c 是两两不等的常数) ,则

a b ? ' ? f (a) f (b)
'

c = f (c )
'



13、若函数 f ( x) ? ax3 ? x , (1)求实数 a 的取值范围,使 f ( x ) 在 R 上是增函数。 (2)求实数 a 的取值范围,使 f ( x ) 恰好有三个单调区间。 14、设函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax ? 8 ,其中 a ? R 。 (1)若 f ( x ) 在 x ? 3 处取得极值,求常数 a 的值; (2)若 f ( x ) 在 (??, 0) 上为增函数,求 a 的取值范围。 15、 x ? ?2 与 x ? 4 是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点。 (1)求常数 a 、 b 的值; (2)判断函数 x ? ?2 , x ? 4 处的值是函数的极大值还是极小值,并说明理由。

第 4 课时

生活中的优化问题举例

1、一条长为 80cm 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小, 两段铁丝的长度分别是( ) A. 1cm, 7cm B. 2cm,8cm C. 3cm,5cm D. 4cm, 4cm )
5

2、设底部为三角形的直棱柱的体积为 V ,那么其表面积最小时,底面边长为(

A. 3 V

B.

3

2V

C. 3 4V )

D. 2 3 V

3、抛物线 y ? x2 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为(

A. 2

B.

7 2 8

C. 2 2

D.以上都不对 )

4、以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它内接矩形面积的最大值为( A.10 B.15 C.25 D.50 三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时堆料的长和宽分别为( A.32 米,16 米 B.16 米,8 米 C.64 米,8 米 )

5、某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他 D.以上都不对

6、如图,一矩形铁皮的长为 8cm ,宽为 5cm ,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成 一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?

7、 如图所示铁路线上 AB 线段长 100km , 工厂 C 到铁路线上 A 处的垂直距离 CA 为 20km 。 现在要在 AB 上选一点 D ,从 D 向 C 修一条直线公路。已知铁路运输每吨千米与公路运输 每吨千米的运费之比为 3: 5 ,为了使原料从 B 处运到工厂 C 的运费最省, D 应选在何处?
C

B

D

A

6

第 1 课时变化率与导数答案 1-8. CDCCB 9. ? k 10. 10 11. (1) ?y ? 0.481201 ; (2 ) DAA

?y ? 48.1201 ?x

12. (1) 3x ? y ? 2 ? 0 ;(2)有, (?2, ?8)

第 2 课时导数的计算答案 1-8. AACCD 9. DCD

2 x 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1

10. 1 11. y ' ? ?0.05e?0.05 x?1 12.

125 16

67 32

13. (1) y ' ? 12 x11 (2) y ' ? ?4 x?5 (3) y ?
'
'

2 3 ?5 x 5
3

14. (1) y ? 4(2 x ? x ? ) (6 x ? 1 ?
3 2

1 x

1 ) x2

2 x 1 ? 2 x2 (2) y ? (1 ? 2 x2 )2
'

(3) y ? 2sin(4 x ?
'

2? ) 3

(4) y ?
'

1 ? 2 x2 1 ? x2

15. (1) y ? ln x ? 1
'

(2) y ? x ? 1 16. 1

7

第 3 课时导数在研究函数中的应用答案 1-8. AABAB 9. [0, 2] ; 10. 5,-15 ADD

(??, 0] , [2, ??)

11. (??, ?1) ? (2, ??) 12. 0 13. (1) a ? 0 ;(2) a ? 0 14. (1) a ? 3 ;(2) a ? 0 15. (1) a ? ?3, b ? ?24 ;(2) x ? ?2 时是极大值, x ? 4 时是极小值.

第 4 课时 1-5. DCBCA 6. 1 7. AD=15

生活中的优化问题举例答案

8


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