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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第2章 第1节 函数及其表示]


第一节

函数及其表示

考点一

函数的定义域

2x+1 [例 1] (1)(2014· 南昌模拟)函数 f(x)= 2 的定义域是( 2x -x-1

)

? 1? A. ? x x ? ? ? 2? ?
1 ? C. ? ? x x ? ? 且x ? 1? 2 ? ?

1? B. ? ?x x ? ? ? 2? ?
1 ? D. ? ? x x ? ? 且x ? 1? ? 2 ?

(2)已知函数 f(x2-1)的定义域为[0,3],则函数 y=f(x)的定义域为________.
? ?2x+1≥0, 1 [自主解答] (1)由题意得? 2 解得 x>- 且 x≠1. 2 ?2x -x-1≠0, ?

(2)因为函数 f(x2-1)的定义域为[0,3], 所以-1≤x2-1≤8, 故函数 y=f(x)的定义域为[- 1,8]. [答案] (1)D 【互动探究】 本例(2)改为:f(x)的定义域为[0,3],求 y=f(x2-1)的定义域. 解: 因为 f(x)的定义域为[0,3], 所以 0≤x2-1≤3, 即 1≤x2≤4, 解得 1≤x≤2 或-2≤x≤ -1,故函数 y=f(x2-1)的定义域为[-2,-1]∪[1,2]. 【方法规律】 1.简单函数定义域的求法 求函数的定义域, 其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则, 列出不等式或不等 式组,然后求出它们的解集即可. 2.抽象函数的定义域 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出. (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值域. (2)[-1,8]

1.(2014· 广州模拟)如果函数 f(x)=ln(-2x+a)的定义域为(-∞,1),则实数 a 的值为 ( ) A.-2 B.-1 C .1 D.2

a a 解析:选 D ∵-2x+a>0,∴x< ,∴ =1,∴a=2. 2 2 2.已知 f(x)的定义域是[0,4],则 f(x+1)+f(x-1)的定义域是________.
? ?0≤x+1≤4, 解析:由 f(x)的定义域为[0,4],得? 解得 1≤x≤3,即函数 f(x+1)+f(x- ?0≤x-1≤4, ?

1)的定义域为[1,3]. 答案:[1,3] 考点二 求函数解析式

[例 2] (1)已知 f(2x+1)=4x2+2x+1,求 f(x)的解析式; (2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x)的解析式; 1? (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f? ?x?=3x,求 f(x)的解析式. 1 [自主解答] (1)令 t=2x+1,则 x= (t-1), 2 1 1 2 2 ?2 所以,f(t)=4? ?2?t-1?? +2×2(t-1)+1=(t-1) +(t-1)+1=t -t+1. 即 f(x)=x2-x+1. (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax2+bx. 又 f(x+1)=f(x)+x+1, 所以 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1. a≠0, ? ? 所以?2a+b=b+1, ? ?a+b=1, 1 1 因此 f(x)= x2+ x. 2 2 1? ?1?+f(x)=3. (3)由 2f(x)+f? = 3 x ,得 2 f ? x? ? x? x 1 所以 a=b= . 2

? ?2f?x?+f? ?x?=3x, 由? 1? 3 ?2f? ?x?+f?x?=x,
【方法规律】

1

1 得 f(x)=2x- (x≠0). x

求函数解析式的常用方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替

代 g(x),便得 f(x)的表达式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法. (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. 1? (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外 一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x).

求下列两个函数的解析式: (1)f( x+1)=x+2 x; (2)定义在(-1,1)内,且函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1). 解:(1)法一:设 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1). 代入原式,有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1). (2)当 x∈(-1,1)时, 有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 以-x 代替 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x),得 2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3

高频考点

考点三

分 段 函 数

1.分段函数是一类重要的函数,是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现, 试题难度不大,多为容易题或中档题. 2.高考对分段函数的考查主要有以下几个命题角度: (1)已知分段函数解析式,求函数值(或最值); (2)已知分段函数解析式与方程,求参数的值; (3)已知分段函数解析式,求解不等式; (4)已知分段函数解析式,判断函数的奇偶性; (5)新定义运算,分段函数与方程的交汇问题.

[例 3]

2 ? ?x +1,x≤1, (1)(2012· 江西高考)函数 f(x)=? 则 f(f(10))=( ?lg x,x>1, ?

)

A.lg 101 C.1

B.2 D.0


?21 x,x≤1, ? (2)(2014· 青岛模拟)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 ? ?1-log2x,x>1,

( ) A.[-1,2] C.[1,+∞) B.[0,2] D.[0,+∞)

? ?2x+a,x<1, (3)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为 ?-x-2a,x≥1, ?

________. [自主解答] (1)f(10)=lg 10=1,f(f(10))=f(1)=12+1=2. (2)当 x≤1 时,21 x≤2,解得 x≥0,


又因为 x≤1,所以 0≤x≤1; 1 当 x>1 时,1-log2x≤2,解得 x≥ , 2 又因为 x>1,所以 x>1. 故 x 的取值范围是[0,+∞). (3)①当 1-a<1,即 a>0 时,1+a>1,由 f(1-a)=f(1+a),得 2(1-a)+a=-(1+a) -2a, 3 解得 a=- (舍去); 2 ②当 1-a>1,即 a<0 时,1+a<1, 由 f(1-a)=f(1+a),得 2(1+a)+a=-(1-a)-2a, 3 解得 a=- ,符合题意. 4 3 综上所述,a=- . 4 [答案] (1)B 3 (2)D (3)- 4

分段函数问题的常见类型及解题策略 (1)求函数值.弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,

要从最内层逐层往外计算. (2)求函数最值.分别求出每个区间上的最值,然后比较大小. (3)解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解,但要 注意取值范围的大前提. (4)求参数.“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程. (5)奇偶性.利用奇函数(偶函数)的定义判断.

a×b,a×b≥0, ? ? 1? 1. (2014· 南平模拟)定义 a b=?a 设函数 f(x)=ln x x, 则 f(2)+f? 2?= ? ,a×b<0. ? ?b ( ) A.4ln 2 C.2 B.-4ln 2 D.0-

xln x,x≥1, ? ? 1? 1 解析:选 D 由题意可得 f(x)=?ln x 所以 f(2)+f? =2ln 2+2ln =0. 2 ? ? 2 ? ? x ,0<x<1,
? ?1,x∈Q, ex-1 2.(2014· 永州模拟)设 Q 为有理数集,函数 f(x)=? g(x)= x ,则函数 e +1 ?-1,x∈?RQ, ?

h(x)=f(x)· g(x)(

)

A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数 解析: 选 A 当 x∈Q 时, -x∈Q, ∴f(-x)=f(x)=1;当 x∈?RQ 时,-x∈?RQ,∴f(- x)=f(x)=-1. 综上,对?x∈R,都有 f(-x)=f(x),故函数 f(x)为偶函数. e x-1 1-ex ex-1 ∵g(-x)= -x = =- =-g(x), e +1 1+ex 1+ex


∴函数 g(x)为奇函数, ∴h(-x)=f(-x)· g(-x)=f(x)· (-g(x))=-f(x)g(x)=-h(x), ∴函数 h(x)=f(x)· g(x)是奇函数. e-1 e 1-1 1-e 又因为 h(1)=f(1)· g(1)= , h(-1)=f(-1)· g(-1)=1× -1 = , ∴h(-1)≠h(1), e+1 e +1 1+e


∴函数 h(x)不是偶函数.

综上可知,h(x)是奇函数但不是偶函数.
? ?f?x?,x≥0, 1 3.(2014· 日照模拟)已知函数 f(x)=2x- x,且 g(x)=? 则函数 g(x)的最小 2 ?f?-x?,x<0, ?

值是________.

?2 -2 ,x≥0, 解析:因为 g(x)=? 1 ?2 -2 ,x<0,
x x
-x -x

1

所以函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,

1 0)上单调递减,故函数 g(x)的最小值为 g(0)=20- 0=0. 2 答案:0 ———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————— 4 个准则——函数表达式有意义的准则 函数表达式有意义的准则一般有:(1)分式中的分母不为 0;(2)偶次根式的被开方数 非负;(3)y=x0 要求 x≠0;(4)对数式中的真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1. 4 种方法——函数解析式的求法 求函数解析式常用的方法有: (1)配凑法; (2)待定系数法; (3)换元法; (4)解方程组法. 具 体内容见例 2[方法规律]. 4 个注意点——求函数定义域应注意的问题 (1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x 的集合. (2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使 得各式子都有意义的公共部分的集合. (4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接, 而应该用并集符号“∪”连接.


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