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江苏省盱眙中学2013届高三下学期期初检测数学试题


盱眙中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题
一、填空题 1.函数 y = x3 + x2 - 5x - 5 的单调增区间是___________________________。 2.如图,已知圆 O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D .若 AD ? 3 , BD ? 2 ,且 D 为 OC 的中点,则 CD ? .

3. .在 ?ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c, 若 a ? 13, c ? 4, A ? 60?, 则b ? 1 4.若平面向量 α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量 α ,β 为邻边的平行四边形的面积为 , 2 则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________ 5 . 与 直 线 l 垂 直 的 向 量 称 为 直 线 l 的 一 个 法 向 量 , 直 线 2x ? 4 y ? 3 ? 0 的 一 个 法 向 量 为

? ? (1,

?

)

6.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 1 x ? (a ? ) x 2 ? x(a ? 0) ,则 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率最大 3 2 a

时的切线方程是______________ 7.(几何证明选讲选做题)如图, P 是圆 O 外的一点, PD 为切线, D 为切点,割线 PEF 经过圆 心 O , PF ? 6, PD ? 2 3 ,则 ? DFP ? __
D

___.

P E O

F

8.关于函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

)( x ? R) ,有下列命题:

①由 f (x1) = f (x2)=0 可得 x1-x2 必是π 的整数倍; ? ? ②若 x1 , x 2 ? (? , ) ,且 2 f ( x1 ) ? f ( x1 ? x 2 ? ? ), 则x1 ? x 2 ; 6 12 6

③函数的图象关于点 (?

?
6

,0) 对称;

④函数 y = f (-x)的单调递增区间可由不等式 2k? ? 正确命题的序号是

?
2

? ?2 x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 求得 。

?x ? y ? 2 ? 0 ? 9.若实数 x, y 满足 ? x ? 4 则 s ? y ? x 的最小值为____ ?y ? 5 ?
10.平面内有 7 个点,其中有 5 个点在一条直线上,此外无三点共线,经过这 7 个点可连成不同 直线的条数是 . 11.函数 f(x)= x - 4x ? 5x ? 2 的单调减区间为___________________
3 2

12.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标 准方程为______________________________ 13.已知命题 p: ?x ? R, sinx ? 1,则 ? p 为____________________________ 14.下列说法中,正确的序号是( ) 2 2 ①.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 2 ②.已知 x ? R,则“x -2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件 ③.命题“p∨q”为真命题,则“命题 p”和“命题 q”均为真命题 ④已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 二、解答题
2 x ?1 15.设函数 f ( x) ? x e ?

1 3 x ? x2 3

设 g ( x) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小 3

16.一位商人有 9 枚银元, 其中有 1 枚略轻的是假银元.你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗? 写出解决这一问题的算法.

17. 求圆心在 x-y-4=0 上, 并且经过两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 和 C 2 : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 的交点的圆方程

18.已知函数 f ( x) ? sin (
2

?
4

x) ? 3 sin(

?
4

x) ? cos(

?
4

x)

(Ⅰ)求 f (x) 的最大值及此时 x 的值;

) (Ⅱ)求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2010 的值。

x2 y2 2 + b 2 =1( a ? b ? 0 )上一点, F1 , F2 是椭圆的两焦点,且满足 19.已知 A(1,1)是椭圆 a

AF1 ? AF2 ? 4



(1)求椭圆的标准方程; (2)设点 C , D 是椭圆上两点,直线 AC , AD 的倾斜角互补,求直线 CD 的斜率.

20.已知函数 f ( x) ? x ?

t (t ? 0), 过点 P(1,0)作曲线 y ? f ( x) 的两条切线 PM、PN,切点分别为 x

M、N.
(I)当 t ? 2 时,求函数 f (x) 的单调递增区间; (II)设|MN|= g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (III)在(II)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [ 2, n ?

64 ] 内,总存在 m+1 个数 n

a1 , a2 ,?, am , am?1 , 使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求 m 的最大值.

参考答案 1. [1, ??), (??, ? ] 2. 2 3.1 或 3

5 3

?π 5π ? 4.? , ? 6 ? ?6
5.2 6. y ?

1 3

7. 30? ; 8.②③ 9.-6 10.12 11. (1,

5 ) 3

x2 y2 ? ?1 12. 81 72
13. ?x ? R, sin x ? 1 14.② 15. f ( x) ≥ g ( x)
2 x ?1 解∵ f ( x) ? x e ?

1 3 x ? x2 3

g ( x) ?

2 3 x ? x2 3

故 f ( x) ? g ( x) ? x e

2 x ?1

? x3 ? x2 (e x?1 ? x) ,令 h( x) ? e x?1 ? x ,则 h?( x) ? e x?1 ?1 .

令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,因为 x ? ? ??, 时, h?( x) ≤ 0 , 1? 所以 h( x) 在 x ? ? ??, 上单调递减.故 x ? ? ??, 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; 1? 1? 因为 x??1 ? ?? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x??1 ? ?? 上单调递增. , , 故 x??1 ? ?? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 . , 所以对任意 x ? (??, ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x ? 故对任意 x ? (??, ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) . ?
2

≥ 0 ,因此 f ( x) ? g ( x) ≥0 ,

16.解:方法一: S1 任取 2 枚银元分别放在天平的两边,如果天平左右不平衡,则轻的那一边就是假银元;如果 天平平衡,则进行 S2. S2 取下右边的银元,然后把剩下的 7 枚银元依次放在右边进行称量,直到天平不平衡,偏轻的 那一边就是假银元. 方法二: S1 任取两枚银元分别放在天平的两端,如果天平左右不平衡,则轻的那一边是假银元;否则进 行 S2. S2 重复执行 S1,如果前 4 次天平都平衡,则剩下的那一枚是假银元. 方法三: S1 把 9 枚银元平均分成 3 组,每组 3 枚. S2 先将其中两组放在天平的两边,如果天平左右不平衡,那么假银元就在轻的那一组;如果天 平左右平衡,则假银元就在未称量的那一组内. S3 取出含有假银元的那一组,从中任取 2 枚银元放在天平左右两边进行称量,如果天平左右不 平衡,则轻的那一边是假银元;如果天平左右平衡,则未称的那一枚就是假银元. 17.x +y -6x+2y-3=0
2 2

18.解: (I) f ( x) ? ∴ f ( x) max ?

1 1 ? 3 ? 1 ? ? ? cos x ? sin x ? ? sin( x ? ) 2 2 2 2 2 2 2 6

---- (3 分)

4 3 , 此时: x ? 4k ? (k ? z ) 。 3 2
2011? 3 2

---- (7 分)

(II)原式 ?

---- (14 分)

19.

x2 3 y 2 ? 4 =1 (1) 4
(2)

1 3

(1)由椭圆定义知 2 a =4,所以 a =2,??2 分

x2 y2 + 2 b =1 即椭圆方程为 4

??4 分

1 1 4 x2 3 y 2 ? + 2 4 =1 ??6 分 把(1,1)代人得 4 b =1 所以 b2= 3 ,椭圆方程为 4
(2)由题意知,AC 的倾斜角不为 900, 故设 AC 方程为 y=k(x-1)十 1, ??7 分

y = k ( x _ 1) + 1
联立

x2 3 2 + y =1 4 4

消去 y, 8分

得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0.?

3k 2 _ 6k _ 1 2 ? 点 A(1,1) 在椭圆上,? xC= 3k + 1 、C

??10 分

? AC、AD 直线倾斜角互补,? AD 的方程为 y=-k(x-l)+1, 3k 2 ? 6k _ 1
同理 xD=

3k 2 ? 1

??11 分

又 yC=k(xC-1)+1, yD=-k(xD-1)+1,

? yC-yD=k(xC +xD)-2k.

yC _ y D 1 = _ ? xC xD 3 .??14 分

20. (Ⅰ) (??,? 2 ), ( 2,??) (Ⅱ) g (t )的表达式为 (t ) ? g (Ⅲ)m 的最大值为 6

20t 2 ? 20t (t ? 0)

2 【解析】 (I)当 t ? 2时, f ( x) ? x ? , x

f ?( x) ? 1 ?

2 x2 ? 2 ? ? 0 ???????1 分 x2 x2

解得x ? 2, 或x ? ? 2 .则函数 f (x) 有单调递增区间为 (??,? 2 ), ( 2,??) ???2 分
(II)设 M、N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t t t ,? 切线PM的方程为: y ? ( x1 ? ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ). 2 x1 x x1 t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ). x1 x1

又 ? 切线PM过点P (1,0),? 有0 ? ( x1 ? 即x12 ? 2tx1 ? t ? 0. (1)

???????4 分
2

同理,由切线 PN 也过点(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0. (2) 由(1)(2) 、 ,可得 x1 , x2是方程x ? 2tx ? t ? 0 的两根,
2

? x1 ? x 2 ? ?2t ?? ? x1 ? x 2 ? ?t.

(*)??????????????????????6 分 t t t 2 ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? ) ] x1 x2 x1 x2

| MN |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?

[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?

t 2 ) ] x1 x2

把(*)式代入,得 | MN |?

20t 2 ? 20t , 20t 2 ? 20t (t ? 0) ???????8 分

因此,函数 g (t )的表达式为 (t ) ? g (III)易知 g (t )在区间[2, n ?

64 ] 上为增函数, n

? g (2) ? g (ai )(i ? 1, 2,?, m ? 1). 则m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ). ? g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 )对一切正整数n成立,
? 不等式 m ? g (2) ? g (n ? 64 )对一切的正整数 n恒成立 ?????10 分 n

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?
即m ? ?n ? ?m ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

1 64 64 [(n ? ) 2 ? (n ? )]对一切的正整数 恒成立 n 6 n n 1 2 136 [16 ? 16] ? . 6 3

64 1 64 64 ? 16,? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? n 6 n n 136 . 3

由于 m 为正整数,? m ? 6 .????????????????????13 分

n . 又当 m ? 6时, 存在a1 ? a2 ? ? ? am ? 2, am?1 ? 16, 对所有的 满足条件
因此,m 的最大值为 6.


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