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第七编 不等式


第七编 §7.1

不等式

不等关系与不等式

基础自测
1.已知-1<a<0,那么-a,-a ,a 的大小关系是
3 2

( B.-a>a >-a
2 3



A. a >-a >-a
2 3

C.–a >a >-a
3 2

D.a2>-a>-a

3

答案

B ( B.-n<m<-m<n D. m<-n<n<-m ( B.ab >ab>a
2

2.若 m<0,n>0 且 m+n<0,则下列不等式中成立的是 A.-n<m<n<-m C.m<-n<-m<n 答案 D 3.已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是 A. a>ab>ab C.ab>a>ab 答案 D
2 2

)



D.ab>ab >a
2

4.(2008·厦门模拟) A.x>y C.x<y 答案 B

x >1 的一个充分不必要条件是 y
B.x>y>0 D.y<x<0



?2 ? m ? n ? 4, ?0 ? m ? 1, 5.设甲:m,n 满足 ? 乙:m,n 满足 ? 那么 0 ? mn ? 3 , ? ?2 ? n ? 3,
A. B. C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件, 答案 B



例 1 (1) 设 x<y<0,试比较(x +y )(x-y)
2 2

与(x -y )(x+y)的大小;
2 2 2 2

(2)已知 a,b,c∈{正实数},且 a +b =c ,当 n∈N,n>2 时比较 cn 与 an+bn 的大小.
2 2



(1)方法一
2 2

(x +y )(x-y)-(x -y )(x+y)
2 2 2 2

=(x-y)[x +y -(x+y) ]=-2xy(x-y), ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0, ∴-2xy(x-y)>0, ∴(x +y )(x-y)>(x -y )(x+y).
2 2 2 2

方法二
2 2

∵x<y<0,∴x-y<0,x >y ,x+y<0.
2 2 2 2

∴(x +y )(x-y)<0,(x -y )(x+y)<0, ∴0<
( x 2 ? y 2 )(x ? y ) ( x 2 ? y 2 )(x ? y )

=

x2 ? y2 x 2 ? y 2 ? 2 xy

<1, 1

∴(x +y )(x-y)>(x -y )(x+y).
2 2 2 2

(2)∵a,b,c∈{正实数},∴an,bn,cn>0, 而

an ? bn cn

?a? ?b? =? ? +? ? . ?c? ?c?
2 2

n

n

?a? ?b? 2 2 2 ∵a +b =c ,则 ? ? + ? ? =1, ?c? ?c?

∴0<

a b <1,0< <1. c c
n 2 n 2

∵n∈N,n>2,
?a? ?a? ?b? ?b? ∴? ? <? ? ,? ? <? ? , c c c ? ? ? ? ? ? ?c?



an ? bn cn

a2 ? b2 ?a? ?b? =? ? +? ? < =1, ?c? ?c? c2

2

n

n

∴an+bn<cn. 例2 已知 a、b、c 是任意的实数,且 a>b,则下列不等式恒成立的为
4 4



A.(a+c) >(b+c)

B.ac >bc
2

1

C.lg|b+c|<lg|a+c| 答案 解 D

D.(a+c) 3 >(b+c)

1 3

例 3(12 分)已知-1<a+b<3 且 2<a-b<4,求 2a+3b 的取值范围. 设 2a+3b=m(a+b)+n(a-b), 2分 4分 5分

?m ? n ? 2 ∴? , ?m ? n ? 3
∴m=
5 1 ,n=- . 2 2 5 1 (a+b)- (a-b). 2 2

∴2a+3b=

∵-1<a+b<3,2<a-b<4, ∴∴即5 5 15 1 < (a+b)< ,-2<- (a-b)<-1, 2 2 2 2 9 5 1 13 < (a+b)(a-b)< , 2 2 2 2 9 13 <2a+3b< . 2 2

8分 10 分 12 分

1.(1)比较 x +1 与 x +x 的大小,其中 x∈R;
6 4 2

(2)设 a∈R,且 a≠0,试比较 a 与 解
6 2 2

1 的大小. a

(1) (x +1)-(x +x )
6 4 2 4 2 4 2 2 4 2 2 2

=x -x -x +1=x (x -1)-(x -1) =(x -1)(x -1)=(x -1)(x -1)(x +1) =(x -1) (x +1).
2 2

当 x=±1 时,x +1=x +x ;
6 4 2

当 x≠±1 时,x +1>x +x .
6 4 2

2

(2)a-

1 a 2 ? 1 (a ? 1)(a ? 1) = = a a a 1 ; a 1 ; a

当-1<a<0 或 a>1 时,a> 当 a<-1 或 0<a<1 时,a< 当 a=±1 时,a=
1 . a

2.适当增加不等式条件使下列命题成立: (1)若 a>b,则 ac≤bc; (2)若 ac >bc ,则 a >b ;
2 2 2 2

(3)若 a>b,则 lg(a+1)>lg(b+1); (4)若 a>b,c>d,则 (5)若 a>b,则 解
a b > ; d c

1 1 < . a b

(1)原命题改为:若 a>b 且 c≤0,则 ac≤bc,即增加条件“c≤0”.
2 2 2 2

(2)由 ac >bc 可得 a>b,但只有 b≥0 时,才有 a >b ,即增加条件“b≥0”. (3)由 a>b 可得 a+1>b+1,但作为真数,应有 b+1>0,故应加条件“b>-1”. (4 )
a b > 成立的条件有多种,如 a>b>0,c>d>0,因此可增加条件“b>0,d>0”.还可增加条件为“a<0,c>0,d d c

<0”. (5)
1 1 < 成立的条件是 a>b,ab>0 或 a<0,b>0,故增加条件为“ab>0”. a b
2

3.设 f(x)=ax +bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围. 解 方法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,

?m ? n ? 4 ?m ? 3 于是得 ? ,解得 ? , n ? m ? ? 2 ? ?n ? 1
∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故 5≤f(-2)≤10. 方法二

? f (?1) ? a ? b 由? , ? f (1) ? a ? b
1 ? f (?1) ? f (1)? 2 , 1 ? f (1) ? f (?1)? 2

? a? ? ? 得? ?b ? ? ?

∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10. 方法三

?1 ? a ? b ? 2 由? 确定的平面区域如图. ?2 ? a ? b ? 4

3

?3 1? 当 f(-2)=4a-2b 过点 A ? , ? 时, ? 2 2?
取得最小值 4×
3 1 -2× =5, 2 2

当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.

一、选择题 1.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,则下列选项中不恒成立的是 A.
b c > a a

( C.



B.

b?a >0 c

b2 a2 > c c

D.

a?c <0 ac

答案

C ( B.c(b-a)<0
2

2.已知 a、b、c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中一定成立的是 A.ab>ac C.cb <ab
2



D.ac(a-c)>0 ( )

答案

A

3.设 a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是
1 1 ? a b 1 1 ? a b
2

A.

B.

C. a 2 ? 答案

1 b2
D

D.a>b

4. (2009·杭州模拟)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,

c d ? >0(其中 a,b,c,d 均为实数),用其中两个不等式作为条 a b

件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是 A.0 答案 D
f (a) f (b) f (c) , , 的大小关系为 a b c

( D.3

B.1

C.2

5.已知函数 f(x)=log2(x+1),设 a>b>c>0,则 A. C. 答案
f (a) f (c ) f (b) < < c b a f (c ) f (a) f (b) < < c a b

(

)

B. D.

f (a) f (b) f (c ) < < a b c f (b) f (c ) f (a) < < c a b

B
-

6.若 x>y>1,且 0<a<1,则①ax<ay;②logax>logay;③x a>y a;④logxa<logya. 其中不成立的个数是 A.1 答案 C 二、填空题 7.已知 a+b>0,则 B.2 C.3 D.4 ( )

a b
2

+

b a
2



1 1 + 的大小关系是 a b

.

4

答案

a b2

+

b a2



1 1 + a b

8.给出下列四个命题: ①若 a>b>0,则
1 1 > ; a b 1 1 > b- ; a b

②若 a>b>0,则 a③若 a>b>0,则

2a ? b a > ; a ? 2b b 1 ≥2. a?b

④设 a,b 是互不相等的正数,则|a-b|+ 其中正确命题的序号是 答案 ②

.(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题 9.比较 aabb 与 abba(a,b 为不相等的正数)的大小. 解
a ?b

a a bb

?a? =aa bbb a= ? ? b a ?b? a b

,
a ?b

当 a>b>0 时, 当 0<a<b 时,

a ?a? >1,a-b>0,∴ ? ? b ?b? a ?a? <1,a-b<0,∴ ? ? b ?b?

>1;
a ?b

>1.

综上所述,总有 aabb>abba. 10.已知奇函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数, ? , ? , ? ∈R 且 ? + ? >0, ? + ? >0, ? + ? >0. 试说明 f( ? )+f( ? )+f( ? )的值与 0 的关系. 解 由 ? + ? >0,得 ? >- ? . ∵f(x)在 R 上是单调减函数,∴f( ? )<f(- ? ). 又∵f(x)为奇函数,∴f( ? )<-f( ? ),∴f( ? )+f( ? )<0, 同理 f( ? )+f( ? )<0,f( ? )+f( ? )<0, ∴f( ? )+f( ? )+f( ? )<0. 11.某个电脑用户计划使用不超过 1 000 元的资金购买单价分别为 80 元、90 元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少 买 3 片,磁盘至少买 4 盒,写出满足上述所有不等关系的不等式. 解 设买软件 x 片、磁盘 y 盒,

?80 x ? 90 y ? 1 000 ? x?3 ? ? 则 x、y 满足关系: ? y ? 4 . ?x ? N+ ? ? ? y ? N+
12.已知 a>0,a -2ab+c =0,bc>a .试比较 a,b,c 的大小.
2 2 2



∵bc>a >0,∴b,c 同号.
2 2 2

又 a +c >0,a>0,∴b=
2

a2 ? c2 >0,∴c>0, 2a

由(a-c) =2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c≥0. 当 b-c>0,即 b>c 时,

5

a2 ? c2 ? a2 ? c2 ? 2 由 ·c>a 2a ? ? 2 a ? bc ? a 2 ? b?

? (a-c)(2a +ac+c )<0.
2 2

∵a>0,b>0,c>0,∴2a +ac+c >0,
2 2

∴a-c<0,即 a<c,则 a<c<b; 当 b-c=0,即 b=c 时, ∵bc>a ,∴b >a ,即 b≠a.
2 2 2

又∵a -2ab+c =(a-b) =0 ? a=b 与 a≠b 矛盾,
2 2 2

∴b-c≠0. 综上可知:a<c<b.

§7.2

一元二次不等式及其解法

基础自测
1.下列结论正确的是 A.不等式 x ≥4 的解集为{x|x≥±2}
2





B.不等式 x -9<0 的解集为{x|x<3}
2 2 C.不等式(x-1) <2 的解集为{x|1- 2 <x<1+ 2 }

D.设 x1,x2 为 ax +bx+c=0 的两个实根,且 x1<x2,则不等式 ax +bx+c<0 的解集为{x|x1<x<x2}
2 2

答案

C
x?2 ≤0 的解集是 x ?1

2.(2007·湖南理,2)不等式 A.(-∞,-1) ???1,2? C.(-∞,-1) ??2,?? ? 答案 D

( B. ??1,2? D. ??1,2?



?? x ? 1, x ? 0, 3.(2008·天津理,8)已知函数 f(x)= ? 则不等式 x+(x+1)·f(x+1)≤1 的解集是 ?x ? 1, x ? 0,
A. x | ?1 ? x ? 2 ? 1 C. x | x ? 2 ? 1 答案 C

(

)

?

?

B.

?x | x ? 1?
D. x | ? 2 ? 1 ? x ? 2 ? 1

?

?

?

?
( )

4.在 R 上定义运算 ? :x ? y=x(1-y).若不等式(x-a) ? (x+a)<1 对任意实数 x 成立,则 A.-1<a<1 C.答案 答案
1 3 <a< 2 2

B.0<a<2 D.3 1 <a< 2 2

C
2

5.(2008·江苏,4)A={x|(x-1) <3x-7},则 A∩Z 的元素的个数为 0

.

6

例1

解不等式

3 ? 2 5? 1 2 ? ? x ? ? ≥ (x -9)-3x. 2 ? 3? 2 3 2 5 1 2 9 x + ≥ x - -3x, 2 2 2 2



原不等式可化为2

即 2x -3x-7≤0. 解方程 2x -3x-7=0,得 x=
2

3 ? 65 . 4

所以原不等式的解集为

? 65 3 65 ? ? 3 ? ?x? ? ?x ? ?. 4 4 4 4 ? ? ? ?
例2 解 已知不等式 ax +bx+c>0 的解集为( ? , ? ),且 0< ? < ? ,求不等式 cx +bx+a<0 的解集.
2 2

方法一

由已知不等式的解集为( ? , ? )可得 a<0,
2

∵ ? , ? 为方程 ax +bx+c=0 的两根,

?b ? a ? ?(? ? ? ) ? 0 ? ∴由根与系数的关系可得 ? ? c ? ?? ? 0 ? ?a
∵a<0,∴由②得 c<0, 则 cx +bx+a<0 可化为 x +
2 2

① ②

b a x + >0, c c

①÷②得 由②得 ∴

?1 1? b ?(? ? ? ) = =- ? ?? ? ? ? ? <0, c ?? ? ?

a 1 1 1 = = · >0, c ?? ? ?

1 b a 1 2 、 为方程 x + x+ =0 的两根. ? c c ?

∵0< ? < ? , ∴不等式 cx +bx+a<0 的解集为
2

? 1 1? ?x x ? 或x ? ? . ? ? ? ?
方法二 由已知不等式解集为( ? , ? ),得 a<0,
2

且 ? , ? 是 ax +bx+c=0 的两根, ∴ ? + ? =2

b c , ?? = , a a c 2 b x + x+1>0 a a

∴cx +bx+a<0 ?

2 ? ( ?? )x -( ? + ? )x+1>0 ? ( ? x-1)( ? x-1)>0

1? ? ? ?x ? ? ? ? ?

? 1? ? ?x ? ? ? ? >0. ? ?
1 1 1 1 > ,∴x< 或 x> , ? ? ? ?

∵0< ? < ? ,∴

? 1 1? 2 ∴cx +bx+a<0 的解集为 ?x x ? 或x ? ? . ? ?? ?
例3 已知不等式
ax ? 1 >0 (a∈R). x ?1

7

(1)解这个关于 x 的不等式; (2)若 x=-a 时不等式成立,求 a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0. ①当 a=0 时,由-(x+1)>0,得 x<-1;

1? ? ②当 a>0 时,不等式化为 ? x ? ? (x+1)>0, a? ?
解得 x<-1 或 x>
1 ; a

1? ? ③当 a<0 时,不等式化为 ? x ? ? (x+1)<0; a? ?
若 若 若
1 1 <-1,即-1<a<0,则 <x<-1; a a 1 =-1,即 a=-1,则不等式解集为空集; a 1 1 >-1,即 a<-1,则-1<x< . a a

综上所述,

? a<-1 时,解集为 ?x ? 1 ? x ? ?
a=-1 时,原不等式无解;

1? ?; a?

? 1 ? -1<a<0 时,解集为 ? x ? x ? ?1? ; ? a ?

a=0 时,解集为{x|x<-1};

1? ? a>0 时,解集为 ? x x ? ?1或x ? ? . a? ?
(2)∵x=-a 时不等式成立, ∴

? a2 ?1 >0,即-a+1<0, ? a ?1
2

∴a>1,即 a 的取值范围为 a>1. 例 4 (12 分)已知 f(x)=x -2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围. 解 方法一 f(x)=(x-a) +2-a ,
2 2

此二次函数图象的对称轴为 x=a, ①当 a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3, 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得 a≥-3,又 a<-1,∴-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a ,
2

1分 3分 5分 7分 10 分 12 分 4分 8分

由 2-a ≥a,解得-2≤a≤1,又 a≥-1,
2

∴-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为-3≤a≤1. 方法二 由已知得 x -2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立,
2

?? ? 0 ? 2 即Δ =4a -4(2-a)≤0 或 ?a ? ?1 , ? f ( ?1) ? 0 ?
解得-3≤a≤1.

12 分

8

1.解下列不等式: (1)-x +2x2 2

2 2 >0;(2)9x -6x+1≥0. 3 2 >0 3

解 (1)-x +2x-

? x -2x+
2 2

2 <0 3

? 3x -6x+2<0
Δ =12>0,且方程 3x -6x+2=0 的两根为
2

x1=1-

3 3 ,x2=1+ , 3 3

? 3 3? ? ? ∴原不等式解集为 ? x 1 ? ? x ? 1? ?. 3 3 ? ? ? ?

(2)9x -6x+1≥0 ? (3x-1) ≥0.
2 2

∴x∈R,∴不等式解集为 R.

1? ? 2.已知关于 x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0 的解集为 ? x x ? ? ? ,求关于 x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)>0 的解集. 3? ?


1? ? ∵(a+b)x+(2a-3b)<0 的解集是 ? x x ? ? ? , 3? ?

? ? 1? ?(a ? b)? ? ? ? (2a ? 3b) ? 0, ∴? ? 3? ?a ? b ? 0. ?
于是 a=2b>0,b>0,不等式(a-3b)x+(b-2a)>0, 即为-bx-3b>0,亦即-bx>3b,∴x<-3. 故所求不等式的解集为{x|x<-3}. 3.解关于 x 的不等式 解

x?a x ? a2

<0 (a∈R).
2

x?a x ? a2

<0 ? (x-a)(x-a )<0,

①当 a=0 或 a=1 时,原不等式的解集为 ? ; ②当 a<0 或 a>1 时,a<a ,此时 a<x<a ;
2 2

③当 0<a<1 时,a>a ,此时 a <x<a.
2 2

综上,当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集为{x|a<x<a };
2

当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|a <x<a};
2

当 a=0 或 a=1 时,原不等式的解集为 ? . 4.函数 f(x)=x +ax+3.
2

(1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围; (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围. 解 (1)∵x∈R 时,有 x +ax+3-a≥0 恒成立,
2 2 2 2

须Δ =a -4(3-a)≤0,即 a +4a-12≤0,所以-6≤a≤2. (2)当 x∈[-2,2]时,设 g(x)=x +ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):

9

①如图(1),当 g(x)的图象恒在 x 轴上方时,满足条件时,有Δ =a -4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.
2

②如图(2),g(x)的图象与 x 轴有交点, 但在 x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,

?? ? 0 ? a ? 即 ? x ? ? ? ?2, 2 ? ? g ( ? 2 ) ?0 ?
? ?a 2 ? 4(3 ? a ) ? 0 ?a ? 2或a ? ?6 ? ? ? a 即 ? ? ? ?2 ? ?a ? 4 2 ? ? 7 ?a ? ?4 ? 2 a ? 3 ? a ? 0 ? 3 ?

解之得 a∈ ? . ③如图(3),g(x)的图象与 x 轴有交点, 但在 x∈(-∞,2]时,g(x)≥0,

?? ? 0 ? a ? 即 ? x ? ? ? 2, 2 ? ? g ( 2 ) ? 0 ?
?a 2 ? 4(3 ? a) ? 0 ?a ? 2或a ? ?6 ? ? a ? 即 ?? ? 2 ? ?a ? ?4 2 ?a ? ?7 ? ? ?4 ? 2 a ? 3 ? a ? 0 ?

? -7≤a≤-6
综合①②③得 a∈[-7,2].

一、选择题 1.函数 y= log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域是
2





A.[- 2 ,-1)∪(1, 2 ] C.[-2,-1)∪(1,2] 答案 2.不等式 A

B.[- 2 ,-1]∪(1, 2 ) D.(-2,-1)∪(1,2)

x ?1 x2 ? 4

>0 的解集是 B.(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)





A.(-2,1) C.(-2,1)∪(2,+∞) 答案 C 10

3.若(m+1)x -(m-1)x+3(m-1)<0 对任何实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是
2

( A.m>1 C.m<答案 ( C
13 11

) B.m<-1 D.m>1 或 m<13 11

4.若关于 x 的不等式:x -ax-6a<0 有解的且解区间长不超过 5 个单位,则 a 的取值范围是
2

) B.a≤-25 或 a≥1 D.-25≤a<-24 或 0<a≤1

A.-25≤a≤1 C.-25≤a<0 或 1≤a< 24 答案 D 5.(2009·合肥模拟)已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞) , f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的图象如右图所示, 且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x -6)>1 的解集为
2



) B.(- 2 ,
2 )

A.(2,3)∪(-3,-2) C.(2,3) 答案 A D.(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞)

2 ? ?x ? 1 ? 0 6.不等式组 ? 的解集为 2 ? ? x ? 3x ? 0

( B.{x|0<x<3} D.{x|-1<x<3}



A.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1} 答案 C
2

二、填空题 7.若不等式 2x>x +a 对于任意的 x∈[-2,3]恒成立,则实数 a 的取值范围为 答案 (-∞,-8)
2

.

8.已知{x|ax -ax+1<0}= ? ,则实数 a 的取值范围为 答案 0≤a≤4
2 2

.

三、解答题 9.解关于 x 的不等式 56x +ax-a <0. 解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0,

a? ? a? ? 即 ? x ? ? ? x ? ? <0. 7? ? 8? ?
①当②当③当a a a a < ,即 a>0 时,- <x< ; 7 8 7 8 a a = ,即 a=0 时,原不等式解集为 ? ; 7 8 a a a a > ,即 a<0 时, <x<- . 7 8 8 7

综上知:当 a>0 时,原不等式的解集为
? a a? ?x ? ? x ? ? ; 7 8? ?

当 a=0 时,原不等式的解集为 ? ;

11

? a a? 当 a<0 时,原不等式的解集为 ? x ? x ? ? ? . 7? ? 8
? 1 1? 2 2 10.已知 x +px+q<0 的解集为 ? x ? ? x ? ? ,求不等式 qx +px+1>0 的解集. 2 3? ?



? 1 2 ∵x +px+q<0 的解集为 ? x ? ? x ? 2 ?

1? ?, 3?

∴-

1 1 2 , 是方程 x +px+q=0 的两实数根, 2 3

1 ?1 1 ? ? ? ?p p? ? ? ?3 2 ? 6 由根与系数的关系得 ? ,∴ ? , 1 1 ? ? (? ) ? q ?q ? ? 1 ?3 ? 2 6 ? ?
∴不等式 qx +px+1>0 可化为2

1 2 1 x ? x ?1 ? 0 , 6 6

即 x -x-6<0,∴-2<x<3,
2

∴不等式 qx +px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}.
2

11.若不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围.
2



方法一
2

原不等式化为(x -1)m-(2x-1)<0.
2

令 f(m)=(x -1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).
2 ? ? f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0, 则? 2 ? ? f (2) ? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0.

解得

?1? 7 1? 3 <x< . 2 2
求已知不等式视为关于 m 的不等式,
2

方法二

(1)若 x -1=0,即 x=±1 时,不等式变为 2x-1>0,即 x> (2)当 x -1>0 时,使
2

1 ,∴x=1,此时原不等式恒成立. 2

2x ? 1 x ?1
2

>m 对一切|m|≤2 恒成立的充要条件是

2x ? 1 x2 ?1

>2,

∴1<x<
2

1? 3 . 2
2x ? 1 x ?1
2

(3)当 x -1<0 时,使

<m 对一切|m|≤2 恒成立的充要条件是

2x ? 1 x ?1
2

<-2.∴

?1? 7 <x<1. 2

? 3 ? 1? ? 7 ?1 ? 由(1) (2) (3)知原不等式的解集为 ? x ?x? ?. 2 2 ? ? ? ?
12.已知函数 f(x)=ax +a x+2b-a ,当 x∈(-2,6)时,其值为正,而当 x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时,其值为负.
2 2 3

(1)求实数 a,b 的值及函数 f(x)的表达式; (2)设 F(x)=解
k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问 k 取何值时,函数 F(x)的值恒为负值? 4

(1)由题意可知-2 和 6 是方程 f(x)=0 的两根,

??a ? ?2 ? 6 ? 4 ?a ? ?4 ? 2 ∴ ? 2b ? a 3 ,∴ ? ,∴f(x)=-4x +16x+48. b ? ? 8 ? ? 2 ? 6 ? ? 12 ? ? ? a
(2)F(x)=k 2 2 (-4x +16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx +4x-2. 4

12

当 k=0 时,F(x)=4x-2 不恒为负值;当 k≠0 时,若 F(x)的值恒为负值,

?k ? 0 则有 ? ,解得 k<-2. ?16 ? 8k ? 0

§7.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

基础自测
1.已知点 A(1,-1) ,B(5,-3) ,C(4,-5) ,则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 答案 .

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? ?2 x ? y ? 13 ? 0 ?4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ?
( )

? x ? y ? 0, ? 2.(2008·天津理,2)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则目标函数 z=5x+y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 1, ?
A.2 C.4 答案 D B.3 D.5

3.若点(1,3)和(-4,-2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,则 m 的取值范围是 A.m<-5 或 m>10 C.-5<m<10 B.m=-5 或 m=10 D.-5≤m≤10





? x ? y ? 1 ? 0, ? +2 4.(2008·北京理,5)若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z=3x y 的最小值是 ? x ? 0, ?
A.0 答案 B B.1 C. 3 D.9

(

)

?x ? y ? 1 ? 0 y 5.(2008·福建理,8)若实数 x、y 满足 ? ,则 的取值范围是 x x ? 0 ?
A.(0,1) 答案 C B. ?0,1? C.(1,+∞)

( D. ?1,?? ?

)

例1

?x ? y ? 5 ? 0 ? 画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域,并回答下列问题: ?x ? 3 ?

(1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解 (1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及 右下方的点的集合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及 右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上及左方 的点的集合.

13

?x ? y ? 5 ? 0 ? 所以,不等式组 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
表示的平面区域如图所示.

? 5 ? 结合图中可行域得 x∈ ?? ,3? ,y∈[-3,8]. ? 2 ?
?? x ? y ? x ? 5 (2)由图形及不等式组知 ? ?? 2 ? x ? 3, 且x ? z

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个).

例2

? x ? 1, ? (2008·湖南理,3)已知变量 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 x+y 的最大值是 ? x ? 2 y ? 9 ? 0, ?
A.2 B.5 6 C.6 D.8





答案 例3

(12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,计划每天每种产品的生产量不少于 15 吨,已知生产甲产品 1 吨,需煤 9 吨,

电力 4 千瓦时,劳力 3 个;生产乙产品 1 吨,需煤 4 吨,电力 5 千瓦时,劳力 10 个;甲产品每吨的利润为 7 万元,乙产 品每吨的利润为 12 万元;但每天用煤不超过 300 吨,电力不超过 200 千瓦时,劳力只有 300 个.问每天生产甲、乙两种产 品各多少吨,才能使利润总额达到最大? 解 设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 万元, 1分

?9 x ? 4 y ? 300 ? 4 x ? 5 y ? 200 ? ? 则线性约束条件为 ?3 x ? 10 y ? 300 , ? x ? 15 ? ? y ? 15 ?
目标函数为 z=7x+12y, 作出可行域如图,

4分

6分 8分

作出一组平行直线 7x+12y=t,当直线经过直线 4x+5y=200 和直线 3x+10y=300 的交点 A(20,24)时, 利润最大. 即生产甲、乙两种产品分别为 20 吨、24 吨时,利润总额最大,zmax=7×20+12×24=428(万元). 14 10 分



每天生产甲产品 20 吨、乙产品 24 吨,才能使利润总额达到最大.

12 分

? x ? 0, ? 1.(2008·浙江理,17)若 a≥0,b≥0,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax+by≤1,则以 a,b 为坐 ?x ? y ? 1 ?
标的点 P(a,b)所形成的平面区域的面积等于 答案 1 . .

? x ? y ? 0, ? 2.(2008·全国Ⅰ理,13)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 z=2x-y 的最大值为 ?0 ? x ? 3, ?
答案 9

3.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均四个小时做一把椅子,八个小时做 一张书桌,该公司每星期木工最多有 8 000 个工作时;漆工平均两小时漆一把椅子,一个小时漆一张书桌,该公司每星期 漆工最多有 1 300 个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是 15 元和 20 元,根据以上条件,怎样安排生产 能获得最大利润? 解 依题意设每星期生产 x 把椅子,y 张书桌,

那么利润 p=15x+20y.
?4 x ? 8 y ? 8 000 ? ?2 x ? y ? 1 300 其中 x,y 满足限制条件 ? . ? x ? 0, x ?N ? ? ? y ? 0, y ?N ?

即点(x,y)的允许区域为图中阴影部分,它们的边界分别为 4x+8y=8 000(即 AB),2x+y=1 300(即 BC),x=0(即 OA) 和 y=0(即 OC).

对 于 某 一 个 确 定 的 p= p0 满 足 就是一个能获得 p0 元利润的生产方案. 对于不同的 p,p=15x+20y 表示一组斜率为-

p0=15x+20y,且点(x,y)属于阴影部分的解 x,y
3 的平行线,且 p 越大,相应的直线位置越高;p 越小,相应的直线位置越 4

低.按题意,要求 p 的最大值,需把直线 p=15x+20y 尽量地往上平移,又考虑到 x,y 的允许范围, 当直线通过 B 点时,处在这组平行线的最高位置,此时 p 取最大值.

?4 x ? 8 y ? 8 000 由? ,得 B(200,900) , ?2 x ? y ? 1 300
当 x=200,y=900 时,p 取最大值, 即 pmax=15×200+20×900=21 000, 15

即生产 200 把椅子、900 张书桌可获得最大利润 21 000 元.

一、选择题 1.(2008·全国Ⅱ理,5)设变量 x,y 满足约束条件:

? y ? x, ? ? x ? 2 y ? 2, 则 z=x-3y 的最小值为 ? x ? ?2, ?
A.-2 答案 D B.-4 C.-6 D.-8





? x ? y ? 0, ? ?2 x ? y ? 2, 2.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ? y ? 0, ? ? x ? y ? a,





A.a≥

4 3

B.0<a≤1

C.1≤a≤

4 3

D. 0<a≤1 或 a≥

4 3

答案

D ( C.1 D.4 )

3.已知平面区域 D 由以 A(1,3) 、B(5,2) 、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x, y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m 等于 A.-2 答案 C B.-1

? x ? 2 y ? 19 ? 0 ? 4.(2008·山东理,12)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0 ,所表示的平面区域为 M,使函数 y=ax ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?
(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 A.[1,3] 答案 C B.[2, 10 ] C.[2,9] ( D.[ 10 ,9] )

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 5.(2009·武汉模拟)如果实数 x,y 满足 ?3x ? 5 y ? 25 ? 0 ,目标函数 z=kx+y 的最大值为 12, ?x ? 1 ?
最小值为 3,那么实数 k 的值为 A.2 答案 A ( C.
1 2

( B.-2 C.
1 5



D.不存在

6.(2007·江苏,10)在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0}, 则平面区域 B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 A.2 答案 B B.1 ) D.
1 4

二、填空题

16

? x ? 0, ? 7.(2008·安徽理,15)若 A 为不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化 ? y ? x ? 2, ?
到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 答案
7 4

.

8.设集合 A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠ ? . (1)b 的取值范围是
9 2

; .

(2)若(x,y)∈A∩B,且 x+2y 的最大值为 9,则 b 的值是 答案 (1) [2,+∞)(2) 三、解答题

?2 x ? y ? 2 ? 0 y ?1 ? 9.已知实数 x、y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,试求 z= 的最大值和最小值. x ?1 ?3x ? y ? 3 ? 0 ?
解 由于 z=
y ? 1 y ? (?1) = , x ? 1 x ? (?1) y ?1 的最值就是点 x ?1

所以 z 的几何意义是点(x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜率,因此 (x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜率的最值,

结合图可知:直线 MB 的斜率最大,直线 MC 的斜率最小,即 zmax=kMB=3,此时 x=0,y=2; zmin=kMC=
1 ,此时 x=1,y=0. 2

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 10.已知变量 x,y 满足的约束条件为 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 .若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点 ?y ?1 ? 0 ?
(3,0)处取得最大值,求 a 的取值范围. 解 依据约束条件,画出可行域.
1 ,目标函数 2

∵直线 x+2y-3=0 的斜率 k1=-

z=ax+y(a>0)对应直线的斜率 k2=-a,若符 合题意,则须 k1>k2,即1 1 >-a,得 a> . 2 2

11.两种大小不同的钢板可按下表截成 A,B,C 三种规格成品:

某建筑工地需 A,B,C 三种规格的成品分别为 15,18,27 块,问怎样截这两种钢板,可 得所需三种规格成品,且所用钢板张数最小. 17



设需要第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,钢板总数为 z 张,z=x+y

?2 x ? y ? 15 ? x ? 2 y ? 18 ? ? 约束条件为: ? x ? 3 y ? 27 ? x ? 0, x ? Z ? ? y ? 0, y ? Z ?
作出可行域如图所示:

? 18 39 ? 令 z=0,作出基准直线 l:y=-x,平行移动直线 l 发现在可行域内,经过直线 x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点 A ? , ? 可 ? 5 5 ?
使 z 取最小,由于
18 39 ? 18 39 ? , 都不是整数,而最优解(x,y)中,x,y 必须都是整数,可行域内点 A ? , ? 不是最优解; 5 5 ? 5 5 ?

? 18 39 ? 通过在可行域内画网格发现,经过可行域内的整点且与 A ? , ? 点距离最近的直线是 x+y=12,经过的整点是 B(3,9)和 ? 5 5 ?
C(4,8) ,它们都是最优解. 答 要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:

第一种截法是截第一种钢板 3 张,第二种钢板 9 张; 第二种截法是截第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张; 两种方法都最少要截两种钢板共 12 张. 12.在 R 上可导的函数 f(x)= 域 的面积以及 解
b?2 的取值范围. a ?1

1 3 1 2 x + ax +2bx+c,当 x∈(0,1)时取得极大值,当 x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区 3 2

2 函数 f(x)的导数为 f ?( x ) =x +ax+2b,当 x∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当 x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程

2 2 x +ax+2b=0 有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数 f ?( x ) =x +ax+2b 的图象与方程

? f ?(0) ? 0 ?b ? 0 ? ? 2 x +ax+2b=0 根的分布之间的关系可以得到 ? f ?(1) ? 0 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0 , ? f ?(2) ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ?
在 aOb 平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为 △ABD(不包括边界),如图阴影部分,其中点 A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), △ABD 的面积为 S△ABD=
1 1 |BD|×h= (h 为点 A 到 a 轴的距离). 2 2
b?2 , a ?1

点 C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为 显然

b?2 b?2 ?1 ? ∈(kCA,kCB),即 ∈ ? ,1? . a ?1 a ?1 ? 4 ?

§7.4

基本不等式:

ab

b ≤a? 2

18

基础自测
1.已知 a>0,b>0, A.7+2 6 答案 A ( B.a +b ≥2ab
2 2

1 3 + =1,则 a+2b 的最小值为 a b

( C.7+2 3 D.14

)

B.2 3

2.设 a>0,b>0,下列不等式中不成立的是 A. C. 答案
b a ? ≥2 a b

)

b2 a2 ≥a+b ? a b
D

D.

1 1 2 ? ≥2+ a b a?b

3.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 A.0 答案 D B.1 C.2

?a ? b?2 的最小值是
cd
D. 4

(

)

4.x+3y-2=0,则 3x+27y+1 的最小值为 A.7 答案 A
+

( C.1+2 2 D.5



B.3 3 9

5.(2008·江苏,11)x,y,z∈R ,x-2y+3z=0, 答案 3

y2 的最小值是 xz

.

例1

已知 x>0,y>0,z>0.

? y z? ? x z? ?x y? 求证: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥8. ? x x? ? y y? ? z z ?
证明 ∴ ∵x>0,y>0,z>0,

2 yz 2 xz y z x z + ≥ >0, + ≥ >0. y x x y y x

2 xy x y + ≥ >0, z z z
?y z? ∴? ? ? ? x x?

? x z ? ?x y? ? ? y ? y? ? ?z ? z? ? ? ? ?

8 yz ? xz ? xy =8. xyz
1 9 + =1,求 x+y 的最小值; x y

(当且仅当 x=y=z 时等号成立) 例2 (1)已知 x>0,y>0,且

(2)已知 x<

5 1 ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4x ? 5 4

19

(3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值. 解(1)∵x>0,y>0,
?1 9? ∴x+y=(x+y) ? ?x ? y? ? ? ?

1 9 + =1, x y

=

y 9x + +10≥6+10=16. x y y 9x = 时,上式等号成立, x y

当且仅当 又

1 9 + =1,∴x=4,y=12 时,(x+y)min=16. x y

(2)∵x< ∴y=4x-2+

5 ,∴5-4x>0, 4

1 1 ? ? =- ? 5 ? 4 x ? ? +3≤-2+3=1, 4x ? 5 ? 5 ? 4x ? 1 ,即 x=1 时,上式等号成立, 5 ? 4x

当且仅当 5-4x=

故当 x=1 时,ymax=1. (3)由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy,∴
?8 2? 8 y 2x ∴x+y=(x+y) ? ?x ? y? ? =10+ x + y ? ?
? 4y x ? 4y x =10+2 ? ? x ? y? ? ≥10+2×2× x ? y =18, ? ?

2 8 + =1, y x

当且仅当

4y x = ,即 x=2y 时取等号, x y

又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6, ∴当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18. 例3 (12 分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形

且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一定 (平面图如图所示) ,如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米 ,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 解 (1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为
162 米. x
2

1分

2 ? 162 ? ? 则总造价 f(x)=400× ? 2 x ? ? +248×2x+80×162 x ? ?
=1 296x+
1 296 ? 100 +12 960 x

100 ? ? =1 296 ? x ? ? +12 960 x ? ?

3分

20

≥1 296×2 x ? 当且仅当 x=

100 +12 960=38 880(元) , x

100 (x>0), x

即 x=10 时取等号. ∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38 880 元.
?0 ? x ? 16 1 ? (2)由限制条件知 ? ,∴10 ≤x≤16. 162 0 ? ? 16 8 ? x ?

5分 6分 8分

设 g(x)=x+

100 ? 1 ? ?10 ? x ? 16 ? . x ? 8 ?

? 1 ? g(x)在 ?10 ,16? 上是增函数, ? 8 ?
∴当 x=10
1 162 时(此时 =16), x 8

g(x)有最小值, 即 f(x)有最小值. 10 分

? 1 800 ? 1 296× ?10 ? ? +12 960=38 882(元). ? 8 81 ?
∴当长为 16 米,宽为 10
1 米时, 8

总造价最低,为 38 882 元.

12 分

1.已知,a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1. 求证: 证明
1 1 1 + + ≥9. a b c 1 1 1 a?b?c a?b?c a?b?c + + = + + a b c a b c

?b a? ?c a? ?c b? =3+ ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? ?a b? ?a c ? ?b c?
≥3+2+2+2=9. 当且仅当 a=b=c= 2.若-4<x<1,求 解 =1 2 1 时取等号. 3

x 2 ? 2x ? 2 的最大值. 2x ? 2

?x ? 1?2 ? 1 = 1 ??x ? 1? ? 1 ? x 2 ? 2x ? 2 1 = · 2 2 ? 2x ? 2 x ?1 x ? 1? ? ?
? 1 ? ?? ?x ? 1? ? ? ? ? x ? 1? ? ?
1 >0. ? ?x ? 1?

∵-4<x<1,∴-(x-1)>0,

? 1 ? 从而 ?? ?x ? 1? ? ? ≥2 ? ?x ? 1? ? ?

21

-

1 2

? 1 ? ?? ?x ? 1? ? ? ≤-1 ? ? x ? 1? ? ?
1 , ? ?x ? 1?

当且仅当-(x-1)=

即 x=2(舍)或 x=0 时取等号.
? x 2 ? 2x ? 2 ? ? 即? =-1. ? 2x ? 2 ? ? ? max

3.甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过 c 千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为 单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 解 (1)建模:依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
s s a ? ? 2 ,全程运输成本为 y=(a+bv ) =sb ? v ? ? ,v∈ v v bv ? ?

(0,c]. (2)依题意,有 s,b,a,v 都是正数.

a ? ? 因此 y=sb ? v ? ? ≥2s ab ; bv ? ?
①若 ②若

a a a ≤c,则当且仅当 v= 时,y 取到最小值. ? v= bv b b

a ≥c,则 y 在(0,c]上单调递减, b

所以当 v=c 时,y 取到最小值. 综上所述,为了使全程运输成本最小,当 当

a a ≤c 时,行驶速度应该为 v= ; b b

a ≥c 时,行驶速度应该为 v=c. b

一、选择题 1.若不等式 x +ax+4≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的取值范围为
2

( D. ??4,4? (



A. ?0, ?? ? 答案 C

B. ??4,?? ?

C. ??5,?? ?

2.在下列函数中,当 x 取正数时,最小值为 2 的是 A.y=x+
4 x



B.y= lg x ?

1 lg x
2

C.y= x 2 ? 1 ? 答案 D

1 x ?1
2

D.y=x -2x+3

3.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为 A. 答案
1 3

( D.
2 3

)

B. B

1 2

C.

3 4

4.(2008·聊城模拟)若直线 2ax+by-2=0 (a,b∈R )平分圆 x +y -2x-4y-6=0,则
+ 2 2

2 1 + 的最小值是 a b

22

( A.1 答案 D

) B.5 C.4 2 D.3+2 2

5.(2008·汕头模拟)函数 y=log2x+logx(2x)的值域是 A. ??? ,?1? 答案 D
2

( D. ??? ,?1? ? ?3,?? ?



B. ?3,?? ?

C. ??1,3?

6.有一个面积为 1 m , 形状为直角三角形的框架, 有下列四种长度的钢管供应用, 其中最合理 (够用且最省) 的是 ( A.4.7 m 答案 C . 二、填空题 7.(2008·徐州调研)若实数 a,b 满足 ab-4a-b+1=0 (a>1),则(a+1)(b+2)的最小值为 答案 27 B.4.8 m C.4.9 m D.5 m



8.若 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则 到函数 f(x)= 答案 25
2 9 + x 1 ? 2x

?a ? b ?2 ,当且仅当 a = b 时上式取等号.利用以上结论,可以得 a2 b2 + ≥ y x? y x y x
,取最小值时 x 的值为 .

? ? 1 ?? ? ? x ? ? 0, 2 ? ? ? 的最小值为 ? ?? ?

1 5

三、解答题 9.(1)已知 0<x<

4 ,求 x(4-3x)的最大值; 3

(2)点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,求 2x+4y 的最小值. 解 (1)已知 0<x<

4 ,∴0<3x<4. 3
2

∴x(4-3x)=

1 1 ? 3x ? 4 ? 3x ? 4 (3x)(4-3x)≤ ? ? = 2 3 3 ? 3 ?

当且仅当 3x=4-3x,即 x= ∴当 x=

2 时“=”成立. 3

2 4 时,x(4-3x)的最大值为 . 3 3

(2)已知点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,所以 x+2y=3. ∴2x+4y≥2 2 x 4 y =2 2 x?2 y =2 23 =4 2 .
? 3 3 ?2 x ? 4 y 当且仅当 ? ,即 x= ,y= 时“=”成立. 2 4 ? ?x ? 2 y ? 3

∴当 x=

3 3 ,y= 时,2x+4y 的最小值为 4 2 . 2 4

10.已知 a、b∈(0,+∞) ,且 a+b=1,求证: (1)a +b ≥
2 2

1 ; 2
≥8;
2 2

(2)

1 a
2

+

1 b2

1? 1? 25 ? ? (3) ? a ? ? + ? b ? ? ≥ ; a? b? 2 ? ?

23

25 1? ? 1? ? (4) ? a ? ? ? b ? ? ≥ . 4 a? ? b? ?

证明

?a ? b ? ab , ? 由? 2 a、b∈(0,+∞) , ?a ? b ? 1, ?

得 ab ≤

1 1 1 ≥4. ? ab≤ ? ab 2 4 1 时取等号) 2
2

(当且仅当 a=b=
2 2

(1)∵a +b =(a+b) -2ab=1-2ab≥1-2× ∴a +b ≥
2 2

1 1 = , 4 2

1 . 2

(2)∵

1 a
2

+

1 b
2



2 1 1 ≥8,∴ + ≥8. 2 ab a b2
2 2 2

(3)由(1)、(2)的结论,知
1? 1? 1? 1? 1 25 25 1 1 ? ? ? ? 2 2 ,∴ ? a ? ? + ? b ? ? ≥ . ? a ? ? + ? b ? ? =a +b +4+ 2 + 2 ≥ +4+8= a? b? a? b? 2 2 2 ? ? ? ? a b
2

1 1? ? 1? b a ? (4) ? a ? ? ? b ? ? = + +ab+ ab a? ? b? a b ?

=

2 ? 1? 1 b a ? 25 ? ? ab ? + +? +2≥2+ ? 2 ? ? +2= . ? ? 2 a b ? ab 4 ? ? ?

2

11.设 a>0,b>0,a+b=1. (1)证明:ab+
1 1 ≥4 ; ab 4

(3)探索猜想,并将结果填在以下括号内: ab+
2 2

1 a b
2 2

≥(

) ;a b +
3 3

1 a b
3 3

≥(

) ;

(3)由(1) (2)归纳出更一般的结论,并加以证明. (1)证明 方法一 ab+
1 1 2 2 ≥4 ? 4a b -17ab+4≥0 ab 4

? (4ab-1)(ab-4)≥0.
1 ?a?b? 2 ∵ab=( ab ) ≤ ? ? = , 4 ? 2 ?
∴4ab≤1,而又知 ab≤
1 <4, 4
1 1 ≥4 . ab 4
2

因此(4ab-1)(ab-4)≥0 成立,故 ab+ 方法二 ab+
1 1 15 =ab+ + , ab 4 2 ? ab 4 2 ? ab
2

1 1 15 15 ?a?b? ∵ab≤ ? ≥4,∴ ≥ . ? = ,∴ 2 ab 4 4 ? 2 ? 4 ? ab
当且仅当 a=b=
1 时取等号. 2

24

又 ab+

1 4 ? ab
2

≥2 ab ?

1 4 2 ? ab

=

1 , 2

当且仅当 ab= 故 ab+

1 4 ? ab
2

,即

1 1 =4,a=b= 时取等号. ab 2

1 2 15 1 ≥ + =4 ab 4 4 4

(当且仅当 a=b= (2)解
2

1 时,等号成立). 2 1 时, 2

猜想:当 a=b=
2

不等式 a b + (3)解 anbn+

1 a 2b 2

≥(

)与 a b +
3 3

1 a 3b 3

≥(

)取等号,故在括号内分别填 16

1 1 与 64 . 64 16

由此得到更一般性的结论:

1 a b
n n

≥4n+

1 4n

.

证明如下:

1 1 ?a?b? ∵ab≤ ? ≥4. ? = ,∴ ab 4 ? 2 ?
∴anbn+

2

1 a nb n
4

=anbn+
1

1 4 2n ? a n b n
+

+

4 2n ? 1 4 2n ? a n b n

≥2 a n b n ? =

4 2n ? 1 4 2n

2n

?a b

n n

×4n

2 4
n

+

4 2n ? 1 4
n

=4n+

1 4n



当且仅当 ab=

1 1 ,即 a=b= 时取等号. 4 2
*

12.某工厂统计资料显示,产品次品率 p 与日产量 x(单位:件,x∈N ,1≤x≤96)的关系如下:

又知每生产一件正品盈利 a(a 为正常数)元,每生产一件次品就损失 (注:次品率 p=

a 元. 3

次品个数 ×100%,正品率=1-p) 产品总数

(1)将该厂日盈利额 T(元)表示为日产量 x 的函数; (2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件? 解 (1)依题意可知:p=
3 * (1≤x≤96,x∈N ), 100 ? x

日产量 x 件中次品有 xp 件,正品有 x-px 件, 日盈利额 T=a(x-px)a 4x ? ? px=a ? x ? ?. 3 ? 100 ? x ?

4 x ? ? 4?x ?100? ? 400 ? ? (2)∵T=a ? x ? ? =a ? x ? ? 100 ? x ? 100 ? x ? ? ? 400 ? 400 ? ? ? =a ? x ? 4 ? ? =a ?104 ? ?100 ? x ? ? 100 ? x 100 ? x ? ? ? ? ?
25

≤a(104-2 400 )=64a, 所以当 100-x=20,即 x=80 时,T 最大. 因此日产量为 80 件时,日盈利额 T 取最大值.

单元检测七
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M={x|x <4},N={x|x -2x-3<0},则集合 M∩N 等于
2 2



) B.{x|x>3} D.{x|2<x<3}
1 1 1 ,且 m=a+ ,n=b+ ,则 m+n 的最小值是 a 2 b

A.{x|x<-2} C.{x|-1<x<2} 答案 C

2.已知 a>0,b>0,a,b 的等差中项是 A.3 答案 C B.4

( D.6



C.5

3.已知 x> A.-3 答案 D

5 1 ,则函数 y=4x+ 的最小值为 4x ? 5 4

( C.5 D.7



B.2

? 1 ? 1 ? ? 4.若 x,y 是正数,则 ? ? x ? 2y ? ? + ? y ? 2 x ? 的最小值是 ? ? ? ?

2

2





A.3 答案 C

B.

7 2

C.4

D.

9 2

? ?y ? 0 ? ? ? ? 5.在坐标平面上有两个区域 M 和 N,其中区域 M= ?( x, y) | ? y ? x ?, 区域 N={(x,y)|t≤x≤t+1,0≤t≤1},区域 M 和 ? ? y ? 2 ? x? ? ? ?
N 公共部分的面积用函数 f(t)表示,则 f(t)的表达式为 A.-t +t+
2

( B.-2t +2t
2

1 2

C.1答案

1 2 t 2

D.

1 (t ? 2 ) 2 2

A (
a?b ≤G 2

6.(2008·青岛调研)今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的重量,他将物体放在左右托盘各称 一次,取两次称量结果分别为 a、b.设物体的真实重量为 G,则 A. C.
a?b ?G 2 a?b >G 2

B.

D. ab <G

答案

C

?2 x ? 7.设函数 f(x)= ? 2 x ? ?x?3

?x ? 2 ? ?x ? 2 ?

,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是

(

)

26

A.(0,2) ? (3,+∞) C.(0,1) ? (2,+∞) 答案 A

B.(3,+∞) D.(0,2)

?x ? y ? 5 ? 0 ? 8.若不等式组 ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ?0 ? x ? 2 ?
A.a<5 答案 C B.a≥7 C.5≤a<7

( D.a<5 或 a≥7 (

)

9.(2008·江西理,9)若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是 A.a1b1+a2b2 C.a1b2+a2b1 答案 A B.a1a2+b1b2 D.
1 2

10.一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 v km/h 的速度匀速直达 400 km 外的灾区,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小 于(
v 2 ) km,则这批物资全部运送到灾区最少需 20

( C.15 h D.20 h

A.5 h 答案 B

B.10 h

?x 11.函数 f(x)= ? ??1
A.[-2,2] 答案 B

( x ? 1) ,则不等式 xf(x)-x≤2 的解集为 ( x ? 1)
B.[-1,2
2

( C.[1,2 D.[-2,-1]∪[1,2

12.(2008·江西文,12)已知函数 f(x)=2x +(4-m)x+4-m,g(x)=mx,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为正 数,则实数 m 的取值范围是 A.[-4,4] 答案 C
2

( B.(-4,4) C.(-∞,4) D.(-∞,-4)

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.若方程 x -2ax+4=0 在区间(1,2]上有且仅有一个根,则实数 a 的取值范围是 答案 .

? 5? ?2, 2 ? ? ?
2 2 +1

14.(2008·江西三校联考)若不等式 x -2ax+a>0 对 x∈R 恒成立,则关于 t 的不等式 a t <a t 答案 (-2,2) .

2

? 2t ? 3

的解集为

.

?2 x ? y ? 5 ? 0 ? 2 2 15.已知 ?3x ? y ? 5 ? 0 ,则(x+1) +(y+1) 的最小值和最大值分别是 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?
答案 13,41
2

16.(2008·中山调研)对于 0≤m≤4 的 m,不等式 x +mx>4x+m-3 恒成立,则 x 的取值范围是 答案 x<-1 或 x>3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)

.

? 2 ? 2 17.(2008·石家庄模拟) (12 分)已知 a=(1,x),b=(x +x,-x),m 为常数且 m≤-2,求使不等式 a·b+2>m ? ? 1? 成立 ? a ?b ?
的 x 的范围. 解 ∵a=(1,x) ,b=(x +x,-x) ,
2 2 2

∴a·b=x +x-x =x.

27

? 2 ? 由 a·b+2>m ? ? 1? ? a ?b ?
x?2 ?2 ? >0 ? x+2>m ? ? 1? ? (x+2)-m x ?x ?

? x(x+2)(x-m)>0(m≤-2).
①当 m=-2 时,原不等式 ? x(x+2) >0 ? x>0;
2

②当 m<-2 时,原不等式 ? m<x<-2 或 x>0. 综上,得 m=-2 时,x 的取值范围是(0,+∞) ; m<-2 时,x 的取值范围是(m,-2)∪(0,+∞). 18.(2008·东营二模)(12 分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数 f(x),g(x)以及任意的 x≥0,当甲 公司投入 x 万元做宣传时,若乙公司投入的宣传费小于 f(x)万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没 有失败的风险;当乙公司投入 x 万元做宣传时,若甲公司投入的宣传费小于 g(x)万元,则甲公司这一新产品的开发有失 败的风险,否则没有失败的风险. (1)试解释 f(0)=10,g(0)=20 的实际意义; (2)设 f(x)=
1 x+10,g(x)= x +20,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽 4

可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司各应投入多少宣传费? 解 (1)f(0)=10 表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失败的风险,至少要投入 10 万元宣传费; g(0)=20 表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要避免新产品的开发有失败的风险,至少要投入 20 万元宣传费. (2)设甲公司投入宣传费 x 万元,乙公司投入宣传费 y 万元,依题意,当且仅当

1 ? ? y ? f ?x ? ? 4 x ? 10, ① 时, ? ? x ? g ? y ? ? y ? 20 ② ?
双方均无失败的风险. 由①②得 y≥
1 ( y +20)+10,即 4y- y -60≥0, 4

即( y -4)(4 y +15)≥0. ∵ y ≥0,∴4 y +15>0. ∴ y ≥4.∴y≥16.∴x≥ y +20≥4+20=24. ∴xmin=24,ymin=16, 即在双方均无失败风险的情况下,甲公司至少要投入 24 万元,乙公司至少要投入 16 万元. 19.(12 分)函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0. (1)求 f(0); (2)求 f(x); (3)不等式 f(x)>ax-5 当 0<x<2 时恒成立,求 a 的取值范围. 解 (1)令 x=1,y=0, 得 f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2, ∴f(0)=f(1)-2=-2. (2)令 y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x +x,
2

28

∴f(x)=x +x-2.
2

(3)f(x)>ax-5 化为 x +x-2>ax-5,ax<x +x+3,∵x∈(0,2),
2 2

∴a<

3 x2 ? x ? 3 =1+x+ . x x 3 3 3? ? ≥1+2 3 ,当且仅当 x= ,即 x= 3 时取等号,由 3 ∈(0,2),得 ?1 ? x ? ? =1+2 3 . x x x ? min ?

当 x∈(0,2)时,1+x+ ∴a<1+2 3 .

20.(12 分)设 f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且在(-∞,0)上为增函数. (1)若 m·n<0,m+n≤0,求证:f(m)+f(n)≤0; (2)若 f(1)=0,解关于 x 的不等式 f(x -2x-2)>0.
2

(1)证明

∵m·n<0,m+n≤0,∴m、n 一正一负.

不妨设 m>0,n<0,则 n≤-m<0.取 n=-m<0, ∵函数 f(x)在(-∞,0)上为增函数,则 f(n)=f(-m);取 n<-m<0,同理 f(n)<f(-m), ∴f(n)≤f(-m). 又函数 f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数, ∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0. (2)解
2

∵f(1)=0,f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,∴f(-1)=0,∴原不等式可化为

?x ? 2x ? 2 ? 0 ?x 2 ? 2x ? 2 ? 0 或? . ? 2 2 ? f ( x ? 2 x ? 2) ? f ?1? ? f ( x ? 2 x ? 2) ? f ?? 1?

易证:f(x)在(0,+∞)上为增函数.
?x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ?x 2 ? 2x ? 2 ? 0 ∴? 2 或? 2 . ?x ? 2x ? 2 ? 1 ? x ? 2 x ? 2 ? ?1 ?x 2 ? 2x ? 2 ? 0 2 ∴x -2x-3>0 或 ? 2 . ?x ? 2x ?1 ? 0

? ?1 ? 3 ? x ? 1 ? 3 解得 x>3 或 x<-1 或 ? . ? ? x ? 1 ? 2或x ? 1 ? 2

∴不等式的解集为 (-∞,-1)∪(1- 3 ,1- 2 )∪(1+ 2 ,1+ 3 )∪(3,+∞). 21.(12 分)某厂家拟在 2008 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3k (k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是 1 万件.已知 2008 年生产该 m ?1

产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成 本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将 2008 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2008 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大. 解 (1)由题意可知当 m=0 时,x=1(万件),
2 . m ?1 8 ? 16 x (元), x

∴1=3-k ? k=2.∴x=3-

每件产品的销售价格为 1.5×

8 ? 16x ? ? ∴2008 年的利润 y=x· ?1.5 ? ? -(8+16x+m) x ? ?
29

2 ? ? =4+8x-m=4+8 ? 3 ? ? -m m ?1 ? ? ? 16 ? =- ? ? ?m ? 1?? +29(m≥0). ? m ?1 ?
(2)∵m≥0 时,
16 +(m+1)≥2 16 =8, m ?1 16 =m+1 ? m=3(万元)时,ymax=21(万元). m ?1 1 ,x∈(0,+∞)图象 C 上的一点,记曲线 C 在点 M 处的切线为 l. x

∴y≤-8+29=21,当且仅当

22.(14 分)已知点 M(x1,f(x1))是函数 f(x)= (1)求切线 l 的方程;

(2)设 l 与 x 轴,y 轴的交点分别为 A、B,求△AOB 周长的最小值. 解 (1) f ?( x ) =1 1 ,∴k= f ?( x1 ) =- 2 . 2 x x1

∴切线方程为 y(2)在 y=-

1 2 1 1 =- 2 (x-x1),即 y=- 2 x+ . x1 x1 x1 x1

2 1 x+ 中,令 y=0 得 x=2x1, x12 x1
? 2? 2 ? ,∴B ? ? 0, x ? . x1 1 ? ?
2

∴A(2x1,0).令 x=0,得 y=

∴△AOB 的周长 m=2x1+

?2? 2 ? + (2 x1 ) 2 ? ? ?x ? . x1 ? 1?

? 1 1 ? ∴m=2 ? x1 ? ? x12 ? 2 ? ,x1∈(0,+∞). ? x1 x1 ? ? ?

令 t=x1+

1 ,∵x1∈(0,+∞),∴t≥2. x1

∴当 t=2,即 x1=1 时,m 最小=2(2+ 2 ).故△AOB 周长的最小值是 4+2 2 .

30


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