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河北2012—2013学年度第一学期调研考试高三数学试卷(理科)


河北 2012—2013 学年度第一学期调研考试 高三年级数学试卷(理科)
说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上, 卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。3.Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考 号,不要误填学号,答题卡占后5位。

卷Ⅰ(选择题

共 60 分)

一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选 项正确) 1. 若集合 M ? { y | y ? 2 x }, N ? { y | y ? x ? 1}, 则M ? N =( ) A. {x | x > 1} B. { y | y ? 1} C. {x | x > 0} D. { y | y ? 0} 2.复数 z =

i ,则 z 在复平面上对应的点位于( 1+i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限 )

A.第一象限

3.执行如图所示的程序框图,若输入 x=3,则输出 y 的值为( A.5 B.9 C.17 D.33

开始 输入 x y=2x-1 1 |x-y|>8 是 输出 y 结束 否

4.袋中有 6 个小球,分别标有数字 1,2,3,4,5,6, 甲乙两人玩游戏,先由甲从袋中任意摸出一个小球, 记下号码 a 后放回袋中,再由乙摸出一个小球, 记下号码 b ,若 | a ? b |? 1 就称甲乙两人“有默契” , 则甲乙两人“有默契”的概率为( A. ) D.

x=y

1 9

B.

2 9

C.

7 18

4 9

5.如图,一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长 2 的正三角形和正方形,则 其体积是( A. ) B.

3 6

4 2 3

C.

4 3 3

D.

8 3
)

6.已知 f ( x) ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? (0, A. p 是假命题; ?p : ?x ? (0,

?
2

), f ( x) ? 0 ,则(

?
2

), f ( x) ? 0

(第 5 题)

第- 1 -/11 页

B. p 是假命题; ?p : ?x0 ? (0, C. p 是真命题; ?p : ?x ? (0, D. p 是真命题; ?p : ?x0 ? (0,

?

?

2

), f ( x0 ) ? 0 ), f ( x) ? 0

2

?
2

), f ( x0 ) ? 0
?? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ?


7.在 ?ABC 中, ?BAC ? 60O , AB ? 2, AC ? 3,则AB?BC ? BC ? ? CA?AB ? ( CA A.10 B.-10 C.-4 D.4
2

8.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 y 轴上, C 与抛物线 x = 16 y 的准线交于 A, B 两点,

| AB |= 4 2 ,则 C 的虚轴为(
A. 2 B. 4 2 C.4

) D.8

9.已知公比不为 1 的等比数列 {an } 的首项为 1, 3a1 , 2a2 , a3 成等差数列, 若 则数列 { 5 项和为( 121 A. 81 ) 31 B. 16 C. 121 D. 31

1 } 的前 an

10. 点 A、B、C、D 均在同一球面上,其中 ?ABC 是正三角形, AD ? 平面ABC ,

AD ? 2 AB ? 6 ,则该球的体积为(
A. 32 3? B. 48?
g ( x)

) D. 16 3?

C. 64 3?

11. 求形如 y = f ( x)

的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:

ln y = g ( x) ln f ( x) ,再两边同时求导得

1 ' 1 y ? g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) f ' ( x) ,于是得到: y f ( x)
1

y ' = f ( x)[ g ' ( x) ln f ( x) + g ( x)
间是( ) A.(e,4)

1 f ' ( x)] ,运用此方法求得函数 y = x x 的一个单调递增区 f ( x)
C.(0,e) D.(2,3)

B.(3,6)
2 2

12. F (- c, 0) 是双曲线

x y - 2 = 1(a > 0, b > 0) 的左焦点, P 是抛物线 y 2 = 4cx 上一点,直线 2 a b

FP 与圆 x 2 + y 2 = a 2 相切于点 E ,且 | PE |?| FE | ,若双曲线的焦距为 2 5 + 2 ,则双曲线的
实轴长为( )

A.4

B.2

C.

20 ? 4 5 5

D.

10 ? 2 5 5

第- 2 -/11 页

卷Ⅱ(非选择题
二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,计 20 分) 13. (

共 90 分)

x y 6 ) 的展开式中 x3 的系数等于 y x

14.将 6 位志愿者分成 4 组,其中有 2 个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴 2012 年伦敦奥运会 的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 种.(用数字作答)

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 15.设实数 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z = abx + y (a > 0, b > 0) 的最大值 ? x ? 0, y ? 0 ?
为 8,则 a + b 的最小值为 16. 已 知 an ?

?

n

0

1 (2 x ? 1)dx , 数 列 { } 的 前 n 项 和 为 S n , 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 为 an

bn ? n ? 33, n ? N * ,则 bn S n 的最小值为
三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知 a ? (cos x, 2 3 cos x), b ? (2 cos x,sin x) ,且 f ( x) ? a ? b (1)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. (2)在△ABC 中,a,b,c,分别是 A,B,C 的对边,若 a ? 2c) cos B ? ?b cos A 成立 , ( 求 f ( A) 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P - ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? CD, AB ? BC , P

?

?

? ?

1 PA = AB = BC = CD = a . 2 (1)求证:面 PAD ⊥面 PAC ; (2)求二面角 D - PB - C 的余弦值.
D 19. (本小题满分 12 分) 某校高二年级共有学生 1000 名, 其中走读生 750 名,住宿生 250 名,现从该年级采用 分层抽样的方法从该年级抽取 n 名学生进行问卷调

A
C

B

频率/组距
1/100

第- 3 -/11 页

1/200

查.根据问卷取得了这 n 名同学每天晚上有效学习时 间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组 ①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120), ⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240), 得到频率分布直方图如下.已知抽取的学生中每天晚上 有效学习时间少于 60 分钟的人数为 5 人; (1)求 n 的值并补全下列频率分布直方图; (2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的 n 名 学生,完成下列 2×2 列联表: 利用时间充分 走读生 住宿生 总计 50 10 60 利用时间不充分 25 15 40 总计 75 25 100

是否有 95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关? 参考公式: K = 参考列表:
2

n(ad - bc) 2 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

P ( K 2 ? k0 )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

k0

(3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出 3 人调查影响有效利用时间的原因,记 抽到“有效学习时间少于 60 分钟”的学生人数为 X,求 X 的分布列及期望;

20. (本小题满分12分)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,其 a 2 b2
5 . (1) 3

中 F2 也是抛物线 C2 : y 2 = 4 x 的焦点, M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点, | MF2 |= 点 且 求 C1 的方程;

(2)平面上的点 N 满足 MN = MF1 + MF2 ,直线 l ? MN ,且与 C1 交于 A, B 两点,若

???? ?

???? ????? ?

??? ??? ? ? OA?OB ? 0 ,求直线 l 的方程.

第- 4 -/11 页

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? p ln x ? ( p ? 1) x 2 ? 1 . (1)讨论函数 f (x) 的单调性;
(2)当 p ? 1 时, f ( x) ? kx 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)证明: ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? (n ? N * ) . 2 3 n

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用

2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一个圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线 上。 F A D

EC 1 ED 1 DC (1)若 的值; = , = ,求 EB 3 EA 2 AB
(2)若 EF ? FA?FB ,证明: EF ? CD .
2

B C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

E

? x ? a cos ? (a ? b ? 0, ?为参数) ,以 O 为极 ? y ? b sin ?

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲 线 C1 上的点 M (2, 3) 对应的参数 ? = (1)求曲线 C1 , C2 的方程; (2) A( ?1 , ? ) , B ( ? 2 , ? ?

?
3

?射线 ? =

?
4

与曲线 C2 交于点 D ( 2, ) .

?

4

?
2

) 是曲线 C1 上的两点,求

1

?

2 1

?

1

?22

的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4- 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 1| (1)若 f ( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解不等式 f ( x) ? x ? 2 x .
2

第- 5 -/11 页

河北省五校联盟 2012—2013 学年度第一学期调研考试

高三年级数学答案(理科)
1-5CDDDC 13.15 6-10DBBAA 14.1080 11-12CA 15.4 16. -

70 3

17.解: (1)? a ? (cos x, 2 3 cos x) , b ? (2 cos x,sin x)

?

?

? f ( x) ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x
……………………………………3 分 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ?T ? ? ………………………………………………………..4 分 单调递增区间为: ?

?

?
2 ?

? 2k ? ? 2 x ?
? k? ? x ?

?
6

?

?
2

? 2k ?

(k ? Z)

解得: ?

?
6

3

? k? ( k ? Z )

? k? ](k ? Z ) ……..6 分 3 6 (2)由正弦定理得: (sin A ? 2sin C ) cos B ? ? sin B cos A
故单调递增区间为: x ? [?

?

? k? ,

?

sin( A ? B) ? ?2sin C cos B

? cos B ? ?

1 2
? ? B= 23

? B 为三角形的内角

………………………. 8 分

? f ( A) ? 2sin(2A ? ? ) ?+1 1 6
又 ? 0? A?

?
3

?

?
6

? 2A ?

?
6

?

5? …………………10 分 6

?

1 ? ? sin(2A ? ) ? 1 2 6
1 2

故 f ( A) ? ?2,3]…….. 12 分 0,1? ?

18. (1)证明:设 PA=AB=BC= CD=a,连接 AC,在 RT△ABC 中,AC= 2a,在直角梯形 ABCD 中易

求得 AD= 2a,所以在△DAC 中有:AD +AC =CD ,∴AC⊥AD 又∵PA⊥底面 ABCD ∴PA⊥AC ∴AC⊥平面 PAD ?????6 分

2

2

2

∵AC?平面 PAC ∴面 PAD⊥面 PAC

(2)以 B 为原点,BA,BC 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立如图所示坐标系,则: A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),D(2a,a,0),P(a,0,a) 设平面 PBC 的法向量为→=(x′,y′,z′),平面 PBD 的法向量为→=(x,y,z), →=(a,0,a), → n1 n2 BP BC
第- 6 -/11 页

→ =(0,a,0),BD=(2a,a,0) 由→⊥BP,→⊥BC,→⊥BP,→⊥BD得:ax′+az′=0,y′=0,ax+az=0,2ax+ay=0 n1 → n1 → n2 → n2 → ∴z′=-x′,y′=0,y=-2x,z=-x ∴→=(1,0,-1),→=(1,-2,-1) n1 n2 P

z

1×1+0×(-2)+(-1)×(-1) 3 ∴cos<→,→>= n1 n2 = 3 2× 6 设二面角 D-PB-C 的平面角θ ,由图形易知θ 为锐角 3 D ∴cosθ =|cos<→,→>|= ???????????12 分 n1 n2 3 x A

B

C y (以 B 为原点,AD,AC 所在直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系参照给分)
19. 解: (1)设第 i 组的频率为 Pi(i=1,2,?,8),

1 1 1 4 则由图可知:P1= ×30= ,P2= ×30= 3000 100 750 100 5 5 ∴学习时间少于 60 钟的频率为:P1+P2= 由题 n× =5 ∴n=100?(2 分) 100 100 又 P3= 1 10 1 30 1 15 1 10 1 5 ×30= , P5= ×30= , P6= ×30= , P7= ×30= , P8= ×30= , 300 100 100 100 200 100 300 100 600 100

1+4+10+30+15+10+5 75 25 ∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1=1- =100 100 100 25 1 25 1 第④组的高度 h=100× = = 30 3000 120 频率分布直方图如图: (未标明高度 1/120 扣 1频率/组距 分 分)??4
1/100

(2) 100×(50×15-25×10) K= ≈5.556 75×25×40×60
2
2

1/120

由于 K2>3.841,所以有 95%的把握认为 学生利用时间是否充分与走读、住宿 有关???8 分 (3)由(1)知:第①组 1 人,

1/200 1/300 1/600 1/750 1/3000
0 30 60

时间(分钟)
90 120 150 180 210 240

第②组 4 人,第⑦组 15 人,第⑧组 10 人,总计 20 人。则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3 C5C 15 P(X=i)= 3 C20
i 3-i

(i=0,1,2,3)
0 3

C5C15 ∴P(X=0)= 3 C20 C5C15 5 =38, P(X=3)= 3 C20
3 0

C5C15 455 91 = 1140= 228 , P(X=1)= 3 C20 10 2 1 =1140=228 =114

1

2

C5C15 525 105 35 =1140=228 =76, P(X=2)= 3 C20

2

1

150 30 =1140=228

第- 7 -/11 页

∴X 的分布列为: P X 0 91 228 1 35 76 2 5 38 3 1 114

1×105+2×30+3×2 171 3 91 105 30 2 EX=0×228 +1×228 +2×228 +3×228 = =228 =4 228 5 3 (或由 X 服从 20,5,3 的超几何分布,∴EX=3× =4)???????12 分 20

20.解: (I)由 C2 : y 2 = 4 x 知 F2 (1, 0)
设 M ( x1 , y1 ) ,?| MF2 |?

2 2 6 5 5 ), ? x1 ? 1 ? ,解得 M ( , 3 3 3 3

8 ? 4 c ? 1 ,于是 ? 9a 2 ? 3b 2 ? 1 , M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 ? ?b 2 ? a 2 ? 1 ?
消去 b 2 并整理得 9a 4 ? 37 a 2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a =

1 不合题意,舍去) 。 3
-------- 6分

故椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 + =1. 4 3

(II)由 MN = MF1 + MF2 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O ,

???? ?

???? ????? ?

2 6 因为 l ? MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,故 l 的斜率 k = 3 = 6 。 2 3
设 l : y = 6( x - m) 。由 ?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? ? y ? 6( x ? m) ?

? 9 x 2 ? 16mx ? 8m 2 ? 4 ? 0

16m 8m 2 - 4 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,所以 x1 + x2 = , x1 x2 = 9 9

OB ? 0 ,所以 x1 x2 + y1 y2 = 0 , 因为 OA?
7? 8m 2 ? 4 16m ? 6m ? ? 6m 2 ? 0 9 9

??? ??? ? ?

解得 m ? ? 2

第- 8 -/11 页

? ? (16m) 2 ? 4 ? 9(8m 2 ? 4) ? 0 ,
故所求直线 l 的方程为 y = 6 x - 2 3 或 y = 6 x + 2 3 . ------------- 14 分

21.解: (1) f ( x) 的定义域为(0,+∞) ,

f ' ?x ? ?

p 2? p ? 1?x 2 ? p ? 2? p ? 1?x ? x x

2分

当 p ? 1 时, f '( x) >0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调递增; 当 p ? 0 时, f '( x) <0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调递减;……4 分 当 0< p <1 时,令 f '( x) =0,解得 x ?

?

p . 2? p ? 1?

则当 x ? ? 0, ?

? ? ?

? ? p ? p ? 时, f '( x) >0; x ? ? ? , ? ? ? 时, f '( x) <0. ? ? 2? p ? 1? ? 2? p ? 1? ? ? ? ? ? p ? p ? 单调递增,在 ? ? , ? ? ? 单调递减……5 分 ? ? 2? p ? 1? ? 2? p ? 1? ? ? ?
1 ? ln x x

故 f ( x) 在 ? 0, ?

? ? ?

(2)因为 x ? 0 ,所以 当 p = 1 时, f ( x) ? kx 恒成立 ? 1 ? ln x ? kx ? k ?

1 ? ln x ,则 k ? h(x) max , x ? ln x 因为 h' ( x) ? ,由 h' ( x) ? 0 得 x ? 1 , x2
令 h( x ) ?

……………6 分

且当 x ? (0,1) 时, h' ( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时, h' ( x) ? 0 . 所以 h(x) 在 (0,1) 上递增,在 (1,??) 上递减.所以 h( x) max ? h(1) ? 1 , 故k ?1 ……………………9 分

(3)由(2)知当 k ? 1 时,有 f ( x) ? x ,当 x ? 1 时, f ( x) ? x 即 ln x ? x ? 1 ,

n ?1 n ?1 1 1 ,则 ln ? ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? n n n n 2 1 3 1 n ?1 1 所以 ln ? , ln ? ,…, ln ? , 1 1 2 2 n n 2 3 n ?1 1 1 相加得 ln ? ln ? ?ln ?1? ?? 1 2 n 2 n
令x?

…10 分

第- 9 -/11 页

而 ln

2 3 n ?1 n ?1? ?2 3 ? ln ? ?ln ? ln? ? ? ? ? ? ? ln(n ? 1) 1 2 n n ? ?1 2
1 1 1 ? ? ? ? , (n ? N * ) .……………12 分 2 3 n
A

所以 ln(n ? 1) ? 1 ?

F 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (1)解:∵A,B,C,D 四点共圆 ∴∠EDC=∠EBF 又∵∠DEC=∠AEC ∴△ECD∽△EAB EC ED CD ∴ = = EA EB BA (2)∵EF2=FA·FB EC 1 ED 1 又∵EB=3,EA=2 EF FB ∴ = FA EF CD 6 ∴ = ???5 分 BA 6 又∵∠EFA=∠BFE E

D

B C

∴△FAE∽△FEB ∴∠FEA=∠EBF 又∵A,B,C,D 四点共圆 ∴∠EDC=∠EBF ∴∠FEA=∠EDC ∴EF∥CD?????????????????10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。

解:(1)将 M(2,

?2=acosπ 3 ?x=acos? ? 3)及对应的参数?? ? 代入? 得:? ? y=bsin? π ? 3=bsin ? 3
2 2

?a=4 得:? ?b=2

?x=4cos? x y ∴曲线 C1 的方程为: ? (?为参数)或 + =1 16 4 ?y=2sin?

? 2 2 2 设圆 C2 的半径 R,则圆 C2 的方程为:ρ =2Rcosθ (或(x-R) +y =R ),将点 D( 2, ? )代 ? 入得: 2=2R· 2 2 ∴R=1
2 2

∴圆 C2 的方程为:ρ =2cosθ (或(x-1) +y =1) ???????5 分 ρ cos θ ρ sin θ (2)曲线 C1 的极坐标方程为: + =1 16 4 ? ρ 1 cos θ ρ 1 sin θ ρ 2 sin θ ρ 2 cos θ 将 A(????????????? ? ?代入得: + =1, + =1 ? 16 4 16 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 cos θ sin θ sin θ cos θ 5 + )+( + )= ?????10 分 ? + ? =( ? ?? ? ?? 16 4 16 4 16 24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 ( x ? ?1) ? 3 ? 解: (1) f ( x ) ? ? ? 2 x ? 1 ( ?1 ? x ? 2) ,------------------3 分 ? ?3 ( x ? 2) ? 又当 ? 1 ? x ? 2 时, ? 3 ? ?2 x ? 1 ? 3 , ∴ ? 3 ? f ( x ) ? 3 --------------------------------------------5 分 ∴若使 f(x)≤a 恒成立,应有 a≥fmax(x),即 a≥3 ∴a 的取值范围是:[3,+∞) (2)当 x ? ?1 时, x 2 ? 2 x ? 3 ? ?1 ? x ? 2 ? x ? 1 ; 当 ? 1 ? x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ; ∴ 当 x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?3 ? x ? ? ;-------------------------8 分
第- 10 -/11 页

2

2

2

2

综合上述,不等式的解集为: ?? 1,1? .-------------------------10 分

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