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充分条件与必要条件课件


常用正面叙述词及它的否定.

正面词 语

等于 (?)

小于

大于



都是

(?)
(?)

(?)
不是 不都是

否定词 语

不等于 不小于

不大于

(?)

(?)

用反证法证明:圆的两条 不是直径 的相交弦不能互相平分.
已知:如图,在⊙O中,弦 AB、CD交于P,且AB、CD 不是直径. 求证:弦AB、CD不被P平分.

A
C

O
P

D B

分析:假设弦AB、CD被P平分,连 接OP后,可以推出AB、CD都与OP 垂直,则出现矛盾.

假设弦AB、CD被P平分,由于P 点一定不是圆心O,连接OP,根据垂径定理 的推论,有 OP⊥AB,OP⊥CD,
即过点P有两条直线与OP都 垂直,这与垂线性质矛盾. 所以,弦AB、CD不被P平分.

证明:

A
C

O
P

D B

常用正面叙述词及它的否定.
至多有 至少有 正面词 语 至多有 n个 (? n ) 至少有 某个 某些 任意的 所有的

一个

一个

(? 1)

(? 1)

否定词 语

至少有 一个也

n+1个 没有 两个 (? n ? 1) (? 2) (? 0)

复 习

1、命题:可以判断真假的陈述句, 可写成:若p则q. 2、四种命题及相互关系:
原命题 若p则q 互 否 互 逆 互 否 为 逆 逆 为 否 互 互 逆 逆命题 若q则p 互 否

否命题 ? ? 若p 则 q

逆否命题 ? ? 若q 则 p

3、若命题“若p则q”为真,记作p q(或q p). ? ?
4、如果命题“若p则q”为假,则记作p q. ?

判断下列命题是真命题还是假命题:

;真 ? (2)若 ;假 ? (3)全等三角形的面积相等; 真 假 ? (4)对角线互相垂直的四边形是菱形;
? (1)若

x ? 1,则 x ? 1 2 x 2 ? y,则 x ? y
2

预习问题:
什么是充分条件? 什么是必要条件?

x ?1? x ?1
2

x ? 1是x ? 1的充分条件 2 x ? 1是x ? 1的必要条件
2

两三角形全等 ? 两三角形面积相等 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件. 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件.

例1 .指出下列各组命题中,p是q的什么条件,q是p的什么
(1) p : a ? Q; q : a ? R. (3) p : xy ? 0; q : x ? 0. (4) p : 两个角相等; q : 两个角是对顶角. (5) p : x是4的倍数; q : x是6的倍数. (6) p : 四边形的对角线平分且相等; q : 四边形是平行四边形. (7) p : 三角形的三条边相等; q : 三角形的三个角相等.

条件.

(2) p : x ? 2 ? 0; q : ( x ? 3)( x ? 2) ? 0.

2. 充分必要条件 如果p是q的充分条件, p又是q的必 要条件,则称 p是q的充分必要条件,

简称充要条件,记作 p ? q .

补充:)若p ? q , 但是q ?? p, 则称p为q的充分不必要条件。 (1 如 : p:x ? 1, q : x 2 ? 4 x ? 3 ? 0;

( 2)若p ?? q , 但是q ? p, 则称p为q的必要不充分条件。 如 : p:ab ? 0, q : a ? 0;

例2、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种 填空. 1)" x ? 0, y ? 0" 是 " xy ? 0"的 (充分不必要条件) 2) a ? N " 是 " a ? Z "的 " (充分不必要条件)

3) x ? 1 ? 0" 是 " x ? 1 ? 0"的 "
2

(必要不充分条件)

4)同旁内角互补 " 是 " 两直线平行 "的 (充要条件) " 5)" x ? 5" 是 " x ? 3"的
(必要不充分条件) (充要条件) 6)" a ? b " 是 " a ? c ? b ? c "的

7)已知?ABC不是直角三角形, "A<B" 是 "tan A ? tan B "的
(既不充分也不必要条件)

例3、已知?、?是不同的两个平面,直线a ? ? , 直线a ? ? , 命题p : a与b无公共点; 命题q : ? // ? , 则p是q的 ( C.充要条件

B)
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

例4、设命题甲: 0 ? x ? 5, 命题乙 : x ? 2 ? 3, 那么甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 . A) B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件

例5、设?、? 、?为平面,m、n、l为直线,则m ? ? 的 一个充分条件是( C.? ? ? , ? ? ? , m ? ?

D

) . B.? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? D.n ? ? , n ? ? , m ? ?

A.? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l

例6、已知?、? 为锐角,若p : sin ? ? sin(? ? ? ), q :? ? ? ?

?

2 A.充分不必要条件 C.充要条件

, 则p是q的 (

B) .
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

例7、若p是r的充分不必要条件,r是q的必要 条件,r又是s的充要条件,q是s的必要条件. 则: 必要不充分条件 1)s是p的什么条件? 2)r是q的什么条件? 充要条件

? 练:1.请用“充分不必要”、“必要不充分”、

“充要”、“既不充分也不必要”填空: 必要不充分 (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的______条件. 充要 (2)“同位角相等”是“两直线平行”的___ 条件. 充分不必要 (3)“x=3”是“x2=9”的______条件. (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行 既不充分也不必要 四边形”的__________条件.

2、判断p是q的什么条件? p : x ? 3; q : x 2 ? 9 充分不必要条件 ⑴

p : x 2 ? 9; q : x ? 3 必要不充分条件 ⑵ ⑶ p : xy ? 0; q : x ? 0且y ? 0 必要不充分条件
⑷ p : x ? A; q : x ? A ? B
必要不充分条件

⑸ 设集合 A ? ?x x ? 2? B ? ?x x ? 3?

p : x ? A或x ? B; q : x ? A ? B
⑹ p : x ? 0; q : x ? 2

必要不充分条件

必要不充分条件

p : m ? ?2; q : 方程x 2 ? x ? m ? 0无实根 充分不必要条件 ⑺

2.充要条件的证明
1 1 例1、已知x、y是非零实数,且x ? y, 求证: ? x y 的充要条件是xy ? 0.

注意:分清p与q. p : xy ? 0
证明:充分性( p ? q)

1 1 q: ? x y

?x ? 0 ?x ? 0 若xy ? 0, 则? 或? ?y ? 0 ?y ? 0

1 1 ? x ? y ?当x ? 0, y ? 0时,有: ? . x y
1 1 当x ? 0, y ? 0时,有: ? . x y

必要性(q ? p ) 1 1 y?x 若 ? , 则有: ? 0, 即xy( y ? x) ? 0. x y xy ? x ? y ? y ? x ? 0 ? xy ? 0.

例2、已知ab ? 0, 求证:a ? b ? 1的充要条件是 a ? b ? ab ? a ? b ? 0.
3 3 2 2

例3、求3x ? 10 x ? k ? 0有两个同号且不相等
2

实根的充要条件.

25 0?k ? . 3

引申

①从命题角度看

㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题,若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件,q是p必要不充分条件. (三)若p则q,若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 (四)若p则q,若q则p都是假命题,那么p是q的 既不充分也不必要条件,q是p既不充分也不必 要条件.

引申

②从集合角度看

命题“若p则q”
已知A= x | x满足条件p},B= x | x满足条件q} { {

1) A ? B, 则p是q充分条件,q是p必要条件.
2) A ? B, 则p是q充分不必要条件,q是p必要不充分条件 .

3) A ? B, 则p是q的充要条件.
4) A ? B且B ? A,则p是q既不充分也不必要条件 .

练习: 1. 若p : x ? y , q : x ? y或x ? ? y, 则q是p的什么条件.
2 2

2. 若x, y ? R, p : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 0,
2 2

q : ( x ? 3)( y ? 4) ? 0, 则p是q的什么条件. 3.不等式 2 x+5 ? 7成立的一个必要不充分条件是() A. x ? 1 B. x ? -6 C.x ? 1或x ? -6 D.x ? 0或x ? 0

课堂小结
(1)充分条件、必要条件、充分必要条件的概念. (2)判断充分、必要条件的基本步骤: ①认清条件和结论; ②考察 p? q 和 p ? q 是否能成立。 (3)判别技巧: ① 可先简化命题; ② 否定一个命题只要举出一个反例即可; ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。


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