当前位置:首页 >> 教育学 >>

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明灵活运用反证法素材新人教A版选修1-2课件


灵活运用反证法
反证法是属于“间接证明法”一类, 是从反面的角度思考问题的证明方法, 它是从否定 命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之 得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾,其原因是假 设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明.适合用反证法证明的命题:① 否定性命题;②惟一性命题;③至多、至少型命题;④明显成立的命题;⑤直接证明有困难 的命题.反证法应用极为广泛,在平面几何、立体几何、解析几何等方面都有应用,本文选 择几个有代表性的应用,举例加以介绍. 一、证明几何量之间的关系 例 1 已知:四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AD、BC 的中点, EF ? 求证: AB // CD . 证明:假设 AB 不平行于 CD。如图,连结 AC,取 AC 的中点 G,连结 EG、FG. ∵E,F,G 分别是 AD、BC、AC 的中点, ∴ GE // CD , GE ? ∵AB 不平行于 CD, ∴GE 和 GF 不共线,GE、GF、EF 组成一个三角形. ∴ GE ? GF ? EF 但 GE ? GF ? ①与②矛盾. ∴ AB // CD . 例 2 直线 PO 与平面 ? 相交于 O ,过点 O 在平面 ? 内引直线 OA 、 OB 、 OC , , ① . ②

1 ( AB ? CD ) . 2

1 1 CD ; GF // AB , GF ? AB . 2 2

D E A G

C F B

1 ( AB ? CD ) ? EF 2

?POA ? ?POB ? ?POC .
求证: PO ? ? . 证明:假设 PO 不垂直平面 ? . 作 PH ? ? 并与平面 ? 相交于 H,此时 H,O 不重合, 连结 OH. 由 P 作 PE ? OA 于 E, PF ? OB 于 F,

P

E O a C F H B

1

A

根据三垂线定理可知, HE ? OA , HF ? OB . ∵ ?POA ? ?POB ,PO 是公共边, ∴ Rt ?POE ? Rt ?POF , ∴ OE ? OF . 又 OH ? OH , ∴ Rt ?OFH ? Rt ?OEH , ∴ ?FOH ? ?EOH . 因此,OH 是 ?AOB 的平分线. 同理可证,OH 是 ?AOC 的平分线. 但是,OB 和 OC 是两条不重合的直线,OH 不可能同时是 ?AOB 和 ?AOC 的平分线,产 生矛盾. ∴ PO ? ? . 上面所举的例子,用直接证法证明都比较困难,尤其是证两条直线是异面直线,常采用 反证法. 二、证明“唯一性”问题 在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时,称为“唯一性”问题. 例 3 过平面 ? 上的点 A 的直线 a ? ? ,求证: a 是唯一的. 证明:假设 a 不是唯一的,则过 A 至少还有一条直线 b , b ? ? . ∵ a , b 是相交直线, ∴ a , b 可以确定一个平面 ? . 设 ? 和 ? 相交于过点 A 的直线 c . ∵ a ? ? ,b ? ? , ∴ a ? c ,b ? c . 这样在平面 ? 内,过点 A 就有两条直线垂直于 c ,这与定理产生矛盾. 所以, a 是唯一的. 关于唯一性的问题,在几何中有,在代数、三角等学科中也有.这类题目用直接证法证 明相当困难,因此一般情况下都采用间接证法.即用反证法或同一法证明,用反证法证明有 时比同一法更方便. 三、证明不可能问题
2

几何中有一类问题, 要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存 在.它们的结论命题都是以否定形式出现的,若用直接证法证明有一定的困难.而它的否定 命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在, 因此, 这类问题非常适宜用反 证法. 例 4 求证:抛物线没有渐近线. 证明:设抛物线的方程是 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ). 假设抛物有渐近线,渐近线的方程是 y ? ax ? b ,易知 a , b 都不为 0.因为渐近线与 抛物线相切于无穷远点,于是方程组

? y 2 ? 2 px ? ? y ? ax ? b
的两组解的倒数都是 0. 将(2)代入(1),得

(1) ( 2)

a 2 x 2 ? 2(ab ? p) x ? b 2 ? 0



(3)

设 x1 , x2 是(3)的两个根,由韦达定理,可知

x1 ? x 2 ? ?

2(ab ? p) b2 x ? x ? , . 1 2 a2 a2
(4)



1 1 x1 ? x2 ? 2(ab ? p) ? ? ? ? 0, x1 x2 x1 x2 b2
(5)

1 1 1 a2 ? ? ? 2 ?0, x1 x2 x1 x2 b
由(4)、(5),可推得 p ? 0 , 这于假设 p ? 0 矛盾. 所以,抛物线没有渐近线.

关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型. 由于它的结论是以否定形式 出现,采用直接证法有困难,所以这类问题一般都使用反证法加以证明.

3


相关文章:
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明反证法...
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明反证法可用来解决哪些问题素材新人教A版选修2-2剖析_高考_高中教育_教育专区。反证法可用来解决哪些问题一、证明...
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明反证法...
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明反证法方法总结素材新人教A版选修1-2教案_高考_高中教育_教育专区。反证法方法总结 1.反证法属逻辑方法范畴,它的...
...高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2...
湖北省松滋市高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法导学案新人教A版选修2-2讲解_高考_高中教育_教育专区。2.2.2 反证法 是逻辑非常...
第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法教...
第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法教案新人教A版选修1_2_初中教育_教育专区。2.2.2反证法 项目 课题 教学 目标 教学 重、 难点 教学 ...
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课...
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 (第 2 课时) 预习导航 新人教 A 版选修 1-2 课程目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2....
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课...
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 (第 2 课时) 课堂探究 新人教 A 版选修 2-2 探究一 用反证法证明否定性命题 当要证结论中含有“不...
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课...
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 (第 2 课时) 课堂探究 新人教 A 版选修 1-2 探究一 用反证法证明否定式命题 对于“否定”型命题,从...
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课...
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 (第 2 课时) 课堂探究 新人教 A 版选修 1-2 探究一 用反证法证明否定式命题 对于“否定”型命题,从...
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课...
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 (第 2 课时) 课堂探究 新人教 A 版选修 2-2 探究一 用反证法证明否定性命题 当要证结论中含有“不...
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第1课...
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第1课时)预习导航新人教A版选修2-2资料_数学_高中教育_教育专区。高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明...
更多相关标签: