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江苏省盐城中学2013届高三下学期开学考试数学试题


盐城中学 2013 届高三年级随堂练习(2013.2)答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定 位置上. 1.设集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | 2 x ? 2 ? 0} ,则 M ? N 等于 2.在复平面内,复数

(1,

3)

.

2?i 对应的点位于第 1? i



象限.

3.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计, 得到样本频率分布直方图如下图所示, 现规定不低于 70 分为合格,则合格人数是 600 .

(第 3 题图) 11

(第 6 题图) 11

2 4.已知正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面边长为 1 cm ,侧面积为 3 cm ,则该棱锥的体积为

3 4

cm3 .
.

5.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于 1 或-3 6.执行上面的框图,若输入的 N 是 6,则输出 p 的值是 720 7 . .

7.向量 a, b 的夹角为 120°, | a |? 1, | b |? 3, 则 | 5a ? b | =

8.如果 f ?(x ) 是二次函数, 且 f ?(x ) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3 ), 那么曲线 y ? f (x) 任一点处的切线的倾斜角 ? 的取值范围是

[ , ) 3 2

? ?

.

9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则

S S1 S 2 , ,?, 13 中最大的项 a1 a2 a13



S8 a8

.

2 2 10.一同学为研究函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x ) (0 ? x ? 1) 的性质,构造了如图所示的两个

边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC, 点 P 是边 BC 上的一动点,设 CP ? x, 则 AP ? PF ? f (x). 请你参考这些信息,推知函数 g ( x) ? 4 f ( x) ? 9 的零点的个数是 2 .

D
(第 10 题图) (第 11 题图) 11

11.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、 a 2 b2

A

右两支分别交于 A,B 两点.若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为

7

.

12.函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若满足:① f ( x ) 在 D 内是单调函数,②存在 ? a, b? ? D ,使 f ( x ) 在

? a, b? 上的值域为 ??b, ?a? ,那么 y ?
么 k 的取值范围是

f ( x) 叫做对称函数,现有 f ( x) ? 2 ? x ? k 是对称函数, 那


? 9? k ? ? 2, ? ? 4?

AC BC AB 2 ? ? 13.已知 ?ABC 中, AB 边上的高与 AB 边的长相等,则 的最大值为 BC AC BC ? AC
. 2 2▲ 14. AB 为单位圆上的弦, P 为单位圆上的动点,设 f (? ) ? BP ? ? BA 的最小值为 M ,若 M 的 最大值 M max 满足 M max ?

3 ,则 AB 的取值范围为 2

(0, 3 ]

.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答 案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) A1 如图所示,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是棱 DD1 的中点. 1 ( I )证明:平面 ADC1B1 ? 平面 A BE ; 1
D1 B1 C1 E

A

D

B

C

( II)在棱 C1 D1 上是否存在一点 F ,使 B1 F //平面 A1 BE ? 证明你的结论. 解: (Ⅰ)证明: 因为多面体 ABCD? A1 B1C1 D1 为正方体, 所以 B1C1 ? 面ABB1 A ; 1 因为 A B ? 面ABB1 A ,所以 B1C1 ? A B . 1 1 1 又因为 A1B ? AB1 , B1C1 ? AB1 ? B1 ,所以 A B ? 面ADC1B1 1 因为 A B ? 面A BE ,所以平面 ADC1B1 ? 平面 A BE . 1 1 1 (Ⅱ)当点 F 为 C1 D1 中点时,可使 B1 F //平面 A1 BE . 以下证明之: 易知: EF //

1 1 C1 D ,且 EF = C1 D , 2 2 1 1 C1 D 且 B1O = C1 D , 2 2

设 AB1 ? A B ? O ,则 B1O // 1

所以 EF // B1O 且 EF =B1O , 所以四边形 B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F // OE . 又因为 B1F ? 面A BE , OE ? 面A1BE . 1 所以 B1 F //面 A1 BE 16.(本小题满分 14 分)

? 3 ? a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 已知向量 4
( I )当 a // b 时,求 cos ( II)设函数

? ?

x ? sin 2 x 的值; ? ? ? f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若
2

a ? 3, b ? 2, sin B ?

6 3

,求 f ?x ? ? 4 cos? 2 A ?

? ?

??

? ( x ? ?0, ? )的取值范围. 6? ? 3?

? ??

解: (1)? a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ?

? ?

3 4

3 4

cos 2 x ? sin 2 x ?

cos 2 x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5 ? ? ? ? 3 (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) + 4 2

由正弦定理得

a b 2 ? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? 3? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4

? ?? ? ? ? 11? ? 1 ? ? ?? , f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? ,? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , 4 6? 4 ? 4 12 ? 2 ? 3? ? ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

17.(本小题满分 14 分) 某公司为了应对金融危机, 决定适当进行裁员. 已知这家公司现有职工 2 m 人( 60 ? m ? 500 , 且 m 为 10 的整数倍),每人每年可创利 100 千元.据测算,在经营条件不变的前提下,若裁员人 数不超过现有人数的 20 % ,则每裁员 1 人,留岗员工每人每年就能多创利 1 千元;若裁员人数超 过现有人数的 20 % ,则每裁员 1 人,留岗员工每人每年就能多创利 2 千元.为保证公司的正常运 转,留岗的员工数不得少于现有员工人数的 75 % .为保障被裁员工的生活,公司要付给被裁员工 每人每年 20 千元的生活费. ( I )设公司裁员人数为 x,写出公司获得的经济效益 y(元)关于 x 的函数(经济效益=在职人员创 利总额—被裁员工生活费) ; ( II)为了获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人? (1)解:设公司裁员人数为 x,获得的经济效益为 y 元, 则由题意得当 0 ? x ?

1 ? 2m时。y ? ? 2m ? x ??100 ? x ? ? 20 x 5

2 1 当 m ? x ? ? 2m时,y ? ? 2m ? x ??100 ? 2 x ? ? 20 x 5 4

2 ? 2 ? ? ?? ? x ? 2 ? m ? 60 ? x ? ? 200m, 0 ? x ? 5 m且x ? N ? ?y ?? , 2 1 2 ??2 ? x ? 2 ? m ? 30 ? x ? ? 200m, m ? x ? m, x ? N ? ? ? 5 2 ?

① ②

(2)由① 得对称轴 x ? m ? 60 ? 0, 当 0 ? m ? 60 ? 100 ,即 60 ? m ? 100 时, x ? m ? 60 时,y 取最大值 y1 ? m2 ? 80m ? 3600 ,

2 16 2 m 时,y 取最大值 y2 ? m ? 152m 5 25 1 由② 得对称轴 x ? m ? 30 ,? 60<m<500,? m ? 30 ? m 2 m 3 ?当x ? 时,y取得最大值y3 ? m 2 ? 140m 2 2
当 100 ? m ? 500 时, x ?

?当60<m ? 100时, y3 ? y1 ? 0.5m2 ? 60m ? 3600 ? 0.5 ? m ? 60 ? ? 5400 ? 0.5 ?120 2 ? 5400 ? 1800 ? 0
2

当100 ? m ? 500时, y3 ? y2 ? 43 2 ? 43 ? m ? 12m ? m ? m ? 12 ? ? 0,即当60 ? m ? 500时,y3最大 50 ? 50 ?
1 1 m ,即原有人数的 时,获得的经济效益最大。 2 4

即当公司应裁员数为

18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,左右焦点为 F1 , F2 ,点 P 是椭圆上一点, a2 b2

PA ?

3 1 PF1 ? PF2 ,且 ?PF F2 的三边构成公差为 1 的等差数列. 1 2 2

( I )求椭圆的离心率; ( II)若 OP ? 2 7 ,求椭圆方程; (III)若 c ? 1 ,点 P 在第一象限,且 ?PF F2 的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点,求 1 点 P 的坐标﹒

19.(本小题满分 16 分)

设 f k (n) 为关于 n 的 k (k ? N ) 次多项式.数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1,前 n 项和为 S n .对于

任意的正整数 n , an ? S n ? f k (n) 都成立. ( I )若 k ? 0 ,求证:数列 ?an ? 是等比数列; ( II)试确定所有的自然数 k ,使得数列 ?an ? 能成等差数列. (1)若 k ? 0 ,则 f k (n) 即 f 0 (n) 为常数,不妨设 f0 (n) ? c (c 为常数) . 因为 an ? Sn ? f k (n) 恒成立,所以 a1 ? S1 ? c ,即 c ? 2a1 ? 2 . 而且当 n≥2 时, an ? Sn ? 2 , ①
an ?1 ? Sn ?1 ? 2 , ②

① 得 2an ? an?1 ? 0(n ? N, ≥2) . -② n 若 an=0,则 an ?1 =0 ,…,a1=0,与已知矛盾,所以 an ? 0(n ?N* ) . 故数列{an}是首项为 1,公比为 1 的等比数列. 2 【解】 (2)(i) 若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若 k=1,设 f1 (n) ? bn ? c (b,c 为常数) , 当 n≥2 时, an ? Sn ? bn ? c ,
an?1 ? Sn?1 ? b(n ? 1) ? c ,

③ ④

③ 得 2an ? an?1 ? b(n ? N, ≥2) . -④ n 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 an ? b ? d (常数) , 而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an =1 n?N* , 故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an

?

? =1 ? n?N ? ,此时 f (n) ? n ? 1 .
*
1

(iii) 若 k=2,设 f 2 (n) ? an2 ? bn ? c ( a ? 0 ,a,b,c 是常数) , 当 n≥2 时, an ? Sn ? an2 ? bn ? c , ⑤

an?1 ? Sn?1 ? a(n ? 1)2 ? b(n ? 1) ? c , ⑥
⑤ 得 2an ? an?1 ? 2an ? b ? a(n ? N, ≥2) , -⑥ n 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有
an ? 2an ? b ? a ? d ,且 d=2a,

考虑到 a1=1,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2a ? 2an ? 2a ? 1 n?N* . 故当 k=2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an ? 2an ? 2a ? 1 n?N* , 此时 f 2 (n) ? an2 ? (a ? 1)n ? 1 ? 2a (a 为非零常数) . (iv) 当 k≥3 时, 若数列{an}能成等差数列, an ? Sn 的表达式中 n 的最高次数为 2, 则 故数列{an} 不能成等差数列. 综上得,当且仅当 k=1 或 2 时,数列{an}能成等差数列. 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f1 ( x) ? e|x?2a?1| , f 2 ( x) ? e|x?a|?1 , x ? R . ( I )若 a ? 2 , 求 f (x) ? f1 ( x) + f 2 ( x) 在 x ?[2,3]上的最小值; ( II)若 x ?[a, ??) 时, f 2 ( x) ? f1 ( x) , 求 a 的取值范围; (III)求函数 g ( x ) ? 解 :(1) 因

?

?

?

?

f1 ( x) ? f 2 ( x) | f1 ( x) ? f 2 ( x) | ? 在 x ?[1,6]上的最小值. 2 2 a?2 为 , 且 [2 , 3], x?
3 x 3 x





e e e e ? ? 2 x ? ? 2e , x e e e e 当且仅当 x=2 时取等号,所以 f ( x ) 在 x ?[2,3]上的最小值为 3e | x ? 2 a ?1| ? e|x?a|?1 , 即 | x ? 2a ? 1|?| x ? a | ?1 恒 成 立 所 以 (2) 由 题 意 知 , 当 x ?[a, ??) 时 , e | x ? 2a ? 1 |? x ? a ?,即 2ax ? 3a2 ? 2a 对 x ?[a, ??) 恒成立, 1 2a ? 0 ? 则由 ? 2 ,得所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 2 ?2a ? 3a ? 2a (3) 记 h1 ( x) ?| x ? (2a ?1) |, h2 ( x) ?| x ? a | ?1 , 则 h1 ( x), h2 ( x) 的 图 象 分 别 是 以 (2a-1,0) 和 (a,1)为顶点开口向上的 V 型线,且射线的斜率均为 ?1 . 7 ①当 1 ? 2a ? 1 ? 6 ,即 1 ? a ? 时,易知 g ( x) 在 x ?[1,6]上的最小值为 f1 (2a ?1) ? e0 ? 1 2 f ( x) ? e|x?3| ? e|x?2|?1 ? e3? x ? e x ?1 ?
②当 a<1 时,可知 2a-1<a,所以 (ⅰ)当 h1 (1) ? h2 (1) ,得 | a ? 1|? 1,即 0 ? a ? 1 时, g ( x) 在 x ?[1, 6]上的最小值为 f1 (1) ? e2?2a (ⅱ)当 h1 (1) ? h2 (1) ,得 | a ? 1|? 1 ,即 a ? 0 时, g ( x) 在 x ?[1,6]上的最小值为 f2 (1) ? e2?a

7 时,因为 2a-1>a,可知 2a ? 1 ? 6 , 2 7 (ⅰ)当 h1 (6) ? 1,得 | 2a ? 7 |? 1 ,即 ? a ? 4 时, g ( x) 在 x ?[1,6]上的最小值为 f1 (6) ? e2a ?7 2 (ⅱ)当 h1 (6) ? 1 且 a ? 6 时,即 4 ? a ? 6 , g ( x) 在 x ?[1,6]上的最小值为 f 2 (a) ? e1 ? e
③当 a ?

(ⅲ)当 a ? 6 时,因为 h1 (6) ? 2a ? 7 ? a ? 5 ? h2 (6) ,所以 g ( x) 在 x ?[1,6]上的最小值 为 f 2 (6) ? ea?5

? e2?a ? 2?2 a ?e ? ? 1 ? 综上所述, 函数 g ( x) 在 x ?[1,6]上的最小值为 ? ?e 2 a ? 7 ? ?e ? ? e a ?5 ?

a?0 0 ? a ?1 7 1? a ? 2 7 ?a?4 2 4?a?6 a?6

盐城中学 2013 届高三年级随堂练习(2013.2) 数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)

试题Ⅱ (附加题)
21.[选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的 指定区域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) N B M 如图,已知两圆交于 A, B 两点,过点 A, B 的直线分别与两圆 交于 P, Q 和 M , N ,求证: PM // QN . 解:连结 AB ,易得 ?ABN ? ?APM , ?ABN ? ?AQN ? ? ,(6 分) 所以 ?APM ? ?AQN ? ? , A Q 又点 P,, 三点共线, 故 PM // QN .(10 分) P A Q

(第 21—A 题图 )

B. (选修 4—2:矩阵与变换)
?1 0 ? 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 ? ? ? ,求矩阵 A . ?0 2? ? a b ? ?1 0 ? ? 1 0 ? ?a b ? ?1 解:设 A ? ? ? ,则由 AA ? E 得 ? c d ? ?0 2? ? ?0 1? ,(5 分) ? ?? ? ? ? ?c d ?
?a ? 1, ?b ? 0, ?1 ? 解得 ?c ? 0, 所以 A ? ? ?0 ? ? 1, ?d ? ? 2

0? 1 ? .(10 分) ? 2?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系 xoy 中,过椭圆

x2 y2 ? ? 1 在第一象限内的一点 P( x, y) 分别作 x 轴、 y 12 4

轴的两条垂线,垂足分别为 M , N ,求矩形 PMON 周长最大值时点 P 的坐标.

? x ? 2 3 cos ?, ? 解:设 ? ( ? 为参数) ,(4 分) ? y ? 2sin ? ?

则矩形 PMON 周长为 2(2 3 cos ? ? 2 sin ? ) ? 8 sin(? ? 所以,当 ? ? ? 时,矩形 PMON 周长取最大值 8, ? 此时,点 P(3,1) .(10 分) D.(选修 4—5:不等式选讲)

?
3

) (8 分)

已知关于 x 的不等式 x ? a ? 1 ? x ? 0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围. 证明:若 x ? 1 ? 0 ,则 a ? R ;(2 分) 若 x ? 1≥0 ,则 ? x ? a ? ? ? x ? 1? 对任意的 x ? ?1,? ? ? 恒成立,
2 2

即 ? a ? 1? ?? a ? 1? ? 2x? ? 0 对任意的 x ? ?1,? ? ? 恒成立, (4 分) ? ?
?a ? 1 ? 0, ? a ? 1 ? 0, 所以 ? 或? 对任意的 x ? ?1,? ? ? 恒成立,(8 分) ?a ? 1 ? 2 x, ? a ? 1 ? 2 x

解得 a ? 1 .(10 分) [必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22. (本小题满分 10 分)

如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? 1 , D1 D ? 2 ,点 P 在棱 CC1 上,且 ?A1 PB ? ? . ? ( I )求 PC 的长; ( II)求钝角二面角 A ? A1 B ? P 的大小. 解: (1)如图,以点 D 为原点 O , DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 D ? 0, 0, 0? , B ?1, 1, 0 ? , A1 ?1, 0, 2 ? , 设 P ? 0, 1, ? ? ,其中 ? ? ? 0, 2? ,
A1 D1 B1 C1

P

D
A B (第 22 题图)

C

???? ??? ? 因为 ?A1 PB ? ? ,所以 A1 P ? BP ? 0 , ?
即 ? ?1, 1, ? ? 2? ? ? ?1, 0, ? ? ? 0 ,得 ? ? 1 , 此时 P ? 0, 1, 1? ,即有 PC ? 1 ;

(2)

6 6

23. (本小题满分 10 分)
2 3 n 某品牌设计了编号依次为 1,,,? ? ? , n≥4, n?N* 的 n 种不同款式的时装,由甲、乙两 且

?

?

位模特分别独立地从中随机选择 i,j (0≤i,j≤n, i,j ?N) 种款式用来拍摄广告. 且
( ( I )若 i ? j ? 2 ,且甲在 1 到 m (m 为给定的正整数,且 2≤m≤n ? 2) 号中选择,乙在 m ? 1)

m 到 n 号中选择.记 Pst (1≤s≤m, ? 1≤t≤n) 为款式(编号) s 和 t 同时被选中的概率,求所有的

Pst 的和; ( II)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率.
( 解: (1)甲从 1 到 m (m 为给定的正整数,且 2≤m≤n ? 2) 号中任选两款,乙从 m ? 1) n 号 到


2 任选两款的所有等可能基本事件的种数为 C2 Cn ? m , m m 记“款式 s 和 t (1≤s≤m, ? 1≤t≤n) 同时被选中”为事件 B,则事件 B 包含的基本事

件 的种数为 C1C1 ?1 ? C1C1 ?( m?1) , 1 m 1 n 所以 P( B) ? Pst ?
C1C1 ?1 ? C1C1 ?( m ?1) 1 m 1 n C2 C2 ? m m n ? 4 , m(n ? m)

则所有的 Pst 的和为: C1 C1 ?m ? m n

4 ? 4 ;(4 分) m(n ? m)

2 n (2) 甲从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为: 0 ? C1 ? Cn ? ??? ? Cn ? 2n , Cn n

同理得,乙从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为 2n , 据分步乘法计数原理得,所有等可能的基本事件的种数为: 2n ? 2n ? 4n ,

记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件 A,则事件 A 的对立事件 A 为: “没 有 一个款式为甲和乙共同认可” , 而事件 A 包含的基本事件种数为: 2 n 2 n ?1 0 1 C0 ? (C0 ? C1 ? Cn ? ??? ? Cn ) ? C1 ? (C0 ?1 ? C1 ?1 ? Cn?1 ? ??? ? Cn?1 ) ? ??? ? Cn?1 ? (C1 ? C1 ) n n n n n n n
+Cn ? (C0 ) n 0
? C0 ? 2n ? C1 ? 2n?1 ? ??? ? Cn?1 ? 2 ? Cn ? 20 n n n n
? (1 ? 2)n ? 3n ,

所以 P( A) ? 1 ? P ? A ? ? 1 ? 3 .(10 分) 4

??

n

()


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