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一元二次不等式及其解法


3. 2

一元二次不等式及其解法

走进生活 引入新课

现有电信和联通两家网络服务公司,它们的 资费标准为: 电信公司:每小时收费1.5元(不足一小时按一小时计 算) 联通公司:用户上网的第一小时内(含1小时,下 同)收费1.7元,第二小时内收费1.6元,以后每小 时减少0.1元.(若用户一次上网时间超过17小时, 按17小时计算)(一般来说,一次上网时间不会 超过17小时)所以不妨设该同学一次上网总小时 小于< 17, 那么一次上网在多长时间以内能够保 证选择电信比选择联通所需要费用少?

分析:假设一次上网x小时,

则电信公司的收取费用为1.5x(元) 联通收费每小时依次为:1.7 ,1.6,1.5 ,1.4……(元) ∵1.7,1.6,1.5,1.4,……是以1.7为首项, 以-0.1为公差的等差数列
x (35 ? x ) ( x ? 17 ) ∴联通公司的收取费用为 20

如果能够保证选择电信公司比选择联通公司所需费用少,则有

x (35 ? x ) 1 .5 x ? 20
2 x ? 5x ? 0 整理得

这是什么表达式?

问题激疑
预习点一

呈现目标
一元二次不等式的概念

观察下列不等式: (1)x2-5x+6≥0;(2)2x>x2-1;(3)-3x2+2≥0. 问题 1:以上给出的三个不等式,各含几个未知数?未知数 的最高次数是多少?是什么类型的不等式?

问题2:以上三个不等式能用哪一个表达式表达出来?

问题探究 自主学习

[填一填]

1.一元二次不等式的概念及形式 (1)概念:一般地,含有________未知数,且未知数的最高次 数是________的整式不等式,称为一元二次不等式. (2)形式: (一般式或标准式) ①ax2+bx+c>0(a≠0). ②ax2+bx+c≥0(a≠0). ③ax2+bx+c<0(a≠0). ④ax2+bx+c≤0(a≠0).
2 x 问题3:怎样求一元二次不等式如 ? 5 x ? 0 的解集呢?

我们先来考察与它相对应的二次 函数 y ? x2 ? 5x 以及二次方程 x 2 ? 5x ? 0 的关系 : 2 方程 x ? 5x ? 0 的两个根是

y

x1 ? 0, x2 ? 5
? 0 或 x ? 5 时,y ? ? (2)当 x ? 0 或 x ? 5 时,y怎样? (3)当 0 ? x ? 5 时, y怎样?
(1)当 x
0 5

结合图像知不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集 {x | 0 ? x ? 5}

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (a>0)的解集

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

问题拓展 有效指导
例1:解不等式: x2-2x-15≥0
y … 一看 二判

解:∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0 …
方程x2-2x-15=0

的两根为: … 三求 x=-3,或x=5 ∴ 不等式的解集 为:{x│ x ≤-3 或x ≥5}。
… 四写

。 -3 0

。 5

x

1化成标准形式 (a>0) : (1) ax2+bx+c>0 (2) ax2+bx+c≥0 (3) ax2+bx+c<0 (4) ax2+bx+c≤0 2判定△的符号 3求出方程ax2+bx+c=0 的实根(画出函数草图) 4(结合不等号方向)写出不等式的解集

步骤简记为:一看、二判、三求、四写 记忆口诀:大于取两边,小于取中间

问题检测 知识迁移
练习1:解不等式4x2-4x > -1 练习2:解不等式 - x2 + 2x–3 > 0 练习3:解不等式 - x2 + 2x–3
<0

巩固练习2
1、解下列一元二次不等式: 2 2 ? + ? ? 1 ( ) 3x 7 x 2 0 (2) 6 x ? x + 2 ? 0 (3) 4 x + 4 x ? -1
2

(4) x ? 3x + 5 ? 0
2

答案: (1) {x | 1 ? x ? 2} 3
(2){ x | x ? ? 2 ,或x ? 1} 3 2

(3) φ (4) R

课堂小结

书面作业

作业:课本80页习题3.2 A组第1、2题


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