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山西省大同市第一中学2015-2016学年高二上学期12月月考数学(理)试题


高二数学(理科) 月考试题

一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.下列命题中的假命题是 A.? x∈R,lg x=0 C.? x∈R,x >0 2.命题“? x>0,x +x>0”的否定是 A.? x>0,x +x>0 C.? x>0,x +x≤0 3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x

=1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“ ? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“ ? x∈R,均有 x +x+1<0”
2 2 2 2 2 2 2 2 3

( B.? x∈R,tan x=1 D.? x∈R,2 >0 ( B.? x>0,x +x≤0 D.? x≤0,x +x>0 (
2 2 x

)

)

)

D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题 4.已知 p:|x-a|<4;q:(x-2)?(3-x)>0,若非 p 是非 q 的充分不必要条件,则 a 的取值 范围 为 ( ) B.a≤-1 或 a≥6
2

A.a<-1 或 a>6

C.-1≤a≤6
2

D.-1<a<6

5.已知命题 p: ? x∈,x -a≥0,命题 q: ? x∈R,x +2ax+2-a=0,若“p 且 q” 为真命题,则实数 a 的取值范围是 A.a=1 或 a≤-2 C.a≥1
2 2

( B.a≤-2 或 1≤a≤2 D.-2≤a≤1

)

x y 6.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点.在△AF1B 中, 16 9 若有两边之和是 10,则第三边的长度为 A.6 B.5 C.4 D.3
2 2

(

)

x y 2 2 7.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x +y =4 没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 9 4 的交点个数为 A.至多一个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 ( )

x y y 2 8.已知椭圆 C1: 2+ 2=1 (a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线与 a b 4 以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 ( )

2

2

2

13 2 A.a = 2

B.a =13

2

1 2 C.b = 2

D.b =2

2

2 ????? ????? x 2 9.已知椭圆 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且 MF1 ? MF2 =0, 4

则点 M 到 y 轴的距离为 A. 2 3 3
2 2

( B. 2 6 3 C. 3 3 D. 3

)

x y 10.方程为 2+ 2=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,D 是它短轴上的 a b 一个端点,若 3 DF1 = DA +2 DF2 ,则该椭圆的离心率为 A. 1 2
2 2

???? ?

??? ?

???? ?

( D. 1 5

)

B.

1 3

1 C. 4

x y 11.已知椭圆 E: + =1,对于任意实数 k,下列直线被椭圆 E 截得的弦长与 l:y=kx+1 m 4 被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是 A.kx+y+k=0 C.kx+y-k=0
2 2

(

)

B.kx-y-1=0 D.kx+y-2=0

x y 12.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为 A.13 B.14 C.15 D.16 ( )

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.若命题“ ? x∈R,2x -3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是_____________.
2

1 2 14.已知命题 p:x +2x-3>0;命题 q: >1,若綈 q 且 p 为真,则 x 的取值范围是 3-x _________________.
2 ???? ???? ? x 2 15.设 F1,F2 分别为椭圆 +y =1 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上,若 F1 A =5 F2 B ,则 3

点 A 的坐标是________.

x y 16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为 F, a b

2

2

上顶点为 B,若∠BAO+∠BFO=90°,则椭圆的离心率是________.

三、解答题(共 5 小题,共 48 分) 17. (8 分) 已知命题 p: ? x∈,x -a≥0.命题 q: ? x0∈R,使得 x0+(a-1)x0+1<0.若 p
2 2

或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

18.(10 分) 已知命题 p:方程 2x +ax-a =0 在上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等 式 x0+2ax0+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.
2

2

2

x y 3 19. (10 分) 设椭圆 C∶ 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 x y 20.(10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 4 2 的顶点, 过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第一象限, 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C.连接 AC,并延长交椭圆于点 B.设直线 PA 的 斜率为 k. (1) 当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2) 当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3) 对任意的 k>0,求证:PA⊥PB.
2 2

2

2

x 2 2 2 21. (10 分) 已知椭圆 G∶ +y =1.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点. (1) 4 求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.

2

高二数学(理) 12 月考答案

一、选择题 二、填空题

CBDCA

ABCBD

DC

13.-2 2≤a≤2 2 三、解答题

14.(-∞,-3)∪(1,2]

15.(0,±1) 16.

5-1 2

17.解 ∵? x∈,x -a≥0 恒成立, 即 a≤x 恒成立,∴a≤1. 即 p:a≤1,∴非 p:a>1. 又? x0∈R,使得 x0+(a-1)x0+1<0. ∴Δ =(a-1) -4>0,∴a>3 或 a<-1, 即 q:a>3 或 a<-1,∴非 q:-1≤a≤3. 又 p 或 q 为真,p 且 q 为假,∴p 真 q 假或 p 假 q 真. 当 p 真 q 假时,{a|a≤1}∩{a|-1≤a≤3}={a|-1≤a≤1}. 当 p 假 q 真时,{a|a>1}∩{a|a<-1 或 a>3}={a|a>3}. 综上所述,a 的取值范围为{a|-1≤a≤1}∪{a|a>3}. 18.解 由 2x +ax-a =0 得(2x-a)(x+a)=0, a ∴x= 或 x=-a, 2
2 2 2 2 2

2

?a? ∴当命题 p 为真命题时? ?≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2. ?2?
又“只有一个实数 x0 满足 x0+2ax0+2a≤0”, 即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ =4a -8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p 或 q”为假命题,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为{a|a>2 或 a<-2}. 16 19.解:(1)将(0, 4)代入 C 的方程得 2 =1,∴b=4, b c 3 a -b 9 由 e= = 得 2 = , a 5 a 25
2 2 2 2 2

16 9 即 1- 2 = ,∴a=5, a 25 x y ∴C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y = (x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1, y1), B(x2, 5 5 4 x ?x-3? 2 y2),将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 + =1,即 x -3x-8=0,解得 5 25 25 3- 41 3+ 41 x1= ,x2= , 2 2 - x1+x2 3 ∴AB 的中点坐标 x = = , 2 2 6 - y1+y2 2 y= = (x1+x2-6)=- , 2 5 5 3 6 即中点坐标为( ,- ). 2 5 20.解:由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所以线段 MN 中点的坐标为 (-1,- 2 ). 2
2 2 2 2

由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所以 k 2 2 2 = = . -1 2 - x 4x 2 2 4 (2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 + =1,解得 x=± ,因此 P( , ), 4 2 3 3 3 4 0+ 3 2 4 2 2 A(- ,- ).于是 C( ,0),直线 AC 的斜率为 =1,故直线 AB 的方程为 x-y- =0. 3 3 3 2 2 3 + 3 3 2 4 2 | - - | 3 3 3 2 2 因此,d= = . 2 2 3 1 +1 x y 2 2 (3)证明: 法一: 将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1, 解得 x=± 记μ = , 2 2 4 2 1+2k 1+2k 则 P(μ ,μ k),A(-μ ,-μ k).于是 C(μ ,0). 0+μ k k 故直线 AB 的斜率为 = , μ +μ 2 k 2 2 2 2 2 2 其方程为 y= (x-μ ), 代入椭圆方程并由 μ = 得(2+k )x -2μ k x-μ (3k + 2 2 1+2k
2 2 2 2

μ ?3k +2? μ ?3k +2? μ k 2)=0,解得 x= 或 x=-μ .因此 B ( , 2 2 2). 2+k 2+k 2+k uk 2-μ k 3 2 2+k k -k?2+k ? 1 于是直线 PB 的斜率 k1= = =- . 2 2 2 μ ?3k +2? 3k +2-?2+k ? k -μ 2 2+k 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 法二:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设直线 0-?-y1? y1 k PB,AB 的斜率分别为 k1,k2.因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= = = . x1-?-x1? 2x1 2 y2-y1 y2-?-y1? 2y2-2y1 从而 k1k+1=2k1k2+1=2? ? +1= 2 2 +1= x2-x1 x2-?-x1? x2-x1 ?x2+2y2?-?x1+2y1? 4-4 = 2 2=0. 2 2 x2-x1 x2-x1 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 21.解:(1)由已知得 a=2,b=1, 所以 c= a -b = 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), c 3 离心率为 e= = . a 2 (2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1, 点 A, B 的坐标分别为(1, = 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. y=k?x-m?, ? ? 2 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).由?x 2 +y =1. ? 4 ? 8k mx+4k m -4=0.设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 8k m 4k m -4 x1+x2= 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k 又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 即 m k =k +1. 所以|AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? = ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

2

2

3

3 3 ),(1,- ),此时|AB| 2 2

得(1+4k )x -

2

2

|km|

=1, 2 k +1



64k m 4?4k m -4? 4 3|m| 2 ?1+k ?[ ]= 2 . 2 2- 2 ?1+4k ? 1+4k m +3

4 2

2 2

由于当 m=±1 时,|AB|= 3, 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m +3 4 3|m| 因为|AB|= 2 = m +3 ≤2, 3 |m|+ |m| 4 3

且当 m=± 3时,|AB|=2, 所以|AB|的最大值为 2.


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