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独立重复试验概率经典例题



独立,对立, 独立,对立,相互对立
互斥事件:不可能同时发生的两个事件称为互斥事件. P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 对立事件:必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件. P ( A + A) = 1 ? P ( A) = 1 ? P ( A) 相互独立事件事件: A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样的 两个事件叫做相互 独立事件。 1.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为 码能译出的概率为

1 1 1 、 、 ,则此密 5 3 4
( )

( A)

3 5

( B)

2 5

(C )

59 60

( D)

1 60

2.从甲口袋内摸出 1 个白球的概率是 内各摸出 1 个球,那么

1 1 ,从乙口袋内摸出 1 个白球的概率是 ,从两个袋 3 2
( )

5 等于 6

( A) 2 个球都是白球的概率 (C ) 2 个球不都是白球的概率

( B ) 2 个球都不是白球的概率 ( D ) 2 个球中恰好有 1 个是白球的概率

3.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2. (1)假定有 5 门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率; (2)要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9 以上的概率被击中,需至少布置几门高炮?

独立重复试验概率
1. 定义

2. 公式 3. 离散型随机变量的二项分布:在 一 次 随机 试 验中 ,某 事 件 可能 发 生也 可 能不 发 生 ,
如果在一次试验中某 在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量. 事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k Pn (ξ = k ) = C n p k q n ? k , k=0,1,2,…,n, q = 1 ? p ) ( .

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:

ξ P

0
0 Cn p 0 q n

1
1 C n p 1 q n ?1

… …

k
k C n p k q n?k

… …

n
n Cn p n q 0

称 这 样 的随 机 变量 ξ 服 从 二 项分 布 ,记 作 ξ ~ B ( n , p ),其中 n , p 为参数,并记
k C n p k q n ? k =b(k;n,p).

离散型随机变量的几何分布:在独立重复试验中,某 事 件 第 一 次 发生时,所作试验的次 数 ξ 也 是一个正整数的离散型随机变量.“ ξ = k ”表示在第 k 次独立重复试验时事 件第一次发生.如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 Ak 、事件 A 不发生记为 Ak ,P( Ak )=p, P( Ak )=q(q=1-p),那么

P(ξ = k ) = P( A1 A2 A3 L Ak ?1 Ak ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )L P( Ak ?1 ) P( Ak ) = q k ?1 p ( k =

0,1,2,…, q = 1 ? p ) .于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:

ξ P

1

2

3

… …

k

… …

p

pq
新疆 王新敞
奎屯

q2 p

q k ?1 p

称 这 样 的随 机 变 量 ξ 服从 几 何 分布 记 作 g ( k , p )= q
k ?1

p ,其中 k=0,1,2,…, q = 1 ? p .

4. 例题: : 例 1.某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留两个有效数字) . (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率。

例 2.某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是 .

1 ,求 1 小时内 5 4 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字)

e.g.
4.有 n 个相同的电子元件并联,每个电子元件能正常工作的概率为 0.5,要使整个线路正常 工 作的概率不小于 0.95, n 至少为 (C)

( A) 3

( B) 4

(C ) 5

( D) 6

某人对一目标进行射击, 每次命中率都是 0.25, 若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75, 例 3. 至少应射击几次? 5. 将一枚硬币连掷 5 次, 如果出现 k 次正面的概率等于出现 k + 1 次正面的概率, 那么 k 的 值为.

4.(1)设在四次独立重复试验中,事件 A 至少发生一次的概率为

80 ,试求在一次试验事件 81 1 ,求在第 n 次 3

A 发生的概率.
(2)某人向某个目标射击,直至击中目标为止,每次射击击中目标的概率为 才击中目标的概率.

离散型随机变量分布列

1.数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … …

则称 Eξ = x1 p1 + x 2 p 2 + … + xn pn + …

为 ξ 的数学期望,简称期望

2. 期望的一个性质:若η = aξ + b (a、b 是常数),ξ 是随机变量,则 η 也是随机变量

E (aξ + b) = aEξ + b
例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概率为 0.7,求他罚球一次得分 ξ 的期望
新疆 王新敞
奎屯

2.袋中有 4 个黑球、3 个白球、2 个红球,从中任取 2 个球,每取到一个黑球记 0 分, 每取到一个白球记 1 分,每取到一个红球记 2 分,用 ξ 表示得分数 ①求 ξ 的概率分布列 ②求 ξ 的数学期望 e.g. 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分,罚不中得 0 分.已知某运动员罚球 命中的概率为 0.7,求 ⑴他罚球 1 次的得分 ξ 的数学期望; ⑵他罚球 2 次的得分 η 的数学期望; ⑶他罚球 3 次的得分 ξ 的数学期望

某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km 时租车费为 10 元, 例 2. 若行驶路程超出 4km,则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 lkm 的部分按 lkm 计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km.某司机经常驾车在机场与此宾 馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城 市规定,每停车 5 分钟按 lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程 ξ 是一 个随机变量.设他所收租车费为 η (Ⅰ)求租车费 η 关于行车路程 ξ 的关系式; (Ⅱ)若随机变量 ξ 的分布列为
新疆 王新敞 奎屯

ξ P

15 0.1

16 0.5

17 0.3

18 0.1

求所收租车费 η 的数学期望. (Ⅲ)已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km,问出租车在途中因 故停车累计最多几分钟?


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