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高二数学期末复习提纲


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高二数学期末复习提纲
第九章
一、知识要点及方法指引
1、平面的性质 2、平行与垂直: (1)直线与平面:平行的判定:①若不在平面内的直线与平面内一直线平行,则该 直线与平面平行;②垂直于同一平面的两直线平行。 平行的性质:若一直线与平面平行,过该直线的平面与该平面相交,则该直线与交线平行。 (2)平面与平面:平行的判定:①一平面内两相交直线平行于另一平面,则两平面平行;②垂直 于同一直线的两平面平行。平行的性质:一平面与两平行平面相交,则交线平行。 垂直的判定:一平面内有一直线与另一平面垂直,则两平面垂直。 垂直的性质:过两垂直平面中一平面内一点作交线的垂线,垂直于另一平面。 3、空间向量:①共线向量和共面向量定理 ②数量积: a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ? ③几个公式: | a |?

立体几何

a ? x12 ? y12 ? z12
?

2



cos ? a, b ??

a?b |a|?|b|

x1 x2 ? y1 y 2 ? z1 z 2
2 2 2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2

| Ax0 ? By0 ? Cz 0 ? D | a?b ,点到面的距离公式: d ? a在b上的射影为: |b| A2 ? B 2 ? C 2
4、夹角和距离: (1)夹角:①线与线:求法:平移法;向量法 。 ②线与面:定义:线与线在面上的射影的夹角;求法:几何法;向量法。 ③面与面:定义:略;求法:几何法(垂面法,双垂线法,三垂线法) ;向量法;面积法。 (2)距离:①点与线: (略)②点与面,线与面,面与面:求法:几何法;向量法,体积法 ③线与线:定义:两异面直线的公垂线段的长度叫两异面直线的距离。求法:几何法;向量法。 5、多面体与球(见教材 P76 表格)

二、典型习题:
1、三平面两两相交,求证交线互相平行或交于一点。 2、以下四个命题中,不正确的有几个 ① ② 直线 a,b 与平面?成等角,则 a∥b; 两直线 a∥b,直线 a∥平面?,则必有 b∥平面?; 高考网 www.gaokao.com ( )

高考网 www.gaokao.com ③ ④ 一直线与平面的一斜线在平面?内的射影垂直,则必与斜线垂直; 两点 A,B 与平面?的距离相等,则直线 AB∥平面? (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个

(A)0 个 ① m // ? ,② m

3、平面 ? , ? , 直线m, 给出条件:

? ? , ③ m ? ? ,④ ? ? ? ,⑤ ? // ?
(05 湖南高考文) ??。

, (1)当满足____________时, m // ?

(2)当满足____________时, m

4、如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1

? a, A1 D1 ? b ,

A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是____________________。
5、已知 a=(2,2,1),b=(4,5,3),而 n· a=n· b=0,且|n|=1,则 n= A.( ( )

1 2 , 3 3

,-

2 3

)

B.(

1 2 ,- 3 3



2 3

)

C.(-

1 2 , 3 3
A

,-

2 3

)D.±(

1 2 ,- 3 3
A



2 3

)

6、如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平 面后,某学生得出下列四个结论: ① BD ? AC ? 0 ; ②∠BAC=60°;

D B D C
其中正确

③三棱锥 D—ABC 是正三棱锥; A.①② D A D1 A1 4 题图 8、下面是关于四棱柱的四个命题: B1 M B C1 C B.②③

B

C

④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. C.③④

m A B C
9 题图

? ? ?

n D E F

A1

z
B1

D.①④

O1

C1

A

O

C y


x

B

12 题图

7、设向量 a=(1,-2,2),b=(-3,x,4),已知 a 在 b 上的射影是 1,则 x= ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两全等,则该四棱柱为直四棱柱。 其中真命题的编号是 9、如图, ? (写出所有真命题的编号) 。 (04 年全国高考)

AB DE // ? // ? , 求证: ? BC EF 10、已知 面? ? 面? ? l , 直线a // ? , a // ? , 求证:a // l
11、空间四边形 ABCD 中,AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AB 高考网 www.gaokao.com

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12、已知正三棱柱 ABC—A1B1C1,底面边长 AB=2,AB1⊥BC1,点 O、O1 分别是边 AC,A1C1 的中 点,建立如图所示的空间直角坐标系. ⑴求正三棱柱的侧棱长. ⑵若 M 为 BC1 的中点,试用基向量

AA 1 、 AB 、 AC 表示向量 AM ;

⑶求异面直线 AB1 与 BC 所成角的余弦值.. 13、已知 P 为△ABC 所在平面外的一点,PC⊥AB,PC=AB=2,E、F 分别为 PA 和 BC 的中点. (1)求证:EF 与 PC 是异面直线; (2)EF 与 PC 所成的角; (3)线段 EF 的长. 14、已知 ABCD 为矩形,E 为半圆 CED 上一点,且平面 ABCD⊥平面 CDE. (1)求证:DE 是 AD 与 BE 的公垂线; (2)若 AD=DE=

1 AB,求 AD 和 BE 所成的角的大小. 2

15、设△ABC 内接于⊙O,其中 AB 为⊙O 的直径,PA⊥平面 ABC,求证: 面 PAC⊥面 PBC 16、如图,在正方体中, (1)求证:面 AB1D1//面 BDC1 (2)求证:A1C⊥面 AB1D1(3)求 O 到面 ABC1D1 的距离(05 湖南高考) ; (4)求 B1D1 到面 BDC1 的距离; (5)求 B1D1 到面 BC1 的距离; (6)求 B1D1 与 BC1 的夹角; (7)求 BC1 与面 BDD1B1 夹角; (8)若 M 为 D1C1 中点,求二面角 D1-AM-D 的大小(05 湖南高考题改)
P E
D E

P

D1 O

M C1 B1

A1

A F B

C
A B

C

D
A C B

A B

C

13 题图

14 题图

15 题图

16 题图

17、将直角三角形 ABC 沿斜边上的高 AD 折成 120°的二面角,已知直角边

AB ? 4 3, AC ? 4 6 ,那么二面角 A—BC—D 的正切值为
⑴求证:A1B∥平面 ADC1; ⑵求截面 ADC1 与侧面 ACC1A1 所成的二面角 D—AC1—C 的大小.

.

18、正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长和底面边长都等于 2,D 是 BC 上一点,且 AD⊥BC.

A1 B1

C1

A
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C D B

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19、如图,异面直线 AC 与 BD 的公垂线段 AB=4,又 AC=2,BD=3,CD=4 ⑴求二面角 C—AB—D 的大小; ⑵求点 C 到平面 ABD 的距离; ⑶求异面直线 AB 与 CD 间的距离。

2.

B

D

A C

20、在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,BC=CD,∠BCD=90° ,∠ADB=30° ,E,F 分别是 AC, AD 的中点。⑴求证:平面 BEF⊥平面 ABC; ⑵求平面 BEF 和平面 BCD 所成的角. 21、球面上三点 A,B,C,AB=6,BC=8,AC=10,球半径为 13,求球心到面 ABC 的距离。 22、如图,A、B、C 是表面积为 48π 的球面上三点, AB=2,BC=4,∠ABC=60?,O 为球心,则直线 OA 与 截面 ABC 所成的角是___________________(04 年福建高考)

第十章

排列、组合和二项式定理

一、知识要点及方法指引
1、 分类计数原理和分步计数原理(略) 2、 排列与组合: 关系: An
m m m ? Cn ? Am

公式:

m An ? n(n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) ?

n! (n ? m)!

, Cn

m

?

n! m!(n ? m)!

性质: Cn

m

n?m m m?1 m?1 ? Cn , Cn ? Cn ? Cn ?1

解题方法:①直接法,间接法;②捆绑法,插入法;③机会均等法;④隔板法。 3、二项式定理: 第 r+1 项为:

在二项式定理中,令

,则



二、典型习题
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高考网 www.gaokao.com 1、3 种作物种在如图的 5 块地上,相邻区域不种同一作物, 有_____种不同方法(03 全国) 2、 用 5 种不同颜色给下面四个区域涂色, 相邻区域不同色,有______________种不同方法。 3、 从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、 导购、保洁四项不同的工作,其中甲、乙两名志愿者 不能从事翻译工作,则不同的选排方法共有_____________________。 4、五种不同的商品在货架上排成一排,其中 a 、b 两种必须排在一起,而 c、d 两种不能排在一起, 则不同的排法共有 _____________________。 5、将 4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名,则不同的分配方案共有_______________. 6、从 4 名男同学 6 名女同学中选出 7 人排成一排, (1)要求有 3 男 4 女,有多少方法? (2)选出的 7 人中,4 个女同学须站在一起,有多少方法? (3)选出的 7 人中,3 个男同学须站在正中间,有多少方法? (4)选出的 7 人中,3 个男同学不相邻,有多少方法? (5)选出的 7 人中,3 个男同学须按高矮顺序站,中间可以插人,有多少方法? 7、4 名同学参加竞赛,每位同学须从甲,乙两题中选一题作答,选甲答对得 100 分,答错-100 分; 选乙答对得 90 分,答错-90 分,若 4 位同学总分为 0,则 4 位同学得分情况有( A、48 A、20 B、36 B、19 C、24 C、18 D、18 D、16 (05 年湖南高考理) (05 年湖南高考文) 8、A,B 取 1,2,3,4,5 中两不同数,则直线 Ax+By=0 的不同条数为 )种

A B

D C

9、有 6 本不同的书,分给甲、乙、丙三人. (l)甲得 2 本,乙得 2 本,丙得 2 本,有多少种分法? (2)一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本,有多少种分法? (3)甲得 1 本,乙得 2 本,丙得 3 本,有多少种分法? (4)平均分成三堆,每堆 2 本,有多少种分法? 10、 (1)6 个不同的球,分到 6 个盒子中,每盒一球,有多少种方法? (2)6 个不同的球,分到 3 个盒子中,允许有空盒,有多少种方法? (3)6 个相同的球,分到 3 个盒子中,允许有空盒,有多少种方法? (4)6 个相同的球,分到 3 个盒子中,每盒不空,有多少种方法? (5)6 个不同的球,分到 3 个盒子中,每盒不空,有多少种方法? (6)6 个不同的球,平均分为 3 组,每组 2 球,有多少种方法? 11、多项式(1-2x)6(1+x)4 展开式中,x 最高次项为 13、关于二项式(x-1)2005 有下列命题: ②该二项展开式中第六项为 C2005 x1999; 项;
6

________

,x3 系数为________________。

12、在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n 的展开式中,x2 项的系数是多少? ①该二项展开式中非常数项的系数和是 1; ③该二项展开式中系数最大的项是第 1002

④当 x=2006 时,(x-1)2005 除以 2006 的余数是 2005。 其中正确命题的序号是 。 (注:把你认为正确的命题序号都填上) 高考网 www.gaokao.com

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第十一章
一、知识要点及方法指引

概率和统计

1、可能性事件的概率:一次试验中所有可能出现的 n 个基本结果出现的可能性都相等,如果某事件

A 包含着这 n 个等可能基本事件中的 m 个基本事件,则事件 A 发生的概率

2、互斥事件有一个发生的概率: 如果事件 发生(即 中有一个发生)的概率,等于这

彼此互斥, 那么事件 个事件分别发生的概率的和,即

若 A、

是对立事件,则:

=1

3、 相互独立事件同时发生的概率:如果事件 生的概率,等于每个事件发生的概率之积,即

相互独立,那么

个事件同时发 .

若 A,B 是相互独立事件,则 A,B 同时发生的概率是: P( A ? B) A,B 至少有一个发生的概率是: P

? P( A) ? P( B) ,

? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P(B)
次独立重复试验中这一个事件恰

独立重复试验:若在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 好发生 次的概率为

二、典型习题
1、若在二项式(x+1)10 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是_________________。 2、十个人站成一排,其中甲、乙、丙三人恰巧站在一起的概率为________________. 3、从 0,1,2,3,4,5,6 这七个数中,任取 4 个组成没有重复数字的四位数,求: (1)这个四位数是偶数的概率; (2)这个四位数能被 5 整除的概率.

4、某人有 5 把钥匙,其中有一把是打开房门的钥匙,但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙,于是他 逐把不重复地试开,问: (1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少?(2)三次内打开房门锁的概率 是多少? 高考网 www.gaokao.com

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5、袋中装有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只,从中每次任取 1 只,有放回地抽取 3 次,求: (1) 3 只全是红球的概率,(2) 3 只颜色全相同的概率, (3) 3 只颜色不全相同的概率,(4) 3 只颜色全不相同的概率. 6、今有一批球票,按票价分类如下:10 元票 5 张,20 元票 3 张,50 元票 2 张,从这 10 张票中随机 抽出 3 张,票价和为 70 元的概率是____________. 7、从数字 1,2,3,4,5,中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和 等于 9 的概率为____________________(04 全国高考) 8、某公司组织 4 个部门旅游,每个部门只能在韶山,衡山,张家界 3 个景区中选一个,各部门选每 个景区是等可能的, (1)求 3 个景区都有人选择的概率; (2)求恰有 2 个景区有部门选择的概率。 (05 年湖南高考文)

9、甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为 (1)两个人都译出密码的概率; (2)两个人都译不出密码的概率; (3)恰有 1 个人译出密码的概率; (4)至多 1 个人译出密码的概率; (5)至少 1 个人译出密码的概率. 10、如图,开关电路中,某段时间内,开关 求这段时间内灯亮的概率.



,求:

开或关的概率均为 0.6,且是相互独立的,

11、设有两架高射炮,每一架击中飞机的概率都是 0.6,试求同时射击一发炮弹而命中飞机的概率是 多少?又若一架敌机侵犯,要以 0.99 的概率击中它,问需要多少架高射炮? 12、甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工 的零件不是一等品的概率为

1 4

,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 .

1 2 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 12 9

⑴分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率; ⑵从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率(04 湖南高考) 高考网 www.gaokao.com


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