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金版学案 数学选修2-1 3.1.1 空间向量及其加减运算


第三章

空间向量与立体几何

数学·选修 2-1(人教 A 版)

空间向量与立体几何

3. 1 3.1.1

空间向量及其运算 空间向量及其加减运算 课前训练

一、选择题 1. 平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的 12 条棱对应的向量中, 与向量→

AD相 等的向量共有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

→相等的向量有A → → → 解析:与AD 1D1,BC,B1C1,共 3 个.故选 C.

第三章 答案:C

空间向量与立体几何

2.下列命题中,正确的有(

)

→=→ ①若 A、 B、 C、 D 是不共线的四点, 则“AB DC”是“四边形 ABCD 是平行四边形”的充要条件 ②若 a=b,b=c,则 a=c ③“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件 ④“→ AB=→ CD”的充要条件是“A 与 C 重合,B 与 D 重合” A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析:①正确.因为→ AB=→ DC, →. 所以|→ AB|=|→ DC|且→ AB∥DC 又因为 A、B、C、D 不共线,所以四边形 ABCD 是平行四边形. 反之,在平行四边形 ABCD 中,→ AB=→ DC. ②正确.因为 a=b,所以 a,b 的长度相等且方向相同. 因为 b=c,所以 b,c 的长度相等且方向相同.故 a=c. ③正确.a=b ,|a|=|b|,|a|=|b|?/

a=b.

→=CD →,知|→ →同向.故选 C. ④不正确.由AB AB|=|→ CD|且→ AB与CD

第三章 答案:C

空间向量与立体几何

→-→ 3.空间任意四个点 A,B,C,D,则→ DA+CD CB=( → A.DB B.→ AC C.→ AB → D. BA

)

→+ → →+→ 解析:DA CD-→ CB=DA BD=→ BA.故选 D. 答案:D

→1 的是 4 .在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,下列各式中运算结果为 BD ( ) → → ①( → A1D1-A 1A)-AB →1 ③(→ AD- → AB)-DD A.①② B.②③ →+BB →1)-D → ②(BC 1C1 → → → ④(B 1D1-A1A)+D1C1 C.③④ D.①④

→ → → → → → 解析:①(A 1D1-A1A)-AB=AD1-AB=BD1; →1)-D → → → → ②(→ BC+BB 1C1=BC1-D1C1=BD1; →)-DD →1=→ →1≠BD →1; ③(→ AD-AB BD-DD → → → → → ④(B 1D1-A1A)+DD1=BD1+DD1.

第三章 答案:A

空间向量与立体几何

5.空间四边形 ABCD 中,若 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 边上的中点,则下列各式中成立的是( →+→ →=0 A.EB BF+→ EH+GH →+→ →=0 B.EB FC+→ EH+GE →+→ →=0 C.EF FG+→ EH+GH →-→ →=0 D.EF FB+→ CG+GH )

解析:如

→+GH →=→ →=→ 图所示,选项 A 中,→ EB+→ BF+EH EF+→ FG+GH EH≠0. → →+→ →+BF →+→ →=EF →+→ → 选项 B 中, EB+FC EH+→ GE=EB EH+GE EH+→ GE=EF →=EG →+ → +→ FG+GE GE=0.故选 B.

第三章 答案:B

空间向量与立体几何

二、填空题 6. 化简:(→ AB-→ CD)-(→ AC-→ BD)=____________.

解析:方法一

因为→ AB-→ CD= → AB+→ DC,

→ ) - (→ →)=→ →+→ →+DC → +→ 所以(→ AB-CD AC-BD AB+→ DC-AC BD=→ AB+BD CA →=0. =→ AD+DA 方法二 →-→ → = (→ →)+ (→ AB-→ CD)-(→ AC-→ BD)=AB CD-→ AC+BD AB-AC

→-→ →=0. (DC DB)=→ CB+BC

→=a,→ 7.已知平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O,且OA OB=b, 则→ BC=________.

第三章

空间向量与立体几何

→=b,所以BO →=-b,→ 解析:如图,因为→ OA=a,OB OC=-a, →=-b-a. 所以→ BC=→ BO+OC 答案:-b-a

→,有下列各式: 8.对于空间中的非零向量→ AB,→ BC,AC →;②AB →-→ →; ①→ AB+→ BC=AC AC=BC →|;④|→ →|. ③|→ AB|+|→ BC|=|AC AB|-|→ AC|=|BC 其中一定不成立的是______________(填序号).

→+→ 解析: 根据空间向量的加减法运算, 对于①: AB BC=→ AC恒成立; →,→ →|=|AC →|;对于④: 对于③:当AB BC,→ AC方向相同时,有|→ AB|+|BC →,AC →共线且→ →方向相反时,有|→ →|. 当→ AB,BC BC与→ AB、AC AB|-|→ AC|=|BC 只有②一定不成立. 答案:②

三、解答题 9.如图

第三章

空间向量与立体几何

→+→ → → ,在四棱柱 A′B′C′D′ABCD 中,求证:AB BC+CA ′=DD ′.

→ 证明:如图,作向量AA ′,→ AC,

→,→ → → 则→ AB+→ BC=AC AC+CA ′=AA ′, → →+CA → → 所以→ AB+→ BC+CA ′=AC ′=AA ′, → → 在四棱柱 A′B′C′D′ABCD 中,AA ′=DD ′,

第三章

空间向量与立体几何

→ → 所以→ AB+→ BC+CA ′=DD ′.

10.如图所示,已知长方体 ABCDA′B′C′D′.化简下列向量表 达式,并在图中标出化简结果.

→ (1)AA ′- → CB; → → (2)AA ′+ → AB+B′ C ′.

→ → = AA → → → = AA → → 解析: (1) AA ′ - CB ′-→ DA = AA ′ + AD ′ + A′ D′ =

第三章 → AD ′

空间向量与立体几何

→ → → →)+B′ → → → (2)AA ′+ → AB+B′ C′=(AA ′+AB C′=AB ′+B′ C ′= → AC ′. → → 向量AD ′、AC ′如图所示.


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