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湖北省黄冈市2013届高三年级上学期期末考试文科数学试题


湖北省黄冈市 2013 届高三年级上学期期末考试 文科数学
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的.把答案写在答题卡中指定的答题处. 1.已知复数

1? z ? i ,则 z 的虚部为 1? z

A.1 B.-1 C. i D. -i 2.命题“所有

实数的平方都是正数”的否定为 A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 3.若 x0 是方程 lgx+x=2 的解,则 x0 属于区间 A、 (0,1) B、 (1,1.5) C、 (1.5 山) D、 (2,2。5)

4.已知正项数列{ an }中,al=1,a2=2,2 an 2= an ?1 2+ an ?1 2 (n≥2),则 a6 等于 A. 16 B. 8 C. 2 2 D. 4

?x ? 2 y ? 2 ? 5.变量 x, 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 , y, 则目标函数 z=3|x|+| ?4 x ? y ? ?1 ?
y-3|的取值范围是 A.[

3 ,9] 2

B.[-

3 ,6] 2

C.[-2,3] D.[1,6] 6.执行右边程序框图示,输出的 S 值为 A.

9 10

B.

7 18

C.

8 9

D.

2 5

7.在△ABC 中,a、b、b 分别是内角 A,B,C 所对的边,C= 若

? , 3

且 D、E、F 三点共线(该直线不过点 O) ,则

△ABC 周长的最小值是 A.

1 2

B.

5 4

C.

3 2

D.

9 4

1

8.某班有 48 名学生,在一次考试中统计出平均分为 70 分,方差为 75,后来发现有 2 名同学 的分数登错了,甲实得 80 分却记成了 50 分,乙实得 70 分却记成了 100 分,则更正后平均分和方差分别是 A. 70,50 B.70,75 C.70,72.5 D. 65,70 9.如图,F1,F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、 a 2 b2

右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲 线的离心率为 A. 13 B.

15

C.2

D.

3
1 3 [-1, x ? ax ? b 在区间 2

10.在区间 [0,1] 上任意取两个实数 a, 则函数 f(x) = b, 1]上有且仅有一个零点的概率为 A.

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D、

7 8
4 ? ,则 tan(? ? ) 的值为___ 5 4

二、填空题:本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卡对应题号的位置上· 11.已知 ? 是第二象限角,且 sin ? ?

x2 ? y 2 ? 1的离心率等于 2 ,则 k 的值为___. 12.若双曲线 k
13.若关于 x 的不等式|x-a|+|x+l|<2 有实数解,则实数 a 的取值范围是____. 14. E 知函数 f(x)满足 f (x+1)=

1 ,且 f(x)是偶函数,当 x ? [0,1]时,f (x)=x,若在 f ( x)

区 间[1,3]内,函数 g(x) =f(x) -kx-k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是___. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=60°,c:b=8:5,△ABC 的 面积为 40 3 ,则外接圆的半径为____. 16.已知 O 为△ABC 的外心 则 ____ 17.给出以下三个命题,其中所有正确命题的序号为____. ①设 a,b 均为单位向量,若|a+b|>1,则 ? ? [0, ②函数 f (x)=xsinx+l,当 ,且 且 32x+25y=25,

2? ] 3


③已知函数 f (x)=|x2-2|, f (a) = f (b), 0<a<b,则动点 P(a,b)到直线 4x+3y-15=0 若 且 的距离的最小值为 1

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.将 解答写 在答题卡对应题号的位置处. 18.(本小题满分 12 分)已知在△ABC 中,三条边 a,b、c 所对的角分别为 A、B,C,向量 m= (sinA,cosA) ,n=(cosB,sinB) ,且满足 m·n=sin2C. (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA, ainC, sinB 成等比数列,且 =18,求 C 的值.

19、 (本小题满分 12 分) 某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受 到 不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,10]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求 至少有一份分数在[90,100〕之间的概率.

20. (本小题满分 12 分)a2,a5 是方程 x 2-12x+27=0 的两根,数列{ an }是公差为正数 的等 差数列,数列{ b n }的前 n 项和为 Tn ,且 Tn =1- (1)求数列{ an }{ b n }的通项公式; , (2)记 cn = an b n ,求数列{ cn }的前 n 项和 Sn.

1 bn (n ? N *) 2

3

19.本小题满分 12 分)设 M 是由满足下列条件的函数 f (x)构成的集合:①方程 f (x)一 x=0 有实根;②函数的导数 f '( x) 满足 0< f '( x) <1. (1)若函数 f(x)为集合 M 中的任意一个元素,证明:方程 f(x)一 x=0 只有一个实根; (2)判断函数 g ( x) ?

x ln x ? ? 3( x ? 1) 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 2

(3)设函数 f(x)为集合 M 中的任意一个元素,对于定义域中任意 ? , ? , 证明: | f (? ) ? f ( ? ) |?| ? ? ? |

4

x2 y 2 3 21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l: ya b 3
=x+2 与.以原点为圆心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (ll)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l2 过点 F 价且垂直于椭圆的长轴,动 直线 l2 垂直于 l1,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方 程; (III)过椭圆 C1 的左顶点 A 作直线 m,与圆 O 相交于两点 R,S,若△ORS 是钝角三角 形, 求直线 m 的斜率 k 的取值范围.

3 22.(本小题满分 14 分)设 a ? R ,函数 f (x)=lnx-ax,g(x)= x +x+1

1 3

1 ) ,求切线 l 的方程; 3 1 3 (II)讨论函数 h(x)=2f(x)+g(x)- x 的单调性; 3
(I)若曲线 y=g(x)的切线 l 过点 A(0, (III)若 x1 , x2 是函数 f (x)的两个相异零点, 求证:g ( x1 x2 ) ? g (e2 )(e 为自然对数底数) 。

5

黄冈市 2012 年秋季高三期末考试数学参考答案(文科)
一选择题 AD CDA 二填空题 (11)7 (12)—1(13) (—3,1) (14) ? 0, ? 4 AC A A D

? ?

1? ?

(15)

14 3 3

(16)10

(17)①②

三解答题 18 解: (1)∵ m ? (sin A, cos A) , n ? (cos B, sin B ) , m? n ? sin 2C ∴ sin A cos B ? cos A sin B ? sin 2C ,∴ sin( A ? B) ? sin 2C ∴ sin C ? 2 sin C cos C ,∴ cos C ? 又 C 为 ?ABC 的内角,∴ C ?
? ?
? ?

?
3

1 2
……6 分

(2)∵ sin A, sin C , sin B 成等比数列,∴ sin 2 C ? sin A sin B , 由正弦定理知: c 2 ? ab ;又且 CA? ( AB ? AC ) ? 18 ,即 CA? CB ? 18 , ∴ ab cos C ? 18 ,∴ ab ? 36 ,∴ c 2 ? ab ? 36 ,∴ c ? 6 19 解(1)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08, 2 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 =25,……4 分 0.08 (2)分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4; 4 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 ÷10=0.016. ……8 分 25 (3)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6, 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6), (5,6)共 15 个,其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有 9 个, ……12 分
? ? ?
? ?

6

9 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 =0.6. ……12 分 15

20.解:? x 2 ? 12 x ? 27 ? ( x ? 3)( x ? 9) ? 0又 ? d ? 0 ? a2 ? 3, a5 ? 9

?d ?

a5 ? a2 1 2 ? 2 ? an ? 2n ? 1 ? Tn ? 1 ? bn (n ? N *) ? b1 ? 3 2 3 1 1 1 当n ? 2时bn ? Tn ? Tn ?1 ? bn ?1 ? bn ? bn ? bn ?1 2 2 3 2 1 6分 bn ? ( ) n ?1 3 3 2 4n ? 2 (2) c n ? ?2n ? 1? ? n ? , ……………… 8分 3 3n 1 3 2n ? 1 1 1 3 2n ? 1 ? S n ? 2( ? 2 ? ?????? ? n ) ? S n ? 2( 2 ? 3 ? ?????? ? n ?1 ) 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 2n ? 1 1 n ?1 ? S n ? 2[ ? 2( 2 ? ?????? ? n ) ? n ?1 ] ? 4( ? n ?1 ) 3 3 3 3 3 3 3
1 Sn=2—(2n+2)( )n 3 ………13 分

3 b2 2 21.解: (Ⅰ)由 e ? ,得 2 ? 1? e ? ; 3 3 a
由直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, 得
2 2 2

………………2 分

2 2

?| b | .所以, b ? 2 , a ? 3
…………………4 分

所以椭圆的方程是

x2 y2 ? ? 1. 3 2

(Ⅱ)由条件,知|MF2|=|MP|。即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距 离,由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y 2 ? 4 x 。
2 2

…………8 分

(Ⅲ)(1)得圆 O 的方程是 x ? y ? 2, A(? 3 ,0), 直线m的方程是y ? k ( x ? 3 ) 由 ,

? x 2 ? y 2 ? 2, ? 设 R ( x1 , y1 ), S ( x 2 , y 2 ),由? ? y ? k ( x ? 3) ? 2 2 2 得 (1 ? k ) x ? 2 3k x ? 3k 2 ? 2 ? 0
2 3k 2 3k 2 ? 2 ……………9 分 , x1 x 2 ? ; 1? k 2 1? k 2 由 ? ? (2 3k 2 ) 2 ? 4(1 ? k 2 )(3k 2 ? 2) ? 0, 得 ? 2 ? k ? 2 . ①…………10 分
则 x1 ? x 2 ? ? 因为 ?ORS是钝角三角形, 所以OR ? OS ? 0, 即OR ? OS ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

x1 x 2 ? k 2 ( x1 ? 3 )( x 2 ? 3 ) ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 3k 2 ( x1 ? x 2 ) ? 3k 2 ?
所以 ?

4k 2 ? 2 ?0 1? k 2

由 A、R、S 三点不共线,知 k ? 0 。

2 2 ?k? . 2 2

②……12 分 ③

7

由①、②、③,得直线 m 的斜率 k 的取值范围是 ? (注:其它解法相应给分) 22 题解析:

2 2 ?k? , 且k ? 0 ……14 分 2 2

8

9


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