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选修4-4 坐标系与参数方程 知识+例题+练习+测试


坐标系与参数方程 知识点
一、坐标系 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

? x? ? ? ?x 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ? ? y? ? ? ?y

(? ? 0) 的作用下,点 (? ? 0)

P(x,y)对应到点 P?( x?, y?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点 O ,叫 做极点,自极点 O 引一条射线

Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位 ,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针

方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边, 射线 OM 为终边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? .有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记作
M ( ? ,? ) .

例 1 写出下图中各点的极坐标

A( C( E(

)B( )D( )F(

) ) )

1 / 13

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景: 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是
( x, y ) ,极坐标是 ( ? ,? ) ( ? ? 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M

直角坐标 ( x, y )

极坐标 ( ? ,? )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y 2
tan ? ? y ( x ? 0) x

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 例 1、分别把下列点的极坐标,化成直角坐标 ? ? 7? A(4,0) B(3, ) C(2, ) D(3, ) 4 2 4 变式 1: (2,

? ?

?? ? ? ? );? 4,? ?; ?5,?5?; ? 4,? ? 3 ? 2? 12 ? ?

例 2、分别把下列点的直角坐标化为极坐标: (限定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )

?0,0? ; ?? 1,?1?; ?? 2,2

? 3? 3? ? 3 ;? , ? ; ? 2 2 ?

?

例 3、在极坐标系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? ? 2sin ? 与 ? cos ? ? ?1 的交点的极坐标为____ 变式 3:在极坐标系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 与 ? (sin ? ? cos? ) ? 1 , 试求曲线交点的极坐标_______ ? 例 4、在极坐标系中,直线 l 的方程 ? sin ? ? 3 ,则点 (2, ) 到直线 l 的距离为. 6 ? 2 变式 4-1:已知直线的极坐标方程 ? sin(? ? ) ? ,求极点到直线的距离_________ 4 2 变式 4-2:在极坐标系中,已知圆 ? ? 2cos? 与直线 3? cos? ? 4 sin ? ? a ? 0 相切,求实数 a 的值______ 变式 4-3:在极坐标系中,已知点 A (1,
3? ? )和 B (2, ) ,则 A 、 B 两点间的距离是. 4 4

2 / 13

4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点,半径为 r 的圆

? ? r (0 ? ? ? 2? )

圆心为 ( r , 0) ,半径为 r 的圆

? ? 2r cos ? (?

?
2

?? ?

?
2

)

? 圆心为 (r , ) ,半径为 r 的圆 2

? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

(1) ? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R) 过极点,倾斜角为 ? 的直线 (2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

过点 ( a, 0) ,与极轴垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

? 过点 (a, ) ,与极轴平行的直线 2

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

※圆的极坐标方程
例 1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程: (1) ? ? 2 ; (2) ? ? 5 cos? . 变式 1.求下列圆的圆心的极坐标: (1) ? ? 4 sin ? ; (2) ? ? 2 cos( 变式 2.求圆 ? 2 ? 2? (cos? ? 3 sin ? ) ? 5 ? 0 的圆心的极坐标与半径. 一个圆的极坐标方程是 ? ? 5 3 cos? ? 5 sin ? ,求圆心的极坐标与半径. 变式 3.两圆 ? ? 2 cos? 和 ? ? 4 sin ? 的圆心距是.

?
4

??) .

3 / 13

例 2、圆心在 ?2, -1? ,半径为 4 的圆的极坐标方程____________________ 变式 1. 求圆心在点(-4,3) ,且过极点的圆的极坐标方程. 变式 2. 在极坐标系中,求适合下列条件的圆的极坐标方程: ? 3? (1)圆心在 A(1, ) ,半径为 1 的圆; (2)圆心在 ( a , ) ,半径为 a 的圆. 4 2 变式 3. 圆 x 2 ? y 2 ? 1 的极坐标方程是.

※直线的极坐标方程
例 1.把下列极坐标方程化为直角坐标方程: (1) ? sin ? ? 2 ; (2) ? ? 2 sin ? .

变式 1.曲线 ? cos? ? 1 的直角坐标方程是. 变式 2.直线 ? ? 2 的直角坐标方程是. 变式 3.求下列直线的倾斜角: (1) ? ? 变式 4.直线 x ? y ? 1 的极坐标方程是. 例 2、在极坐标系中,求适合下列条件的直线的极坐标方程: ? ? (1)过极点,倾斜角是 的直线; (2)过点 ( 2, ) ,并且和极轴垂直的直线. 3 3 ? 变式 1. 求经过极点,从极轴到直线 l 的夹角是 的直线 l 的极坐标方程. 4 ? 变式 2.经过极点,且倾斜角是 的直线的极坐标方程是. 6 ? (2, ) 变式 3.过点 ,且平行于极轴的直线的极坐标方程为. 4
7? ? 2 例 3、已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? ,求点 A( 2, ) 到这条直线的距离. 4 4 2
5? ? ( ? ? R) ; (2) ? sin(? ? ) ? 1 . 6 4

变式 1.直线 ? cos? ? 2 关于直线 ? ?

?
4

对称的直线的极坐标方程为______________

4 / 13

二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地 , 在平面直角坐标系中 , 如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ) ①,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M ( x, y) 都在这条曲线上,那 ? ? y ? g (t )
么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参 数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 例 1、对于曲 线上任一点 M ? x , y ? ,下列哪个方程是以 t 为参数的参数方程( A、 y ? x2 ? t x ? 3 B 、 y ? t 2 ? 2 t ? 1 )

? x ? 2cos ? C、 ? ? y ? 2sin ?

? ?x ? t ? 2 D、 ? 2 ? ? y ? 1? t

2.参数方程和普通方程的互化 一.消参的方法 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: (1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数
?x ? 3t ( t为参数 ) ,且点 M ? a ,3? 在曲线 C 上,则实数 a 的 例已知曲线 C 的参数方程是 ? 2 ? y ? 2t ?1

值为( ) A、 3

B、 ?3

C、 ?3

D、无法确定

(2) 三角法:利用三角恒等式消去参数

? x ? sin ? ? cos? 例? 化为普通方程为____________________ ? y ? sin 2?
(3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。

? x ? 1 ? 2t 例 若直线的参数方程为 ? (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
A.
2 3



B. ?

2 3

C.

3 2

D. ?

3 2

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二.常见曲线的参数方程化为普通方程的方法

? x ? r cos? (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

? x ? x0 ? r cos? (2)圆 ( x ? x0 )2 ? ( y - y0 )2 ? r 2 参数方程为: ? ? y ? y 0 ? r sin ?
x2 y2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b

( ? 为参数)

? x ? a cos? ( ? 为参数) ? y ? b sin ? ? ? x ? a sec? ( ? 为参数) ? ? y ? b tan?

(4)双曲线

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? 2 Pt 2 (5)抛物线 y 2 ? 2Px 参数方程 ? (t 为参数) ? y ? 2 Pt
(6)过定点 P( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程

? x ? x0 ? t cos? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数)

例 1.将下列参数方程化为普通方程
2 ? ? x ? t ? 2t (1) ? 2 ? ?y ? t ? 2

t ?1 ? x? ? ? x ? sin ? ? cos? ? t?2 (2) ? (3) ? ? y ? sin 2? ? y ? 2t ? t?2 ?

2 1 ? ? x? x ? 2(t ? ) 2 ? ? ? ? t 1? t (4) ? (5) ? ? y ? 3(t 2 ? 1 ) ? y ? 2t 2 ? ? t2 1? t ? ?

(6)

e ?e { y ?e t ?e ? t
x?

t

?t

例 2.化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。
? ?x ? 1 ? 2 t (1) ? ? ?y ? 3 ? 4 t
t 1 ? 2t 2 (2) 1 ? 2t 2 y? 1 ? 2t 2 x?

(t 是参数)

(t 是参数)

? x ? sin ? ? cos ? (3) ? ? y ? 1 ? sin 2?

??为参数?

1 ? x ? t ? ? ? t (t为参数) (4) ? 1 ?y ? t ? ? t ?

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【扩展练习】
? ? x ? ?2 ? 2t 1.直线 ? (t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。 y ? 3 ? 2 t ? ?

? x ? ?2 ? 5t 2.曲线 ? (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 1 ( , 0) A. (0, )、 5 2 1 1 ( , 0) B. (0, )、 5 2


5 (8, 0) D. (0, )、 9

C. (0, ?4)、 (8, 0)

? x ? 3 ? at 3.直线 ? (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
1 ? x ? 1? t ? 2 ? 4. 直线 ? 则 AB 的中点坐标为 ( (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
A. (3, ?3) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3)



? ?x ? 1? t (t为参数 )和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0的交点 P 的坐标,及点 P 与 5 .求 直 线 l1 : ? y ? ? 5 ? 3 t ? ?
Q(1, ?5) 的距离。

6、 已知 P( x, y) 为圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 上任意一点,求 x ? y 的最大值和最小值。

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3.圆的参数 圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,

? x ? a ? r cos ? 它的参数方程为: ? (? 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?

4.椭圆的参数方程
x2 y 2 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参数方 a b

? x ? a cos ? 程为 ? (?为参数) ,其中参数 ? 称为离心角; ? y ? b sin ?
焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是
y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a 2 b2

? x ? b cos ? 。 (?为参数), 其中参数 ? 仍为离心角,通常规定参数 ? 的范围为 ? ∈[0,2 ? ) ? y ? a sin ? ?
5.双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其参 a 2 b2

? x ? a sec ? ? 3? . 数方程为 ? (?为参数) ,其中 ? ? [0, 2? )且? ? , ? ? 2 2 ? y ? b tan ?
y 2 x2 焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a b

? x ? b cot ? (?为参数,其中? ? (0, 2? )e且? ? ? . ? ? y ? a csc ?
以上参数 ? 都是双曲线上任意一点的离心角。

6.抛物线的参数方程
? x ? 2 pt 2 (t为参数). 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的参数方程为 ? ? y ? 2 pt

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(三) 圆锥曲线的参数方程
1 ? ?x ? t ? t (t为参数) 的普通方程为 ______________。 例1. 曲线 ? 1 ?y ? t ? t ?

例 2.曲线 ? A.
1 2

? x ? cos? ? y ? sin?

(?为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()

B.

2 2

C.1 ( ? 为参数)

D. 2

? x ? 3 cos? 例 3.已知椭圆 ? ? y ? 2 sin ?
求 (1) ? ?

?
6

时对应的点 P 的坐标

(2)直线 OP 的倾斜角

1.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

x2 y2 ? ? 1 上求一点 M,使点 M 到直线 x+2y-10 =0 的距 离最小, 变式 1.在椭圆 9 4

并求出最小距离. 变式 2.已知实数 x、y 满足
x2 y2 ? ? 1,求 z=x+2y 的最大值与 最小值. 25 16

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 2.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2

3 .在曲线 ? A.( 2,7) 4. 曲线 ?

? x ? sin? ? y ? cos 2?

(?为参数) 上的点为(



B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , ) D.(1,0)
(?为参数) 的 轨迹是(

1 1 2 2

? x ? 1 ? cos 2? 2 ? y ? sin ?

) D.一条线段

A.一条直线

B.一条射线

C.一个圆

5. 已知圆方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 ,选择适当的参数将它化为参数方程. 6、求直线 ?
?x ? 1 ? t ?y ? 1? t (t为参数) 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 的交点坐标。

9 / 13

7.直线的参数方程 经过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? (? ?

?
2

) 的直线 l 的普通方程是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ), 而过

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) M 0 ( x0 , y0 ),倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? y0 ? t sin ?

例 1.已知直 线 l:x+y-1=0 与抛物线 y=x2 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长和点 M(-1,2) 到 A,B 两点的距离之积.

例 2.设 AB 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一条弦, 点 M(2, -1)为 AB 的中点, 求 AB 所在直线的方 程。 16 9

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, 例 3.若直线 l1 : ? ( s 为参数)垂直,则 k ? . (t为参数) 与直线 l2 : ? ? y ? 2 ? kt. ? y ? 1 ? 2s.
? ? x ? 1 ? 2t 2.直线? (t为参数) 被圆x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长等于 ( ? y ? 2 ? t ?



A.

12 5

B.

12 5 5

C.

9 2 5

D.

9 10 5

? ? x ? ?2 ? 2t 3.直线? (t为参数) 上与点P(?2,3) 的距离等于 2的点的坐标是 ( ? y ? 3 ? 2 t ?



A.(?4,5)

B.(?3,4)

C.(?3,4)或(?1,2)

D.(?4,5)或(0,1)

? ? x ? ?1 ? t 5.设直线的参数方程 ,则点(3,6)到该直线的距离是 . 多少? ? ? y ? 2 ? 4 t ?

?x ? 1? t 6. 设直线 l1 的参数方程为 ? (t 为参数) ,直线 l2 的方程为 y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为 ? y ? 1 ? 3t _______

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坐标系与参数方程测试题
考试时间:90 分钟 满分:150 分 姓名:_____ 成绩____ 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)

? x ? 1 ? 2t 1.若直线的参数方程为 ? (t为参数) ,则直线的斜率为() ? y ? 2 ? 3t
A.
2 3

B. ?

2 3

C.

3 2

D. ?

3 2

? x ? sin 2? 2.下列在曲线 ? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
1 A. ( , ? 2) 2 3 1 B. (? , ) 4 2



C. (2, 3)

D. (1, 3) ) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1) ) D. y ? 1 )

2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?

A. y ? x ? 2

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

4.化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1 B. x ? 1

C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标可以为(

? A. (2, ) 3

? B. (2, ? ) 3

C. (2,

2? ) 3

? D. (2, 2k? ? ), (k ? Z ) 3
) D.一个圆

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆

1 ? ?x ? t ? 7.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ) ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线 )
5? ) 3

D.两条射线

8.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是(

? A. (5, ? ) 3

? B. (5, ? ) 6

? C. (5, ) 3

D. ( ?5,

11 / 13

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 9. 直线 ? 则 AB 的中点坐标为 ( (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, 3 ? y ? ?3 3 ? t ? ? 2
A. (3, ?3) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3) )



? x ? 1 ? 2t 10.直线 ? (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ?t
A.
12 5

B.

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5

二、填空题(本题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分)

? x ? 3 ? 4t 11.直线 ? (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t ? x ? 1 ? 3t 12.已知直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t
则 AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为_________。 13.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2

14.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为__________________。

? x ? 3 ? at 15.直线 ? (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
16.点 P(x,y)是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为__。

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三、解答题 17.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。(10 分) (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。(10 分)

?
6



18.已知点 P( x, y ) 是圆 x2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围;(10 分) (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。(10 分)

? ?x ? 1? t (t为参数 )和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0的交点 P 的坐标,及点 P 与 19 .求直线 l1 : ? ? ? y ? ?5 ? 3t
Q(1, ?5) 的距离。(20 分)

20.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

(10 分)

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