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1.2.1任意角的三角函数(二)


4-1.2.1 任意角的三角函数(二)
教学目的: 知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有 更深的理解。 德育目标:学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程: 一、复习引入: 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式
sin( 2 k ? ? ? ) ? sin ? ( k ? Z ) cos( 2 k ? ? ? ) ? cos ? ( k ? Z ) tan( 2 k ? ? ? ) ? tan ? ( k ? Z )

练习 1.
3 3

tan600
3 3

o

的值是 __________ __ . D

A. ?

B.

C. ?

3

D. 3

练习 2.

若 sin θ cos θ ? 0 , 则 θ 在 ________
B . 第一、三象限 D . 第二、四象限

.

B

A . 第一、二象限 C . 第一、四象限

练习 3.
A . 第一象限

若 cos θ ? 0,且 sin2 ? ? 0 则 θ 的终边在

____ C

B . 第三象限

C . 第四象限

D . 第二象限

二、讲解新课: 当角的终边上一点 P ( x , y ) 的坐标满足 x ? y ? 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几
2 2

何表示——三角函数线。 1.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x , y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A (1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延 长线交与点 T .
P
M

y

y

T

P

o

A

x
T

o

A
M

x

y (Ⅱ) T

y (Ⅰ)

M

M

o
P

A

x

o
P

A

x
T

(Ⅲ)

(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x , M P ? y ,于是有
sin ? ? y r ? y 1 ? y ? M P , cos ? ? x r ? x 1 ? x ? O M , tan ? ? y x ? MP OM ? AT OA ? AT

我们就分别称有向线段 M P , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明: (1)三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴 上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段 中两条在单位圆内,一条在单位圆外。 (2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂 足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 (3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向的 为负值。 (4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 4.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 5? ? 2? 13? (1) ; (2) ; (3) ? ; (4) ? . 6 3 3 6 解:图略。

例 2. 若 0 ? ? ?
例 3 .比较大小: (1 ) sin (3 ) tan 2 3 2 3

?
2

,证明 sin ? ? cos ? ? 1 .

? 与 sin ? 与 tan

4 5

? ?

(2 ) cos

2 3

? 与 cos

4 5

?

4 5

例 4 .在 [ 0,2 ? ]上满足 sin x ?
? ? ? A . ?0, ? ? 6?

的 x 的取值范围是 ( ) 2 ? ? 5? ? ? ? 2? ? B. ? , ? C. ? , ? ?6 6 ? ?6 3 ?

1

? 5? ? D. ? ,? ? ? 6 ?

例 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围.
(1) sin x ? ? 1 2 ; ( 2 ) cos x ? 1 2 .

答案: (1)

7? 6

? 2 k? ? x ?

11? 6

(2) ? ? 2 k? , k ? Z ;

?
6

? 2 k? ? x ?

?
6

? 2 k? , k ? Z ;

三、巩固与练习:P17 面练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线; 3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 五、课后作业: 作业 4

参考资料 例 1.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 2? 4? 2? 4? 1? sin 与 sin 2? tan 与 tan
3 5 3 5

解: 如图可知:
2? 3 4? 5 2? 3 4? 5

sin

? sin

tan

? tan

例 2.利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角 1? sin?≥ 解: 1? P2 o 30?≤?≤150?
1 2

2? tan? ? y P1 x

3 3

2?

y 30? T o 210? x

A

30? ? ? ? 90?或 210? ? ? ? 270? 补充:1.利用余弦线比较 cos 64 , cos 285 的大小;
? ?

2.若

?
4

?? ?

?
2

,则比较 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的大小;

3.分别根据下列条件,写出角 ? 的取值范围: (1) co s ? ?
3 2



(2) tan ? ? ? 1 ;

(3) sin ? ? ?

3 2




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